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- 2021-05-13 发布
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输出n
开始
结束
Y
N
2011年南京师范大学附属中学高考模拟
数 学 试 题
1、已知全集,集合,则= .
2、已知复数,则该复数的虚部为 .
3、已知双曲线过点(2,1)且一条渐近线方程为x-y=0,
则该双曲线的标准方程为 .
4、在如图所示的流程图中,输出的结果是 .
5、在△ABC中,三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,
若,则= .
(第4题图)
6、已知向量与的夹角为,且,,
则 .
7、已知函数,若,则的取值范围是 .
8、如图是函数图像的一部分,则此函数的表达式为 .
9、某人2011年初向银行申请个人住房公积金贷款元购买住房,
年利率为,按复利计算,每年等额还贷一次,并从贷款后的
次年初开始还贷.如果10年还清,那么每年应还贷款 元.(用a,r表示)
(第8题图)
10、已知函数,若函数y=为奇函数,则= .
11、已知等差数列的公差不为零且,,依次成等比数列,则= .
12、已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右准线与x轴交于点A,点B的坐标为(0,a),若椭圆上的点M满足=2,则椭圆C的离心率为 .
13、在平面直角坐标系中,集合且,
,则当(x,y)∈N时,z=x-2y的最大值为 .
14、已知函数,若对于任意实数,均存在以为三边边长的三角形,则实数k的取值范围是 .
15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)求的值;
(2)若a=,求三角形面积的最大值.
16.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为矩形,,M,N分别为AC,PD的中点.
(1)求证:MN//平面ABP;
(2)求证:平面平面的充要条件是.
(第16题图)
17.已知直线l1,l2分别与抛物线x2=4y相切于点A,B,且A,B两点的横坐标分别为a,b (a,b∈R).
(1)求直线l1,l2的方程;
(2)若l1,l2与x轴分别相交于P,Q,且l1,l2交于点R,经过P,Q,R三点作⊙C.
①当a=4,b=-2时,求⊙C的方程;
②当a,b变化时,⊙C是否过定点? 若是,求出所有定点坐标;若不是,请说明理由.
18.已知数列{}的前n项的和为,且.
(1)求证:{}为等比数列;
(2)是否存在实数k,使得对于任意的都成立,若存在,求出实数k的取值范围;若不存在,说明理由.
19 已知函数,.(1)当时,求的单调增区间;
(2) 若在上只有一个极值点,求实数的取值范围;
(3) 对于任意,都有,求实数的取值范围.
2011年南京师范大学附属中学高考模拟
数 学 附 加 题
B.选修4-2:矩阵与变换
已知M,,试计算M9.
C.选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线(θ为参数)和曲线(t为参数)相交于两点A,B,求A,B的坐标.
22.如图,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AB=2, AA1=4,E为BC的中点,F为直线CC1上的动点,
A
C
B
D
B1
C1
D1
A1
E
设.
(1)当=1时,求二面角F-DE-C的余弦值;
(2)当为何值时,有BD1⊥EF?
(第22题图)
23.某养鸡场对疑似有传染病的100只鸡进行抽血化验,根据流行病学理论这些鸡的感染率为10%,为了减少抽检次数,首先把这些鸡平均分成若干组,每组n只,并把同组的n只鸡抽到的血混合在一起化验一次,若发现有问题,再分别对该组n只鸡逐只化验.
(1)当n=4时,记某一组中病鸡的数量为X,求X的概率分布和数学期望;
(2)当n为多少时,化验次数最少?并说明理由.
1. (-∞,2] 2. 1 3. - =1 4. 10 5.或 6.5 7.
8. 9. 10. -2 11. 2 12. 13.0 14.
15.(1)
==
==
(2)∵ ∴,
又∵ ∴ 当且仅当 b=c=时, bc=, 故bc的最大值是.
∵= ∴= ,. ∴三角形面积的最大值是.
