—五年高考数学试题及答案江苏省word 76页

绝密★启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数 学 本试卷分第 I 卷（填空题）和第 II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题 无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上． 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择 题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损． 5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式: 样本数据 1x , 2x ,, nx 的标准差      2 2 2 1 2 1 ns x x x x x xn           其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V Sh 其中 S 为底面积， h 为高 一、填空题：本大题共 1 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1.   cos 6f x x      的最小正周期为 5  ，其中 0  ，则 = ▲ ． 2．一个骰子连续投 2 次，点数和为 4 的概率 ▲ ． 3.1 1 i i   表示为 a bi  ,a b R ，则 a b  = ▲ ． 4.A=   2 1 3 7x x x   ，则 A  Z 的元素的个数 ▲ ． 5. a  ，b  的夹角为120 ， 1a  ， 3b  则 5a b   ▲ ． 6.在平面直角坐标系 xoy 中，设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不 大于 1 的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则所投的点落入 E 中的概率是 ▲ ． 7.某地区为了解 70-80 岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随即选择了 50 为老人进行调查，下表是这 50 为老人 日睡眠时间的频率分布表。 序号 （i） 分组 （睡眠时间） 组中值 （Gi） 频数 （人数） 频率 （Fi） 1 [4，5] 4.5 6 0.12 2 [5，6] 5.5 10 0.20 锥体体积公式 1 3V Sh 其中 S 为底面积， h 为高 球的表面积、体积公式 24S R ， 34 3V R 其中 R 为球的半径 3 [6，7] 6.5 20 0.40 4 [7，8] 7.5 10 0.20 5 [8，9] 8.5 4 0.08 在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的 S 的值是 ▲ 。 8.设直线 1 2y x b  是曲线  ln 0y x x  的一条切线，则实数 b＝ ▲ ． 9 在平面直角坐标系 xOy 中，设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点 P（0，p）在线段 AO 上的一点 （异于端点），设 a,b,c, p 均为非零实数，直线 BP,CP 分别与边 AC , AB 交于点 E、F ，某同学已正确求得 OE 的方程： 1 1 1 1 0x yb c p a            ，请你完成直线 OF 的方程：（ ▲ ） 1 1 0x yp a       . 10．将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ． ． ． ． ． ． ． 按照以上排列的规律，数阵中第 n 行（n ≥3）从左向右的第 3 个数为 ▲ ． 11.已知 , ,x y z R ，满足 2 3 0x y z   ，则 2y xz 的最小值是 ▲ ． 12.在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 2 2 2 2 x y a b   1( a b  0)的焦距为 2c，以点 O 为圆心，a 为半径作圆 M，若过 点 P 2 ,0a c      所作圆 M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为 e = ▲ ． 13．满足条件 AB=2, AC= 2 BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是 ▲ ． 14.设函数   3 3 1f x ax x   （x∈R），若对于任意  1,1x  ，都有  f x ≥0 成立，则实数 a = ▲ ． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤． 15．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边做两个锐角  ,  ，它们的终边 分别与单位圆相交于 A、B 两点，已知 A、B 的横坐标分别为 2 2 5,10 5 ． （Ⅰ）求 tan(  )的值； （Ⅱ）求 2  的值． 16．如图，在四面体 ABCD 中，CB= CD, AD⊥BD，点 E 、F 分 别是 AB、BD 的中点， 求证：（Ⅰ）直线 EF ∥平面 ACD ； （Ⅱ）平面 EFC⊥平面 BCD ． 17．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB=20km, CB =10km ，为了处理三家工厂的污水， 现要在该矩形 ABCD 的区域上（含边界），且与 A、B 等距离的一点 O 处建造一个 污水处理厂，并铺设 三条排污管道 AO,BO,OP ，设排污管道的总长为 y km． （Ⅰ）按下列要求写出函数关系式： ①设∠BAO= (rad)，将 y 表示成 的函数关系式； ②设 OP x (km) ，将 y 表示成 x 的函数关系式． （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． 18．设平面直角坐标系 xoy 中，设二次函数    2 2f x x x b x R    的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个 交点的圆记为 C． （Ⅰ）求实数 b 的取值范围； （Ⅱ）求圆 C 的方程； （Ⅲ）问圆 C 是否经过某定点（其坐标与 b 无关）？请证明你的结论． 19.（Ⅰ）设 1 2, , , na a a 是各项均不为零的等差数列（ 4n  ），且公差 0d  ，若将此数列删去某一项得到的数 列（按原来的顺序）是等比数列： ①当 n =4 时，求 1a d 的数值；②求 n 的所有可能值； （Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数 n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列 1 2, , , nb b b ，其中任意 三项（按原来顺序）都不能组成等比数列． 