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- 2021-05-13 发布
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基本初等函数Ⅱ(三角函数)
【专题要点】任意角的概念和弧度制、任意角的三角函数的定义(重点是任意角的正弦、余弦和正切的定义)、周期函数的概念、三角函数(正弦函数、余弦函数和正切函数)的图象与性质、函数的图象和性质、同角三角函数的基本关系式和诱导公式.
【考纲要求】
(1)任意角的概念、弧度制
①了解任意角的概念,②了解弧度制概念,能进行弧度与角度的转化.
(2)三角函数
①理解任意角的三角函数的定义;
②能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式,能画出正、余弦函数、正切函数的图象,了解三角函数的周期性;
③理解正、余弦函数在]0,2π],正切函数在(-,)的性质,如单调性、最大值与最小值、周期性,图象与x轴的交点;
④理解同角三角函数的基本关系式;
⑤了解的物理意义,能画出的图象,了解参数、、对函数图象变化的影响;
⑥了解三角函数是描述周期性变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单的问题。
【知识纵横】
【教法指引】
高考对三角函数的考查内容稳定,难度稳定,题量稳定,题型稳定,注重创新。因此,我们在复习中应首先立足课本,打好基础,从数形两方面理解三角函数的定义,在牢固图象的基础上,把握三角函数的性质,通过认识整个体系的推导和形成过程,掌握公式的本质和规律,领会其中的数学思想,形成清晰的知识结构,明确各部分的基本知识,基本题型,基本方法和规律,强化易混、易漏、易错点的反思和感悟和针对性训练;其次,在学习过程中不断总结、反思提炼解题规律,学会观察差异,寻找联系,分析综合,合理转化,会从三角函数的名称、角和运算三个方面寻求解题思路;另外,注意重点问题的变式、拓展和延伸,突出复习的针对性和有效性,在解题时,注意在条件和结论中建立联系,讲求算理,就能立足基础、发展能力、决胜高考.
【典例精析】
例1.若角的终边落在直线上,求的值.
解析:【解法一】分类讨论
①角的终边在第二象限 则;
②角的终边在第二象限 则.
【解法二】也可以按照课本上三角函数的定义,求出终边与单位圆的交点。
例2.求下列函数的定义域。
(1) (2)(3)
解析:(1)要使函数有意义 ,那么的终边在第一或第二象限,或终边在轴上.
(2)要使函数有意义,那么解得:
(3)要使函数有意义,那么
或
例3. 已知,且,函数的最大值为16,
求值。
解析:令 则
当时有最小值-4
又 在时有最小值,有最大值. 或
例4.是第四象限角, ,则( )
A. B. C. D.
解:由,所以,有,是第四象限角,
解得:
例5. 已知,
(1)化简;
(2)若是第三象限角,且,求的值;
(3),求的值。
解析:(1)
(2)由 又为第三象限角
(3)
例6.已知 求
⑴;
⑵
解析:【解法一】由得
⑴=
⑵==
【解法二】也可以对进行分类讨论,得到的关系,再利用,解出.
例7. 已知,且是方程的两根,求
的值。
解析:由题意
例8. 使函数图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标缩小到原来的,然后再将其图象沿轴向左平移个单位,得到的曲线与相同.
(1)求的表达式;
(2)求的单调递减区间.
解析:(1)的图象沿轴向右平移个单位得:即
,再将每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍得
.
(2)由
解得
函数的单调递减区间是
例9. 已知函数(其中)的最小正周期为2,且当时,取得最大值2.
(1)求函数的表达式;
(2)在闭区间上是否存在的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,说明理由.
解析:(1)
由题意 : 又
又
解得:
(2)由= 得:
由得 又
在闭区间上存在的对称轴.
例10. 若则=( )
(A) (B)2 (C) (D)
解析:由可得:由,
又由,可得:+()2=1
可得=-,=-,
所以,==2。
例11. 函数的图象是( )
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
A.
B.
C.
D.
解析:是偶函数,可排除B、D,由的值域可以确定.因此本题应选A.
点评:本小题主要考查复合函数的图像识别,充分掌握偶函数的性质,余弦函数的图象及性质,另外,排除法,在复习时应引起重视,解选择题时,经常采用排除法。
例12. 把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是( )
A. B.
C. D.
解析:
y=,故选(C)。
点评:三角函数图象的平移、伸缩变换是高考的热门试题之一,牢固变换的方法,按照变换的步骤来求解即可.
例13.在同一平面直角坐标系中,函数的图象和直线的交点个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)4
解析:原函数可化为:=作出原函数图像,
截取部分,其与直线的交点个数是2个.
点评:本小题主要考查三角函数图像的性质问题,学会五点法画图,取特殊角的三角函数值画图.
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