17. 解:(1) A(a,),B(b,),记f(x)= ,f'(x)= ,则l1的方程为y-=(x-a),即y=x-
同理得l1的方程为y=x-
(2) 由题意a≠b且a,b不为零,联立方程组可求得P(,0),Q(,0) ,R (,)
抛物线的焦点F(0,1),∵KPF=-,∴KPF·KPA=-1,故l1⊥PF,同理l2⊥RF
∴经过P,Q,R三点的⊙C就是以FR为直径的圆
∴⊙C:x(x-)+(y-1)(y-)=0
当a=4,b=-2时,⊙C:x(x-1)+(y-1)(y+2)=0,x2+y2-x+y-2=0
显然当a≠b且a,b不为零时,⊙C总过定点F(0,1).
18. (1) n=1时,,解得
时,, 即
可得
所以{}是首项为1,公比为的等比数列.
(2)由(1)可得:,
所以
由 得:
只需求出的最大值即可
设
易得单调递减,
,所以
故单调递减,
当时,,故时, 单调递减,
所以,时,随着n的增大而减小
而,
所以的最大值为,
故.
19.解:(1)当时,,令,解出:,
所以的单调增区间为或。
(2) 令,
在上只有一个极值点在上只有一个根且不是重根。
令,,
①当时,,不在上有一个根,舍去。
②当时,,在上只有一个根且不是重根;
③当时,,在上只有一个根且不是重根;矛盾!
综上所述,实数的取值范围是:。
注:②③可以合并为:。
(3) 当,显然满足,以下讨论的情况。
⑴ 当时,,
,得到,即在上单调递增。
对于任意,不放设,则有,且代入不等式
,
引入新函数:,
所以问题转化为上恒成立
令,通过求导或不等式判断都可以:
,当;,所以当,
所以;
⑵当且时,,令,方程判别式且;
所以在上只有一个极大值。不妨设极大值点为,记,在A点处的切线的斜率为0;
过A点作一条割线AB,肯定存在点使的,因为慢慢变成0。这样存在存在,使得与矛盾!
当时,在上只有一个极大值,同样得出矛盾!
综上所述,求实数的取值范围为。
附加题参考答案
B.由
得:
当时,对应的特征向量为,当时,对应的特征向量为,
,所以 M9=.
C.(2,0)和(1,)
22. (1)二面角F-DE-C的余弦值为.
(2)=-9.
23.解:(1)由题意X服从B(4,0.1),概率分布略,E(X)= 4×0.1×0.9=0.36 4分
(2)由题意n=1,2,4,5,10,20,25,50,100
当n=1或100时,就是逐只检验,检验次数为100. 5分
当n∈{2,4,5,10,20,25,50}
将100只鸡平均分成组,每组n只,设X为n只鸡中的病鸡数,则X服从B(n,0.1),这n只鸡中无病鸡的概率为0.9n,这时化验1次;若n只鸡中有病鸡,其概率为1-0.9n,此时化验n+1次.
设Y为n只鸡的化验次数,则Y的概率分布为
Y 1 n+1
P 0.9n 1-0.9n
E(Y)=0.9n+(n+1)( 1-0.9n)=n+1-n·0.9n= n+1-n·(1-0.1)n
则组共需化验次数为E(Y)=[n+1-n·(1-0.1)n]
≈[n+1-n·(1-0.1n+×0.12)]=(1+0.1n2-)=+9.5n+0.5 8分
函数f(x)= +9.5x在(0,3]内减,在[4,+∞)内增.
又f(2)=69 f(4)=63,
故n=4时,化验次数最少. 10分
江苏省宿迁市老四所四星级县中联考试卷
1.已知集合,,则__ .
2.复数在复平面上对应的点位于第 __ 象限.
3.根据表格中的数据,可以判定方程的一个零点所在的区间为,则的值为 .
x
-1
0
1
2
3
0.37
1
2.72
7.39
20.09
1
2
3
4
5
4. 若x, y满足条件的最大值等于 .
5.设则tan的值等于__ .
6.设是定义在上的奇函数,且当时,,则_____.