20.若   1 1 3 x pf x  ，   2 2 2 3 x pf x   ， 1 2, ,x R p p 为常 数，函数 f (x) 定义 为：对每 个给定 的实数 x，               1 1 2 2 1 2 , , f x f x f xf x f x f x f x    （Ⅰ）求    1f x f x 对所有实数 x 成立的充要条件（用 1 2,p p 表示）； （Ⅱ）设 ,a b 为两实数，满足 a b ，且 1 2,p p ∈ ,a b ,若    f a f b ，求证：  f x 在区间 ,a b 上的单调增区 间的长度之和为 2 b a （闭区间 ,m n 的长度定义为 n m ）． 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学参考答案 一、填空题：本大题共 1 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1. 【答案】10 【解析】本小题考查三角函数的周期公式. 2 105T       2．【答案】 1 12 【解析】本小题考查古典概型．基本事件共 6×6 个，点数和为 4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共 3 个，故 3 1 6 6 12P   3. 【答案】1 【解析】本小题考查复数的除法运算．∵  211 1 2 ii ii    ，∴ a ＝0，b ＝1，因此 1a b  4. 【答案】0 【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由 2( 1) 3 7x x   得 2 5 8 0x x   ,∵Δ＜0，∴集合 A 为  ，因此 A  Z 的元素不存在． 5. 【答案】7 【解析】本小题考查向量的线性运算．  22 2 2 5 5 25 10a b a b a a b b              = 2 2125 1 10 1 3 3 492            ， 5a b   7 6. 【答案】 16  【解析】本小题考查古典概型．如图：区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部（含边界），区域 E 表示单位圆及其 内部，因此． 21 4 4 16P    7. 【答案】6.42 8. 【答案】ln2－1 【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法． ' 1y x  ，令 1 1 2x  得 2x  ，故切点（2，ln2），代入直线方 程，得，所以 b＝ln2－1． 9【答案】 1 1 c b  【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填 1 1 c b  ．事实上，由截距式可得直线 AB： 1x y b a   ， 直线 CP： 1x y c p   ，两式相减得 1 1 1 1 0x yb c p a            ，显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程，又原点 O 也满足此方程，故为所求直线 OF 的方程． 10．【答案】 2 6 2 n n  【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前 n－1 行共有正整数 1＋2＋…＋（n－1）个，即 2 2 n n 个， 因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第 2 2 n n ＋3 个，即为 2 6 2 n n  ． 11. 【答案】3 【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由 2 3 0x y z   得 3 2 x zy  ，代入 2y xz 得 2 29 6 6 6 34 4 x z xz xz xz xz xz     ，当且仅当 x ＝3 z 时取“＝”． 12. 【答案】 2 2 【解析】设切线 PA、PB 互相垂直，又半径 OA 垂直于 PA，所以△OAP 是等腰直角三角形，故 2 2a ac  ，解得 2 2 ce a   ． 13．【答案】 2 2 【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设 BC＝ x ，则 AC＝ 2x ， 根据面积公式得 ABCS = 21 sin 1 cos2 AB BC B x B  ，根据余弦定理得 2 2 2 2 24 2cos 2 4 AB BC AC x xB AB BC x       24 4 x x  ，代入上式得 ABCS =  2 22 128 1241 4 16 xxx x       由三角形三边关系有 2 2 2 2 x x x x      解得 2 2 2 2 2 2x    ， 故当 2 2x  时取得 ABCS 最大值 2 2 14. 【答案】4 【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若 x＝0，则不论 a 取何值，  f x ≥0 显然成立；当 x＞0 即  1,1x  时，   3 3 1f x ax x   ≥0 可化为， 2 3 3 1a x x   设   2 3 3 1g x x x   ，则    ' 4 3 1 2xg x x  ， 所以  g x 在区间 10, 2      上单调递增，在区间 1 ,12      上单调递减， 因此  max 1 42g x g      ，从而 a ≥4； 当 x＜0 即 1,0 时，   3 3 1f x ax x   ≥0 可化为 a  2 3 3 1 x x  ，    ' 4 3 1 2xg x x  0  g x 在区间 1,0 上单调递增，因此    ma 1 4ng x g   ，从而 a ≤4，综上 a ＝4 二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式． 解：由已知条件及三角函数的定义可知， 2 2 5cos ,cos10 5    ， 因为 ,  为锐角，所以sin = 7 2 5,sin10 5   因此 1tan 7,tan 2    （Ⅰ）tan(  )= tan tan 31 tan tan        （Ⅱ） 2 2tan 4tan 2 1 tan 3    ，所以   tan tan 2tan 2 11 tan tan 2          ∵ ,  为锐角，∴ 30 2 2     ，∴ 2  = 3 4  16．【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定． 解：（Ⅰ）∵ E,F 分别是 AB,BD 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF∥AD， ∵EF  面 ACD ，AD  面 ACD ，∴直线 EF∥面 ACD ． （Ⅱ）∵ AD⊥BD ，EF∥AD，∴ EF⊥BD. ∵CB=CD, F 是 BD 的中点，∴CF⊥BD. 