高考一轮复习专题三角函数资料 19页

三角函数 考点一:角的概念、定义 ‎（一）知识清单 ‎1. 终边相同的角 ‎①与（0°≤<360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）: ;‎ ‎②终边在x轴上的角的集合:;‎ ‎③终边在y轴上的角的集合：;‎ ‎④终边在坐标轴上的角的集合：.‎ ‎2. 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= ‎ ‎1°=0.01745 1=57.30°=57°18′‎ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零, 熟记特殊角的弧度制.‎ ‎3.弧度制下的公式 扇形弧长公式，扇形面积公式，其中为弧所对圆心角的弧度数。‎ ‎4.三角函数定义:‎ 利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在终边上任取一点（与原点不重合），记，‎ 则，，，。‎ 注: ⑴三角函数值只与角的终边的位置有关，由角的大小唯一确定,‎ 三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数. ‎ ‎⑵根据三角函数定义可以推出一些三角公式:‎ ① 诱导公式：即或之间函数值关系，其规律是“奇变 偶不变，符号看象限” ；如 ② 同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系.‎ ‎⑶重视用定义解题.‎ ‎⑷三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法.如单位圆 ‎5. 各象限角的各种三角函数值符号:一全二正弦,三切四余弦 ‎ ‎ ‎（二）典型例题分析 例1. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来：‎ ‎（1）60°； （2）-20°； （3）600°‎ 变式：的终边与的终边关于直线对称，则＝__ ___。‎ 例2. 三角函数线问题：若，则的大小关系为__ ___‎ 变式1、若为锐角，则的大小关系为____ ___ ‎ 变式2、函数的定义域是___ ____‎ 例3. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为( )‎ ‎ ‎ 变式1、已知扇形AOB的周长是‎6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 变式2．某扇形的面积为1，它的周长为4，那么该扇形圆心角的度数（ ）‎ ‎ A．2° B．‎2 ‎C．4° D．4‎ 变式3．中心角为60°的扇形，它的弧长为2，则它的内切圆半径为（ ）‎ ‎ A．2 B． C．1 D．‎ 变式4．一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 变式5．已知扇形的半径为R，所对圆心角为，该扇形的周长为定值c，则该扇形最大面积为 . ‎ 例1. 已知为第三象限角,则所在的象限是( )‎ A．第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限 变式1、若是第二象限角，则是第___ __象限角。‎ 变式2、若角的终边落在第三或第四象限，则的终边落在（ ）‎ ‎ A．第一或第三象限 B．第二或第四象限 C．第一或第四象限 D．第三或第四象限 例2. 已知角a的终边经过P(4,-3),求2sina+cosa的值. ‎ 变式1、（08北京模拟）是第四象限角，，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ 变式2、已知角的终边经过点P(5，－12)，则的值为 ＿。‎ 变式3、设是第三、四象限角，，则的取值范围是_______‎ 例3. ‎ 若是第三象限角,且,则是( )‎ 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 变式1、（10江西）在复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例4. 若的终边所在象限是（ ）‎ A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 变式1、（08北京文理1）已知，那么角是（　　）‎ Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角 变式2．（08全国Ⅱ1）若且是，则是（ ）‎ A．第一象限角 B． 第二象限角 C． 第三象限角 D． 第四象限角 ‎（三）实战训练 ‎1、（全国1文2）是第四象限角，，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2、（全国2 理1）sin210° = （ ）‎ A． B. C. D.‎ ‎3、（全国2文1）（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4、（湖北文1）tan690°的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5、(浙江文2)已知，且，则tan＝（ ）‎ ‎ (A) (B) (C)　－ (D) ‎ ‎6、（江苏模拟）已知，则= ． ‎ ‎7、的值是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎8、角α的终边过点P（－‎8m，－6cos60°）且cosα=，则m的值是（　）‎ A. B. C. D.‎ ‎9、已知sinθ=，cosθ=，若θ是第二象限角，则实数a=____ __‎ ‎10、已知，求的值。‎ ‎12、已知是关于x的方程的根,求的值.‎ 考点二：三角函数公式 （一） 知识清单 1. 同角三角函数关系 ‎ ‎ 2. 诱导公式 口诀为：奇变偶不变，符号看象限， 的各角的三角函数值，当为偶数时，得的 同名三角函数值，当为奇数时，得的余名三角函数值，“符号看象限”是把任意角当 成锐角，看原函数所在的象限，从而定出原函数值的符号.