7.在△ABC中,BC=1,,当△ABC的面积等于时,__ .
8.若曲线在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为 .
9.设是一次函数,,且成等比数列,则…_ .
10.函数的图象恒过定点,若点在一次函数的图象上,其中,则的最小值为__ .
11.设O是△ABC内部一点,且的面积之比为__ .
12.若函数是定义在(0,+)上的增函数,且对一切x>0,y>0满足,则不等式的解集为__ .
13.第29届奥运会在北京举行.设数列=,定义使为整数的实数k为奥运吉祥数,则在区间[1,2008]内的所有奥运吉祥数之和为________.
14.给出定义:若(其中为整数),则叫做离实数 最近的整数,记作,即 . 在此基础上给出下列关于函数的四个命题:
①函数的定义域是R,值域是[0,]; ②函数的图像关于直线(k∈Z)对称;
③函数是周期函数,最小正周期是1;④ 函数在上是增函数;
则其中真命题是__ .
15.已知向量,,函数.
(1)求的最大值及相应的的值;(2)若,求的值.
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16. 已知mÎR,设P:不等式;Q:函数在(-¥,+¥)上有极值.求使P正确且Q正确的m的取值范围.
17.已知函数的图象关于原点对称.
(1) 求m的值; (2)判断函数在区间上的单调性并加以证明;
(3)当的值域是,求与的值.
18.设数列的前项和为,且;数列为等差数列,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,为数列的前项和. 求证:.
19.(本题满分16分) 徐州、苏州两地相距500千米,一辆货车从徐州匀速行驶到苏州,规定速度不得超过100千米/小时.已知货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为0.01;固定部分为a元(a>0).
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;
(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
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1. 2. 三 3. 1 4. 25 5. 6. -1 7. 8. (1,0)
9. 10. 8 11. 1 12. (0,2) 13. 2026 14. ①②③
15. 解:(1)因为,,所以
因此,当,即()时,取得最大值;
(2)由及得,两边平方得
,即.……………………………………………12分
因此,.……………………………14分
16.解:由已知不等式得
① 或 ②
不等式①的解为不等式②的解为或…………………………………………………4分
因为,对或或时,P是正确的………………………..6分
对函数求导…8分
令,即
当且仅当D>0时,函数f()在(-¥,+¥)上有极值
由得或,因为,当或时,Q是正确的……12分
综上,使P正确且Q正确时,实数m的取值范围为(-¥,-1)È……….14分
17.解:(1)因为函数的图象关于原点对称,所以即,
,得或……………………………………….2分
当时,舍去;
当时,,令,解得或.
所以符合条件的m值为-1 …………………………………………………………………4分
(2)由(1)得,任取,
……………………6分
∴,
∴………………………………………………………………….8分
∴当时,即,此时为增函数;
当时,即,此时为减函数…10分
(3)由(2)知,当时在上为减函数;同理在上也为减函数
当时,与已知矛盾,舍去;………………12分
当时,因为函数的值域为
∴且,解得,……………………………………14分
18.解:(1)由,令,则,又,所以.
,则. …………………………………………………………………………………….2分
当时,由,可得. 即..6分
所以是以为首项,为公比的等比数列,于是. ……8分
(2)数列为等差数列,公差,可得. ….10分
从而. ……………………………………………..12分
∴……….16分
19.解:(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为 ……………………………………….4分
故所求函数及其定义域为 ………………………….6分
(2)依题意知a,v都为正数,故有
当且仅当.即时上式中等号成立………………………...8分
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(1)若,即时则当时,全程运输成本y最小.10分
(2)若,即时,则当时,有
.
。也即当v=100时,全程运输成本y最小.…….14分
综上知,为使全程运输成本y最小,当时行驶速度应为千米/时;
当时行驶速度应为v=100千米/时。………………………………………………16分
江苏省南京师大附中2012届高三12月阶段性检测
1. 若a,b∈R,i为虚数单位,且(a+i)i=b+i,则a+b= .