又 EF  CF=F，∴BD⊥面 EFC．∵BD  面 BCD，∴面 EFC⊥面 BCD ． 17．【解析】本小题主要考查函数最值的应用． 解：（Ⅰ）①延长 PO 交 AB 于点 Q，由条件知 PQ 垂直平分 AB，若∠BAO= (rad) ，则 10 cos cos AQOA    , 故 10 cosOB  ，又 OP＝10 10tan 10－10ta ， 所以 10 10 10 10tancos cosy OA OB OP         ， 所求函数关系式为 20 10sin 10cosy     0 4      ②若 OP= x (km) ，则 OQ＝10－ x ，所以 OA =OB=  2 2 210 10 20 200x x x     所求函数关系式为  22 20 200 0 10y x x x x      （Ⅱ）选择函数模型①，     ' 2 2 10cos cos 20 10 sin 10 2sin 1 cos cos siny              令 'y  0 得 sin 1 2   ，因为 0 4   ，所以 = 6  ， 当 0, 6      时， ' 0y  ， y 是 的减函数；当 ,6 4       时， ' 0y  ， y 是 的增函数，所以当 = 6  时， min 10 10 3y   。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上，且距离 AB 边 10 3 3 km 处。 18．【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法． 解：（Ⅰ）令 x ＝0，得抛物线与 y 轴交点是（0，b）； 令   2 2 0f x x x b    ，由题意 b≠0 且Δ＞0，解得 b＜1 且 b≠0． （Ⅱ）设所求圆的一般方程为 2x 2 0y Dx Ey F     令 y ＝0 得 2 0x Dx F   这与 2 2x x b  ＝0 是同一个方程，故 D＝2，F＝b ． 令 x ＝0 得 2y Ey ＝0，此方程有一个根为 b，代入得出 E＝―b―1． 所以圆 C 的方程为 2 2 2 ( 1) 0x y x b y b      . （Ⅲ）圆 C 必过定点（0，1）和（－2，1）． 证明如下：将（0，1）代入圆 C 的方程，得左边＝0 2 ＋1 2 ＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0， 所以圆 C 必过定点（0，1）． 同理可证圆 C 必过定点（－2，1）． 19.【解析】本小题主要考查等差数列、等比数列的有关知识，考查运用分类讨论的思想方法进行探索分析及论证的 能力，满分 16 分。 解：首先证明一个“基本事实”： 一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差 d0=0 事实上，设这个数列中的连续三项 a-d0,a,d+d0 成等比数列，则 a2=(d-d0)(a+d0) 由此得 d0=0 （1）(i) 当 n=4 时, 由于数列的公差 d≠0,故由“基本事实”推知，删去的项只可能为 a2 或 a3 ①若删去 2a ，则由 a1,a3,a4 成等比数列，得(a1+2d)2=a1(a1+3d) 因 d≠0，故由上式得 a1=－4d，即 d a1 =－4，此时数列为－4d, －3d, －2d, －d，满足题设。 ②若删去 a3，则由 a1,a2,a4 成等比数列，得(a1+d)2=a1(a1+3d) 因 d≠0，故由上式得 a1=d，即 d a1 =1，此时数列为 d, 2d, 3d, 4d，满足题设。 综上可知， d a1 的值为－4 或 1。 (ii)若 n≥6，则从满足题设的数列 a1,a2,……,an 中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而 这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列 a1,a2,……,an 的公差必为 0，这与题设矛盾，所以 满足题设的数列的项数 n≤5，又因题设 n≥4，故 n=4 或 5. 当 n=4 时，由（i）中的讨论知存在满足题设的数列。 当 n=5 时，若存在满足题设的数列 a1,a2,a3,a4,a5，则由“基本事实”知，删去的项只能是 a3，从而 a1,a2,a4,a5 成等比数列，故 (a1+d)2=a1(a1+3d) 及 (a1+3d)2=(a1+d)(a1+4d) 分别化简上述两个等式，得 a1d=d2 及 a1d=－5d,故 d=0，矛盾。因此，不存在满足题设的项数为 5 的等差数列。 综上可知，n 只能为 4. （2）假设对于某个正整数 n，存在一个公差为 d′的 n 项等差数列 b1,b1+ d′,……，b1+(n-1) d′(b1 d′≠0)，其 中三项 b1+m1 d′,b1+m2 d′,b1+m3 d′成等比数列，这里 0≤m10，使得 )1)(()(' 2  axxxhxf ，则称函数 )(xf 具有性质 )(aP . （1）设函数 )(xf )1(1 2)(   xx bxh ，其中b 为实数 （ⅰ）求证：函数 )(xf 具有性质 )(bP ； （ⅱ）求函数 )(xf 的单调区间； （ 2 ） 已 知 函 数 )(xg 具 有 性 质 )2(P ， 给 定 为实数，设mxxxx ,),,1(, 2121  21 )1( xmmx  ， 21)1( mxxm  ，且 1,1   ，若| )()(  gg  |<| )()( 21 xgxg  |,求 m 的取值范围. 2011 江苏高考数学试卷 注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题-第 20 题，共 20 题）。本卷满分为 160 分。考试时间为 120 分钟。考试结 束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 5.如需作图，须用 2B 铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。 参考公式： （1）样本数据 x1 ,x2 ，…，xn 的方差 s2= n i=1 1 n  （xi - x ）2,其中 n i i=1 1 xn  . （2）(2)直棱柱的侧面积 S=ch ,其中 c 为底面积，h 为高. （3）棱柱的体积 V= Sh ，其中 S 为底面积，h 为高. 一.填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分，请把答案填写在答题卡的相应位置上。．．．．．．．．．． 