如：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 3. 和差倍角公式 ‎1°两角和、差正弦、余弦、正切公式 （1） ‎、 （2）、‎ （2） ‎、‎ ‎2°二倍角公式 （1） ‎ （2）‎ （2） ‎3°降次公式、升幂公式 降次公式： 升幂公式：‎ （1） ‎、 （1）、‎ （2） ‎、 （2）、‎ ‎4． 辅助角公式 （1） ‎、(其中角所在的象限由a, b的符号确定，角的值由确定)‎ （2） ‎、公式的推导：‎ ‎5．巧变角 （1） ‎、 （2）；‎ （2） ‎、 （4）‎ ‎6. 三角函数化简的方法：‎ 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。‎ （一） 典型例题分析 例1. ‎ 同角三角函数关系（知一求二）‎ ‎（1）已知，且为第二象限的角，求； （2）、已知，求；‎ （3） ‎、已知，求；‎ （4） 诱导公式：tan600°的值是（　 ）‎ A． ‎　　 B．　　 C．　　 D． ‎ 变式、的值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ （5） 已知，则（ ）‎ A、2 B、－2 C、0 D、‎ 例4. 和差倍角公式求值 已知，且，那么=（ ）‎ A、 ‎- B、 C、 D、‎ 变式：（1）、化简sin2·sin2+cos2cos2-cos2·cos2.‎ ‎（2）、=（ ）‎ A、 ‎ B、 C、1 D、‎ ‎（3）、若a∈（0， ），且sin2a+cos2a=，则tana的值等于（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ （4） ‎、若，化简为___ __‎ （5） ‎、求值 （6） ‎、已知，求 （1） 辅助角公式 若方程有实数解，则的取值范围是___________.‎ （2） 巧用角的变换求解相关问题 ‎（1）、已知，，那么的值是_____‎ ‎（2）、已知，且，，求的值 （3） ‎、已知α(，)，β(0，),(α－)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值．‎ 考点三：三角函数图象与性质 （一） 知识清单 1. 各三角函数图象性质关系如下：‎ 注：以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象.‎ ‎2. 函数图象的画法：①“五点法”――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法；‎ ‎3. 函数的图象与图象间的关系：‎ ‎（1）函数的图象纵坐标不变，横坐标向左（>0）或向右（<0）平移个单位得的图象；‎ ‎（2）函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；‎ ‎（3）函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象；‎ ‎（4）函数图象的横坐标不变，纵坐标向上（）或向下（），得到的图象。‎ 要特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位。‎ 因此：上图中, 函数的图像和性质以函数为基础,通过图像变换来把握.如①②(A>0,>0)相应地，‎ ‎①的单调增区间 的解集是②的增区间.‎ 注:‎ ‎⑴或（）的周期;‎ ‎⑵的对称轴方程是（），对称中心；‎ 的对称轴方程是（），对称中心；‎ 的对称中心（）.‎ ‎（二）典型例题分析 例1. 三角函数图像变换 将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像？‎ 变式1：将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像？‎ 变式2：将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像？ ‎ 变式3：将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像？ ‎ 变式4. 已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（ ）‎ A 向左平移个单位长度 B 向右平移个单位长度 C 向左平移个单位长度 D 向右平移个单位长度 ‎ 例1. 已知函数的图像如图所示，则 ‎ 变式1：已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动的最小正周期和初相分别为（　　）‎ Ａ．， Ｂ．， Ｃ．， Ｄ．，‎ 变式2：函数在区间的简图是（　　）‎ 变式3：如图，函数 的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为．‎ 求和的值．‎ 例2. 三角函数性质 求下列函数的最大、最小值以及达到最大(小)值时的值的集合．‎ ‎(1) ； (2) ‎ 变式1：已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于 （ ）‎ ‎（A）　　　　（B）　　　　（C）2　　　　（D）3‎ 变式2：函数y=2sinx的单调增区间是（ ）‎ A．［2kπ－，2kπ＋］（k∈Z）B．［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z）‎ C．［2kπ－π，2kπ］（k∈Z）D．［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z）‎ 变式3：关于x的函数f（x）=sin（x+）有以下命题：‎ ‎①对任意的，f（x）都是非奇非偶函数；②不存在，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；‎ ‎③存在，使f（x）是奇函数；④对任意的，f（x）都不是偶函数。