2. 过点(—1,—2)的直线l被圆截得的弦长为,则直线l的斜率为 .
3. 已知四棱椎P-ABCD的底面是边长为6 的正方形,侧棱底面,且,则该四棱椎的体积是 .
4. 已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=,A+C=2B,则sinC= .
5. 给定下列四个命题:
第7题图
x
y
O
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
②垂直于同一直线的两条直线相互平行;
③平行于同一直线的两个平面相互平行;
④垂直于同一直线的两个平面相互平行
上面命题中,真命题的序号是 (写出所有真命题的序号).
6. 等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若a1≠0,Sk+3=0,则k= .
7. 已知函数y=sin(x+)(>0, -<)的图像如图所示,则= .
8. 已知x、y满足,则的最小值为 .
9. 在中,,,则 .
10. 已知实数x,y满足,则xy的取值范围是 .
11. 设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1,F2,若曲线C上存在点P满足=6:5:4,则曲线C的离心率等于 .
12. 若是R上的减函数,且,设
,若“”是“”的必要不充分条件,则实数的取值范围是 .
13. 数列{an}满足a1=1,ai+1= 其中m是给定的奇数.若a6=6,则m = .
14.已知是正实数,设,若对每个实数a ,∩的元素不超过2个,且存在实数a使∩含有2个元素,则的取值范围是 .
15.设函数f(x)=,其中向量=(2cosx,1),=(cosx,sin2x),x∈R.
(1) 若f(x)=0且x∈(-,0), 求tan2x;
(2) 设△ABC的三边a,b,c依次成等比数列,试求f(B)的取值范围.
16. (第16题)
A
B
C
D
E
F
P
如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,且AB=,BC=1,E,F分别为AB,PC中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)若平面PAC⊥平面ABCD,求证:平面PAC⊥平面PDE.
17.已知函数(x>0)在x = 1处取得极值,其中a,b,c为常数。
(1)试确定a,b的值;
(2)求函数f(x)的单调增区间;
(3)若对任意x>0,不等式f(x)≥-(c-1)4+(c-1)2-c+9恒成立,求c的取值范围.
18.在平面直角坐标系xOy中,A(2a,0),B(a,0),a为非零常数,动点P满足PA=PB,记点P的轨迹曲线为C.
(1)求曲线C的方程;
(2)曲线C上不同两点Q (x1,y1),R (x2,y2)满足=λ,点S为R 关于x轴的对称点.
①试用λ表示x1,x2,并求λ的取值范围;
②当λ变化时,x轴上是否存在定点T,使S,T,Q三点共线,证明你的结论.
19.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,Sn= tan+1 (n∈N+,t∈R).
(1)求数列{Sn}的通项公式;
2)求数列{nan}的前n项和为Tn.
B.选修4—2:矩阵与变换
已知矩阵A=.
(1)求矩阵A的特征值和特征向量;(2)求A的逆矩阵A-1.
C.选修4—4:坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程:(为参数)和圆C的极坐标方程:.
(1)将直线的参数方程化为普通方程,圆的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)若平面直角坐标系横轴的非负半轴与极坐标系的极轴重合,试判断直线和圆的位置关系.
22.若二项式(1+2x)n展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
23.甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两部分,笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取),两次考试过程相互独立.根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析,甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是0.5,0.6,0.75.
(1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率;
(2)设经过两次考试后,能被该高校预录取的人数为,求随机变量的期望.
参考答案:
1. 2.1或 3. 96
4. 5. ④ 6. 10 7.
8. -6 9. 10. [,2] 11. 或 12.
13. m=9. 14.
15. 解:f(x)==(2cosx,1) (cosx, sin2x)=2cos2x+sin2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1
(1) ∵f(x)= 0,∴sin(2x+)=-,x∈(-,0) ∴2x+∈(-,) ∴2x+=-,∴x=-,tan2x=-
(2) ∵a,b,c成等比数列, ∴b2=ac由余弦定理得∴cosB==≥=
∴0