1、已知集合 },2,0,1{},4,2,2,1{  BA 则 _______, BA 2、函数 )12(log)( 5  xxf 的单调增区间是__________ 3、设复数 i 满足 izi 23)1(  （i 是虚数单位），则 z 的实部是_________ 4、根据如图所示的伪代码，当输入 ba, 分别为 2，3 时，最后输出的 m 的值是________ Read a，b If a>b Then m  a Else m  b End If Print m 5、从 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10，6，8，5，6，则该组数据的方差 ___2 s 7、已知 ,2)4tan(  x 则 x x 2tan tan 的值为__________ 8、在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数 xxf 2)(  的图象交于 P、Q 两点，则线段 PQ 长的最 小值是________ 9、函数  ,,(),sin()( wAwxAxf  是常数， )0,0  wA 的部分图象如图所示，则 ____)0( f 3   12 7 2 10、已知  21,ee 是夹角为  3 2 的两个单位向量， ,,2 2121   eekbeea 若 0  ba ，则 k 的值为 11、已知实数 0a ，函数      1,2 1,2)( xax xaxxf ，若 )1()1( afaf  ，则 a 的值为________ 12、在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 是函数 )0()(  xexf x 的图象上的动点，该图象在 P 处的切线l 交 y 轴 于点 M，过点 P 作l 的垂线交 y 轴于点 N，设线段 MN 的中点的纵坐标为 t，则 t 的最大值是_____________ 13、设 7211 aaa   ，其中 7531 ,,, aaaa 成公比为 q 的等比数列， 642 ,, aaa 成公差为 1 的等差数列，则 q 的最小值是________ 14、设集合 },,)2(2|),{( 222 RyxmyxmyxA  , },,122|),{( RyxmyxmyxB  , 若 , BA 则实数 m 的取值范围是______________ 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程活盐 酸步骤。 15、在△ABC 中，角 A、B、C 所对应的边为 cba ,, （1）若 ,cos2)6sin( AA   求 A 的值； （2）若 cbA 3,3 1cos  ，求 Csin 的值. 16、如图，在四棱锥 ABCDP  中，平面 PAD⊥平面 ABCD， AB=AD，∠BAD=60°，E、F 分别是 AP、AD 的中点 求证：（1）直线 EF‖平面 PCD； （2）平面 BEF⊥平面 PAD 17、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰 直角三角形，再沿虚线折起，使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=FB=xcm （1）若广告商要求包装盒侧面积 S（cm 2 ）最大，试问 x 应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积 V（cm 3 ）最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。 P 18、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，M、N 分别是椭圆 124 22  yx 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两 点，其中 P 在第一象限，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 C，连接 AC，并延长交椭圆于点 B，设直线 PA 的斜率为 k （1）当直线 PA 平分线段 MN，求 k 的值； （2）当 k=2 时，求点 P 到直线 AB 的距离 d； （3）对任意 k>0，求证：PA⊥PB 19、 已知 a ，b 是 实数 ， 函 数 ,)(,)( 23 bxxxgaxxxf  )(xf  和 )(xg 是 )(),( xgxf 的 导函 数 ， 若 0)()(  xgxf 在区间 I 上恒成立，则称 )(xf 和 )(xg 在区间 I 上单调性一致 （1）设 0a ，若函数 )(xf 和 )(xg 在区间 ),1[  上单调性一致,求实数 b 的取值范围； （2）设 ,0a 且 ba  ，若函数 )(xf 和 )(xg 在以 a，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值 N M P A x y B C 20、设 M 为部分正整数组成的集合，数列 }{ na 的首项 11 a ，前 n 项和为 nS ，已知对任意整数 k 属于 M，当 n>k 时， )(2 knknkn SSSS   都成立 （1）设 M=｛1｝， 22 a ，求 5a 的值；（2）设 M=｛3，4｝，求数列 }{ na 的通项公式 2012 年江苏高考 Y N 输出 n 开始 1 a 2n  ， 1n n 3 2a a 20a 结束 （第 5 题） 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷） 数学Ⅰ 注意事项 绝密★启用前 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题～第 20 题，共 20 题）.本卷满分为 160 分.考试时间为 120 分钟.考试结束 后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符. 4．作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效. 5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.函数 )42sin(3  xy 的最小正周期为 ▲ . 解析： 2= =2T   2.设 2)2( iz  (i 为虚数单位)，则复数 z 的模为 ▲ . 解析：  223 4 , 3 4 =5Z i Z     3.双曲线 1916 22  yx 的两条渐近线的方程为 ▲ . 解析： 3y= 4 x 4.集合 1,0,1 共有 ▲ 个子集. 解析： 32 8 （个） 5.右图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值是 ▲ 解析：经过了两次循环，n 值变为 3 6.抽样统计甲，乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位：环)，结果如下： 运动员 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ . 解析：易知均值都是 90，乙方差较小，             2 2 2 2 2 22 1 1 1 89 90 90 90 91 90 88 90 92 90 25 n i i s x xn               7.现有 某类病 毒记作 nmYX ，其 中正整 数 )9,7(,  nmnm 可以 任意选 取，则 nm, 都取 到奇数 的概率 为 ▲ . 