‎ 其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立。‎ 变式4、函数的最小正周期是 . ‎ 变式5、下列函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( )‎ ‎(A)y=lgx2 (B)y=|sinx| (C)y=cosx (D)y=‎ 变式6、已知，求函数的值域 变式7、已知函数 ‎⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间； ⑶判断它的奇偶性； ⑷判断它的周期性.‎ 例1. 三角恒等变换 化简：．‎ 变式1：函数y＝的最大值是（ ）．‎ A.－1 B. ＋‎1 ‎ C.1－ D.－1－‎ 变式2：已知，求的值．‎ 变式3：已知函数，．求的最大值和最小值．‎ 例1. 关于三角函数综合问题 1. 设函数（1）求的最小正周期；（II）若函数的图象按平移后得到函数的图象，求在上的最大值。‎ ‎ ‎ 2. 已知函数的最小正周期为。‎ ‎（1）求的值；（2）求函数在区间上的取值范围。‎ 1. 设函数的最小正周期为。‎ ‎（1）求的值。（2）若函数的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的，求的单调增区间及对称轴方程。‎ 2. 已知函数(Ⅰ)函数的图象可由函数的图象经过怎样变化得出？（Ⅱ）求函数的最小值，并求使用取得最小值的的集合。‎ 1. 已知函数（其中），（I）求函数的值域； （II）（文）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间．‎ 2. 已知函数其中， （I）若求的值； （Ⅱ）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数。‎ 课后作业 ‎1.（全国一8）为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）‎ A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 ‎2.（全国二8）若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎4.（四川卷５）若，则的取值范围是：( )‎ A　　 B　　 C　　 D ‎5.（天津卷6）把函数（）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 A， B，‎ C， D，‎ ‎6.（天津卷9）设，，，则 ‎ A B C D ‎ ‎7.（安徽卷5）将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中 心对称，则向量的坐标可能为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.（湖北卷5）将函数的图象F按向量平移得到图象,若的一条对称轴是直线,则的一个可能取值是 A. B. C. D. ‎ ‎9.（湖南卷6）函数在区间上的最大值是( )‎ A.1 B. C. D.1+ ‎ ‎10.（重庆卷10)函数f(x)=() 的值域是 A[-] B[-1,0] C[-] D[-]‎ ‎11.（福建卷9)函数f(x)=cosx(x)(xR)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y=-f′(x)的图象，则m的值可以为（ ） ‎ A. B. C.－ D.－ ‎ ‎12.（浙江卷5）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是 ‎（A）0 （B）1 （C）2 （D）4‎ ‎13.（海南卷1）已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/3‎ ‎14. 已知函数=Acos()的图象如图所示，，则=（ ）‎ ‎(A) (B) (C)- (D) ‎ ‎15. 已知函数，，则的最小正周期是 ．‎ ‎16. 设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎17. （上海卷6）函数f(x)＝sin x +sin(+x)的最大值是 ‎ ‎18.（江苏卷1）的最小正周期为，其中，则= ．‎ ‎19.（广东卷12）已知函数，，则的最小正周期是 ． ‎ ‎20.（辽宁卷16）已知，且在区间有最小值，无最大值，则＝__________． ‎ ‎21．（北京卷15）．（本小题共13分）‎ 已知函数（）的最小正周期为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．‎ ‎22．（四川卷17）．（本小题满分12分）求函数的最大值与最小值。‎ ‎23．（天津卷17）（本小题满分12分）已知函数（）的最小值正周期是．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合．‎ ‎24．（安徽卷17）．已知函数（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数在区间上的值域 ‎25．（山东卷17）已知函数f(x)＝为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为（Ⅰ）f（）的值；（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.‎ ‎26．（湖北卷16）.已知函数 ‎（Ⅰ）将函数化简成（，，）的形式；‎ ‎（Ⅱ）求函数的值域.‎ ‎27．（陕西卷17）．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．‎ ‎28．（广东卷16）．已知函数，的最大值是1，其图像经过点．（1）求的解析式；（2）已知，且，，求的值．‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ www.ks5u.com