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- 2021-05-13 发布
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立体几何中向量方法(一)——位置关系的证明
1.直线l1,l2相互平行,则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是( )
A.s1=(0,1,2),s2=(2,1,0)
B.s1=(0,1,1),s2=(1,1,0)
C.s1=(1,1,2),s2=(2,2,4)
D.s1=(1,1,1),s2=(-1,2,-1)
2.直线l1,l2相互垂直,则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是( )
A.s1=(1,1,2),s2=(2,-1,0)
B.s1=(0,1,-1),s2=(2,0,0)
C.s1=(1,1,1),s2=(2,2,-2)
D.s1=(1,-1,1),s2=(-2,2,-2)
3.若直线l∥平面α,直线l的方向向量为s,平面α的法向量为n,则下列结论正确的是( )
A.s=(-1,0,2),n=(1,0,-1)
B.s=(-1,0,1),n=(1,2,-1)
C.s=(-1,1,1),n=(1,2,-1)
D.s=(-1,1,1),n=(-2,2,2)
4.若直线l⊥平面α,直线l的方向向量为s,平面α的法向量为n,则下列结论正确的是( )
A.s=(1,0,1),n=(1,0,-1)
B.s=(1,1,1),n=(1,1,-2)
C.s=(2,1,1),n=(-4,-2,-2)
D.s=(1,3,1),n=(2,0,-1)
5.若平面α,β平行,则下面可以是这两个平面的法向量的是( )
A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)
B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)
C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1)
D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)
6.若平面α,β垂直,则下面可以是这两个平面的法向量的是( )
A.n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1)
B.n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1)
C.n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1)
D.n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2)
7.直线l的方向向量为s=(-1,1,1),平面π的法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l∥平面π,则x的值为( )
A.-2 B.- C. D.±
8.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的单位法向量是( )
A.s=±(1,1,1) B.s=±
C.s=± D.s=±
9.已知非零向量a,b及平面α,若向量a是平面α的法向量,则a·b=0是向量b所在直线平行于平面α或在平面α内的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
10.平面α的一个法向量n=(0,1,-1),如果直线l⊥平面α,则直线l的单位方向向量是s=________.
11.空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD与ADEF,设M,N分别是BD,AE的中点,给出如下命题:①AD⊥MN;②MN∥平面CDE;③MN∥CE;④MN,CE异面.
则所有正确命题的序号为________.
图K42-1
12.如图K42-1,设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点,DE⊥AB于E.现将△ADE沿DE折起,使二面角A-DE-B为45°,此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B,则M、N的连线与平面ABE的位置关系为________.
13.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为________.
14.(10分)如图K42-2,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥BP交BP于点F.
(1)证明:PA∥平面EDB;
(2)证明:PB⊥平面EFD.
图K42-2
15.(13分)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,∠BAC=90°,AB=AA1=2,AC=1,M,N分别是A1B1,BC的中点.
(1)求证:AB⊥AC1;
(2)求证:MN∥平面ACC1A1.
图K42-3
16.(12分)如图K42-4,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别为PA,PB,AC的中点,AC=16,PA=PC=10.
(1)设G是OC的中点,证明:FG∥平面BOE;
(2)是否在△ABO内存在一点M,使FM⊥平面BOE,若存在,求出M的坐标,若不存在,说明理由.
图K42-4
答案解析
【基础热身】
1.C [解析] 两直线平行则其方向向量平行,根据两向量平行的条件检验知正确选项为C.
2.B [解析] 两直线垂直,其方向向量垂直,只有选项B中的两个向量垂直.
3.C [解析] 直线与平面平行,直线的方向向量和平面的法向量垂直,检验知正确选项为C.
4.C [解析] 线面垂直时,直线的方向向量平行于平面的法向量,只有选项C中的两向量平行.
【能力提升】
5.D [解析] 两个平面平行时其法向量也平行,检验知正确选项为D.
6.A [解析] 两个平面垂直时其法向量垂直,只有选项A中的两个向量垂直.
7.D [解析] 线面平行时,直线的方向向量垂直于平面的法向量,故x2-2=0,解得x=±.
8.C [解析] 先求出平面ABC的一个法向量,再把其单位化.不难求出其一个法向量是n=(1,1,1),单位化得s=±.
9.C [解析] 根据向量与平面平行、以及平面的法向量与直线的方向向量之间的关系进行判断.
a·b=0说明向量b垂直于平面α的法向量,故向量b与平面α共面,此时向量b所在的直线平行于平面α或在平面α之内;反之a·b=0.
10.± [解析] 直线l的方向向量平行于平面α的法向量,故直线l的单位方向向量是s=±.
11.①②③ [解析] 如图,设=a,=b,=c,
则|a|=|c|且a·b=c·b=0.=-=(b+c)-(a+b)=(c-a),·=(c-a)·b=(c·b-a·b)=0,故AD⊥MN;=c-a=2,故MN∥CE,故MN∥平面CDE,故①②③正确;④一定不正确.
12.平行 [解析] 由AE⊥DE,BE⊥DE,则∠AEB是二面角A-DE-B的平面角,即∠AEB=45°,又AB⊥平面BCDE,所以AB=BE.以B为坐标原点,分别以BC,BE,BA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
设AB=BE=a,BC=b,则
A(0,0,a),E(0,a,0),M,N,
∴=,=(0,a,0),=(0,0,a),
由此,得=--,从而MN∥平面ABE.
13.,-,4 [解析] 由题知:⊥,⊥.
所以
即
解得x=,y=-,z=4.
14.[解答] 证明:以D为坐标原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.设DC=a.
(1)连接AC,AC交BD于G,连接EG.依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),E.
因为底面ABCD是正方形,所以G是此正方形的中心,故点G的坐标为,
且=(a,0,-a),=.所以=2,这表明PA∥EG.而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB,所以PA∥平面EDB.
(2)依题意得B(a,a,0),=(a,a,-a).
=,故·=0+-=0,所以PB⊥DE,
由已知EF⊥PB,且EF∩DE=E,所以PB⊥平面EFD.
15.[解答] 依条件可知AB,AC,AA1两两垂直.如图,以点A为原点建立空间直角坐标系A-xyz.
根据条件容易求出如下各点坐标:
A(0,0,0),B(0,2,0),C(-1,0,0),A1(0,0,2),B1(0,2,2),C1(-1,0,2),M(0,1,2),N.
(1)证明:因为=(0,2,0),=(-1,0,2),所以·=0×(-1)+2×0+0×2=0.
所以⊥,即AB⊥AC1.
(2)证明:因为=,=(0,2,0)是平面ACC1A1的一个法向量,
且·=-×0+0×2-2×0=0,
所以⊥.
又MN⊄平面ACC1A1,
所以MN∥平面ACC1A1.
【难点突破】
16.[解答] (1)证明:如图,连接OP,以O为坐标原点,分别以OB、OC、OP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,
则O(0,0,0),A(0,-8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,-4,3),F(4,0,3),由题意得,G(0,4,0),则=(8,0,0),=(0,-4,3),因此可得平面BOE的一个法向量为n
=(0,3,4),=(-4,4,-3),得n·=0,又直线FG不在平面BOE内,因此有FG∥平面BOE.
(2)设点M的坐标为(x0,y0,0),则=(x0-4,y0,-3),因为FM⊥平面BOE,所以有∥n,因此有x0=4,y0=-,即点M的坐标为,在平面xOy中,△AOB的内部区域满足不等式组经检验,点M的坐标满足上述不等式组,所以在△ABO内存在一点M,使FM⊥平面BOE.
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