解析： m 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7 共 7 个 n 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7,8,9 共9个 所以总共有 7 9 63  种可能 符合题意的 m 可以取1,3,5,7 共 4 个 符合题意的 n 可以取1,3,5,7,9 共5个 所以总共有 4 5 20  种可能符合题意 所以符合题意的概率为 20 63 8.如图，在三棱柱 ABCCBA 111 中， FED ,, 分别是 1,, AAACAB 的中点，设三棱锥 ADEF  的体积为 1V ，三棱 柱 ABCCBA 111 的体积为 2V ，则 21 :VV ▲ . 解析： 1 1 2 2 1 1 1 1 1 3 3 4 2 24ADE ABCV S h S h V     所以 1 2 1: 24V V  9.抛物线 2xy  在 1x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含三角形内部和边界).若点 ),( yxP 是区域 D 内的任意一点，则 yx 2 的取值范围是 ▲ . 解析：易知切线方程为： 2 1y x  所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为      0,0 0.5,0 0, 1A B C  易知过 C 点时有最小值 2 ，过 B 点时有最大值 0.5 10.设 ED, 分别是 ABC 的边 BCAB, 上的点， ABAD 2 1 , BCBE 3 2 ,若 ACABDE 21   ( 21, 为实数)， 则 21   的值为 ▲ . A B C 1A D E F 1B 1C 解析： 易知  1 2 1 2 1 2 2 3 2 3 6 3DE AB BC AB AC AB AB AC              所以 1 2 1 2    11.已知 )(xf 是定义在 R 上的奇函数.当 0x 时， xxxf 4)( 2  ，则不等式 xxf )( 的解集用区间表示为 ▲ . 解析：因为 )(xf 是定义在 R 上的奇函数，所以易知 0x  时， 2( ) 4f x x x   解不等式得到 xxf )( 的解集用区间表示为   5,0 5,  12.在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 的标准方程为 )0,0(12 2 2 2  bab y a x ，右焦点为 F ,右准线为l ，短轴的一 个端点为 B ，设原点到直线 BF 的距离为 1d ， F 到l 的距离为 2d .若 12 6dd  ，则椭圆的离心率为 ▲ . 解析：由题意知 2 2 1 2,bc a bd d ca c c     所以有 2 6b bc c a  两边平方得到 2 2 46a b c ，即 4 2 2 46a a c c  两边同除以 4a 得到 2 41 6e e  ，解得 2 1 3e  ，即 3 3e  13.平面直角坐标系 xOy 中，设定点 ),( aaA ， P 是函数 )0(1  xxy 图像上一动点，若点 AP, 之间最短距离为 22 ，则满足条件的实数 a 的所有值为 ▲ . 解析： 由题意设  0 0 0 1, , 0P x xx       则有   2 2 22 2 2 2 0 0 0 0 02 0 0 0 0 0 1 1 1 1 12 + +2 = + -2 + 2 2PA x a a x a x a x a x ax x x x x                                令  0 0 1 t 2x tx    则  2 2 2= (t)=t 2 2 2 2PA f at a t    ，对称轴t a 1. 2a  时， 2 2 min 2 (2) 2 4 2 2 4 2 8 PA f a a a a         1a   ， 3a  （舍去） 2. 2a  时， 2 2 min 2 ( ) 2 2 8 PA f a a a       10a  ， 10a   （舍去） 综上 1a   或 10a  14.在正项等比数列 na 中， 2 1 5 a ， 376  aa .则满足 nn aaaaaaaa ...... 321321  的最大正整数 n 的值为 ▲ . 解析： 2 2 5 2 5 5 2 6 6 7 1 2 3 1 2 3 11 5 5 2 11 5 52 2 3 ... .. 1 , . 2 2 2 2 2 2 0 115 2 13 129 13 2 3 6 0 0 2 29 2 2 1 2 n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a q a q q a a n n q n q n q a                                           n N  1 12,n n N     又 12n  时符合题意，所以 n 的最大值为12 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15.（本小题满分 14 分） 已知  cos sina   ， ，  cos sinb   ， ， 0      . (1) 若 2a b   ，求证： a b  ； (2) 设  0 1c , ，若 a b c    ，求 ，  的值. 解：(1)    cos ,sin , cos ,sin ,0a b            2a b    2 2a b    2 2 2 2a b ab      1 1 2 2a b     0a b   a b   (2)       0,1 , cos cos ,sin sin 0,1 cos cos 0 sin sin 1 c a b c                           ① ② 2 2+① ② 得：  2+2cos 1     1cos 2     0 0 2 3                    又 cos cos 0 5 ,6 6                 16. （本小题满分 14 分） 如图，在三棱锥 S ABC 中，平面 SAB  平面 SBC ， AB BC , AS AB . 过 A 作 AF SB ，垂足为 F ，点 E ,G 分别是侧棱 SA , SC 的中点. 求证：(1) 平面 EFG / / 平面 ABC ; (2) BC SA . 解：(1) ,E G 分别是侧棱 ,SA SC 的中点 EG AC ∥ AC 在平面 ABC 中， EG 在平面外 EG ∥平面 ABC ,AS AB AF SB ⊥ F 为 SB 中点 EF AB ∥  AB 在平面 ABC 中， EF 在平面外 EF ∥平面 ABC  EF 与 EG 相交于 E ,EF EG 在平面 EFG 中  平面 EFG / / 平面 ABC (2) 平面 SAB⊥平面 SBC SB 为交线  AF 在 SAB 中， AF SB⊥ AF ⊥平面 SBC AF BC ⊥ BC AB ⊥ AF 与 AB 相交于 A ,AF AB 在平面 SAB 中 BC ⊥平面 SAB BC SA ⊥ 17. （本小题满分 14 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点  0 3A , ，直线 2 4l y x ： .设圆的半径为 1，圆心在 l 上. (1) 若圆心C 也在直线 1y x  上，过点 A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2) 若圆C 上存在点 M ，使 2MA MO ，求圆心C 的横坐标 a 的取值范围. 解：（1） 2 4 1 y x y x     ① ② ①与②联立得到圆心坐标  3,2C 圆方程为    2 23 2 1x y    切线斜率不存在时，不合题意 设切线方程为 3y kx  2 3 2 3 1 1 k k     解得 0k  或 3 4k   切线方程为 3y  或 3 34y x   （2）设  ,2 4C a a  ，则圆方程为   2 22 4 1x a y a     设 0 0( , )M x y 由题意   2 2 0 0 2 4 1x a y a     2MA MO  22 2 2 0 0 0 03 4 4x y x y     即  22 0 0 1 4x y    M 存在，圆   2 22 4 1x a y a     与圆  22 1 4x y   有交点 即两圆相交或相切    2 222 1 2 1d     即    2 21 0 2 4 ( 1) 9a a       120 5a   18. （本小题满分 16 分） 如图，游客从某旅游景区的景点处下山至 C 处有两种路径. 一种是从沿 A 直线步行到C ，另一种是先从 A 沿索道乘 缆车到 B ，然后从 B 沿直线步行到 C . 现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50m/min. 在甲出发 2min 后，乙从 A 乘缆车到 B ， 在 B 处停留 1min 后，再从 B 匀速步行到C . 假设缆车匀速直线运动的速度为 130m/min，山路 AC 长为 1260m，经 测量， 12cos 13A  ， 3cos 5C  . (1) 求索道 AB 的长； (2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3) 为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过 3 分钟，乙 步 行 的 速 度 应控制在什么范围内？ 解：(1) 12 3cos ,cos13 5 0 ,0 ,0 5 4sin ,sin13 5 A C A B C A C                 + =A B C    5 3 12 4 63sin =sin + =sin cos +cos sin = + =13 5 13 5 65B A C A C A C   = =sin sin sin AC AB BC B C A  sin 4 65= = 1260=1040msin 5 63 CAB ACB     (2) sin= =500sin ABC ACB  设乙出发  t 8t  分钟后，甲到了 D 处，乙到了 E 处 则有 =50t+100AD 130AE t 根据余弦定理 2 2 2 2 cosDE AE AD AE AD A     即 2 27400 14000 10000DE t t   当 14000 35 2 7400 37t   时， 2DE 有最小值 250 74 37DE  (3)设甲所用时间为t甲 ，乙所用时间为 t乙 ，乙步行速度为V乙 由题意 1260 126= = min50 5t甲 1040 500 500t =2+ +1+ =11+ min130 V V乙 乙 乙 126 5003 11 35 V         乙 解不等式得1250 625 43 14V 乙 19. （本小题满分 16 分） 设 na 是首项为 a ，公差为 d 的等差数列  0d  ， nS 是其前 n 项和. 记 2 n n nSb n c   ， Nn * ，其中 c 为实数. (1) 若 0c  ，且 1b ， 2b ， 4b 成等比数列，证明：  2 Nnk kS n S k,n *  ； (2) 若 nb 是等差数列，证明： 0c  . 解： （1）    1 0na a n d d    2 2n n nS na d  0c  时， n n Sb n  1 1 2 2 4 4 1 2 2 3 4 2 Sb a S db a S db a         1 2 4, ,b b b 成等比 2 1 4 2b b b  2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 0 2 n nk k nk k d da a a d ad d d a S n a S n k a n S n k a S n S                           （2）由已知 2 3 2 2 2 2 2 2 n n nS n a n d n db n c n c     nb 是等差数列 设 nb kn b  （k,b 为常数） 有   3 22 2 2 2 2 0k d n b d a n ckn bc       对任意 n N  恒成立 2 0 2 2 0 2 0 2 0 k d b d a ck bc          0d  0 0 k c     此时 2 2 2 dk a db   命题得证 20. （本小题满分 16 分） 设函数   ln f x x ax  ，   xg x e ax  ，其中 a 为实数. (1) 若  f x 在 1, 上是单调减函数，且  g x 在 1, 上有最小值，求 a 的范围； (2) 若  g x 在 1,  上是单调增函数，试求  f x 的零点个数，并证明你的结论. 解：（1） ' 1( )f x x a  '( ) xg x e a  由题意： '( ) 0f x  对  1,x  恒成立 即 1a x 对  1,x  恒成立 1a    g x 在 1, 上有最小值 0a  时， '( ) 0g x  恒成立， ( )g x 在 1, 无最值 0a  时，由题意 ln 1a  a e 综上： a 的范围是： a e （2）  g x 在 1,  上是单调增函数  '( ) 0g x  对  1,x   恒成立 即 xa e 对  1,x   恒成立 1a e  令 ( ) 0f x  ，则 ln xa x  则有 ( )f x 的零点个数即为 y a 与 ln xy x  图像交点的个数 令  ln( ) 0xh x xx   则 ' 2 1 ln( ) xh x x  易知 ( )h x 在 0,e 上单调递增，在 ,e  上单调递减 在 x e 时取到最大值 1( ) 0h e e   当 0x  时， ln( ) xh x x    当 x   时， ln( ) 0xh x x    ( )h x 图像如下 所以由图可知： 0a  时， ( )f x 有 1 个零点 10 a e   时， ( )f x 有 2 个零点 1a e  时， ( )f x 有 1 个零点 综上所述： 0a  或 1a e  时， ( )f x 有 1 个零点 10 a e   时， ( )f x 有 2 个零点 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，包含填空题(第 1 题～第 14 题，共 14 题)、解答题(第 15 题～第 20 题，共 6 题)两部分。本次考试时间为 120 分钟。考试结束后，只要将答题卡交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在 答题卡上，并用 2B 铅笔把答题卡上考试证号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮 擦干净后，再正确涂写。 3．答题时，必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。 4．如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）答案解析 数 学Ⅰ 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．． 位． 置上．．． 1、已知集合 }4,3,1,2{A  , }3,2,1{B  ,则 BA  = ▲ ． 【答案】 }3,1{ 【解析】根据集合的交集运算，两个集合的交集就是所有既属于集合 A 又属于集合 B 的元 素 组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，公共的元素为-1 和 3，所以答案为 }3,1{ 【点评】本题重点考查的是集合的运算，容易出错的地方是审错题目，把交集运算看成并集运算。属于基础题，难 度系数较小。 2、已知复数 2)25( iz  (i 为虚数单位），则 z 的实部为 ▲ ． 【答案】21 【解析】根据复数的乘法运算公式， iiiiz 2021)2(2525)25( 222  ，实部为 21，虚部为-20。 【点评】本题重点考查的是复数的乘法运算公式，容易出错的地方是计算粗心，把 12 i 算为 1。属于基础题，难 度系数较小。 3、右图是一个算法流程图，则输出的 n 的值是 ▲ ． 【答案】5 【解析】根据流程图的判断依据，本题 202 n 是否成立，若不成立，则 n 从 1 开始每次判断完后循环时， n 赋值 为 1n ；若成立，则输出 n 的值。本题经过 4 次循环，得到 203222,5 5  nn ，成立，则输出的 n 的值为 5 【点评】本题重点考查的是流程图的运算，容易出错的地方是判断循环几次时出错。属于基础题，难度系数较小。 4、从 6,3,2,1 这 4 个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 ▲ ． 【答案】 3 1 【解析】将随机选取 2 个数的所有情况“不重不漏”的列举出来：（1，2），（1，3）（1，6），（2，3），（2，6），（3， 6），共 6 种情况，满足题目乘积为 6 的要求的是（1，6）和（2，3），则概率为 3 1 。 【点评】本题主要考查的知识是概率，题目很平稳，考生只需用列举法将所有情况列举出来，再将满足题目要求的 情况选出来即可。本题属于容易题，但同时也易在列举时粗心、遗漏，需要引起考生的注意。 开始 0n 1 nn 202 n 输出 n 结束 （第 3 题） N Y 5、已知函数 xy cos 与 )0)(2sin(   xy ，它们的图象有一个横坐标为 3  的交点，则 的值是 ▲ ． 【答案】 6  【 解 析 】根 据 题 目 中 两 个函 数 的 图 象 有 一个 横 坐 标 为 3  的 交 点 ，所 以 将 3  分 别 代 入两 个 函 数 ， 得 到 )32sin(2 1 3cos   ，通过正弦值为 2 1 ，解出 )(,263 2 Zkk   或 )(,26 5 3 2 Zkk   ， 化简解得 )(,22 Zkk   或 )(,26 Zkk   ，结合题目中 ],0[   的条件，确定出 6   。 【点评】本题主要考查的是三角函数，由两个图象交点建立一个关于 的方程 )32sin(2 1   ，在解方程时，考 生一般只想到第一种情况 )(,263 2 Zkk   ，忽略了在一个周期内，正弦值为 2 1 的角有两个： 6  和  6 5 ， 然而最终答案却由第二种情况 )(,26 5 3 2 Zkk   解出，此处为考生的易错点和薄弱点，主要是由于对正 弦值为 2 1 的角的惯性思维为 6  ，这个问题也是今年的热点问题，在模拟题中也经常出现，需要引起考生的重视。 6、在底部周长 ]130,80[ 的树木进行研究，频率分布直方图如图所示，则在抽测的 60 株树木中，有 ▲ 株树木 的底部周长小于 100cm. 【答案】24 【 解 析 】 从 图 中 读 出 底 部 周 长 在 ]90,80[ 的 频 率 为 15.010015.0  ， 底 部 周 长 在 ]100,90[ 的 频 率 为 25.010025.0  ，样本容量为 60 株， 2460)25.015.0(  株是满足题意的。 【点评】本题考查统计部分的内容，重点考查频率分布直方图。频率分布直方图的纵轴表示 组距 频率 ，图中读出的数 据 015.0 并非是频率，需要乘以组距 10 以后才为频率。频率分布直方图近三年的江苏考卷中都未出现，今年也是 作为高考热点出现了，希望引起重视。 7、 在各项均为正数的等比数列 }{ na 中，若 12 a ， 268 2aaa  ，则 6a 的值是 ▲ ．【答案】4 【解析】根据等比数列的定义， 2 24 4 26 6 28 ,, qaaqaaqaa  ，所以由 268 2aaa  得 2 2 4 2 6 2 2 qaqaqa  ，消 去 2 2qa ，得到关于 2q 的一元二次方程 02)( 222  qq ，解得 22 q ， 421 24 26  qaa 【点评】本题重点考查等比数列的通项公式，将题中数列的项用 2a 和 q 表示，建立方程解得 2q ，考查以 2q 为一个 整体的整体思想去解方程，对于第 7 题考查此题，显得太过简单了，但此题也有易错点，考生易将等比看为等差。 8、设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 21 S,S ，体积分别为 21 V,V ，若它们的侧面积相等， 4 9 S S 2 1  ，则  2 1 V V ▲ ． 【答案】 2 3 【解析】由题意， 4 9 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1  r r r r S S   ，所以 2 3 2 1  r r ，圆柱的侧面积 rhS 2侧 ， 222111 2r2 hrShS   侧侧 ， 则 3 2 1 2 2 1  r r h h ， 2 3 3 2 4 9 22 11 2 1  hS hS V V 【点评】本题考查了圆柱的体积，主要根据侧面积相同，由底面积的比值找到高、体积的比值，难度适中。 9、在平面直角坐标系 xOy 中，直线 032x  y 被圆 4)1(2x 22  y）（ 截得的弦长 为 ▲ ． 【答案】 555 2 【解析】根据直线和圆的位置关系，直线与圆相交，求弦长，构建“黄金三角形”勾股定理，圆心为 )1,2(  ， 2r ， 圆心到直线的距离 55 3 21 |322| 22   d ，弦长= 222 dr  = 55 2 5 942  【点评】本题主要考查直线和圆相交求弦长，直线和圆的位置关系向来都是热点和重点问题，本题考查的也是一个 相对简单的问题，主要侧重计算。 10、已知函数 1)( 2  mxxxf ，若对于任意 ]1,[  mmx ，都有 0)( xf 成立，则实数 m 的取值范围是 ▲ ． 【答案】 )0,2 2( 【 解 析 】 二 次 函 数 开 口 向 上 ， 在 区 间 ]1,[ mm 上 始 终 满 足 0)( xf ， 只 需      0)1( 0)( mf mf 即 可 ，      01)1()1( 01 2 22 mmm mm ，解得         02 3 2 2 2 2 m m ，则 )0,2 2(m 【点评】本题主要考查二次函数含参数问题，将区间上恒成立转化为只需区间端点处成立，使得题目解答过程和思 路都简单很多，如果对于对称轴和区间进行讨论亦可做出但较繁琐，考生可以自己尝试。 11、在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 ),(y 2 为常数bax bax  过点 )5,2(P  ，且该曲线在点 P 处的切线与直线 0327x  y 平行，则 ba  的值是 ▲ ． 【答案】 2 1 【点评】本题主要考查导数的应用，求切线问题，题目很基础，点在曲线上，以及导函数在切点处的取值等于切线 的斜率，而直线平行提供切线斜率，建立关于 ba, 的方程组。 12、如图，在平行四边形 ABCD中，已知 5,8  ADAB ， 2,3  BPAPPDCP ，则 ADAB 的值是 ▲ ． 【答案】22 【解析】以 ADAB, 为基底，因为 2,3  BPAPPDCP ， ABADDPADAP 4 1 ， ABADCPBCBP 4 3 则 )4 3()4 1(2 ABADABADBPAP  22 16 3 2 1 ABABADAD  因为 5,8  ADAB 则 ADAB  2 16416 3252 ，故 22 ADAB 【点评】本题主要考查向量，向量的基底表示，向量的运算，本题关键在于选取哪两个向量为基底，根据题目中已 知的两条边长，选为基底最为合适。向量一直都是高考的热点话题，本题的难度适中，希望引起考生的注意。 13．已知 )(f x 是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 )3,0[x 时， |2 12|)( 2  xxxf axf  )(y 在区间 ]4,3[ 上有 10 个零点（互不相同），则实数 a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】 )2 1,0( 【解析】根据题目条件，零点问题即转化为数形结合，通过找 )(xfy  与 ay  的图象交点去推出零点，先画出[0,3] 上 2 122  xxy 的图像，再将 x 轴下方的图象对称到上方，利用周期为 3，将图象平移至 ]10,3[ ，发现若 )(xf 图象要与 ay  有 10 个不同的交点，则 )2 1,0(a 【点评】本题主要考查函数零点问题，转为为数形结合，利用图象交点去解决问题，因为零点问题、数形结合是重 要的考点和难点，但是本题考查的不是特别深，所以题目难度适中，只要能画出图象就可以解决问题。同时，这也 是近年来高考的热点，同样需要注意。 14．若三角形 ABC的内角满足 CBA sin2sin2sin  ，则 Ccos 的最小值是 ▲ ． 【答案】 4 26  【解析】根据题目条件，由正弦定理将题目中正弦换为边，得 cba 22  ，再由余弦定理，用 ba, 去表示 c ，并 结合基本不等式去解决，化简 22 ba  为 ab ，消去 ab 就得出答案。 4 2 2 2 1 4 3 2 2 2 2 1 4 3 2 )2 2( 2cos 2222222 222        ab ba ab abba ab baba ab cbaC 4 26 4 2 2 2 1 4 32 22  ab ba 【点评】本题主要考查正、余弦定理，以及不等式，最终最值是在  75C 这样一个较为特殊的角处取的，题目做 为填空题的压轴题，实在是简单了，没有过多的技巧与构造，只需要用正、余弦定理和不等式即可很轻松做出答案。 15.（1）∵α∈（ ，π）， = ∴ = ∴ = + = （2） =1 2 = ， =2 = = + = + （ ）= 16.如图，在三棱锥 P ABC 中，D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点。已知 PA⊥AC，PA=6,BC=8， DF=5. 求证：（1）直线 PA∥平面 DEF; （2）平面 BDE⊥平面 ABC. （1）∵D,E,分别为 PC,AC,的中点 ∴DE∥PA 又∵DE 平面 PAC，PA 平面 PAC E P A D C ∴直线 PA∥平面 DEF （2）∵E,F 分别为棱 AC,AB 的中点，且 BC=8，由中位线知 EF=4 ∵D,E,分别为 PC,AC,的中点，且 PA=6，由中位线知 DE=3，又∵DF=5 ∴DF²=EF²+DE²=25，∴DE⊥EF，又∵DE∥PA，∴PA⊥EF，又∵PA⊥AC，又∵AC  EF=E， AC 平面 ABC，EF 平面 ABC，∴PA⊥平面 ABC，∴DE⊥平面 ABC，∵DE 平面 BDE， ∴平面 BDE⊥平面 ABC 17.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F1、F2 分别是椭圆 22 2 2 1( 0)yx a ba b     的左、右 焦点，顶点 B 的坐标为（0，b），连结 BF2 交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C，连结 F1C. （1）若点 C 的坐标为（ ， ），且 BF2 = ，求椭圆的方程； （2）若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值。 （1）∵BF2 = ， 将点 C（ ， ）代入椭圆 22 2 2 1( 0)yx a ba b     ， ∴ 2 2 16 1 1( 0)9 9 a ba b     ， 且 c²+b²=a² ∴a= ，b=1, ∴椭圆方程为 2 2 12 x y  （2）直线 BA 方程为 y= x+b,与椭圆 22 2 2 1( 0)yx a ba b     联立得 B A O C F1 F2 x y x² x=0. ∴点 A（ ， ），∴点 C（ ， ） F1（ ） 直线 CF1 斜率 k= ，又∵F1C⊥AB ，∴ · = ∴ =1，∴e= 18. 如图，为保护河上古桥 OA，规划建一座新桥 BC，同时设立一个圆形保 护区，规划要求：新桥 BC 与河岸 AB 垂直，保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆，且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m， 经测量，点 A 位于点 O 正北方向 60m 处，点 C 位于点 O 正东方向 170m 处（OC 为河岸），tan∠BCO= . （1）求新桥 BC 的长： （2）当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？ B 东 北 A M60m O 170m C B 东 北 A M60m O 170m C E F 18. （1）过点 B 作 BE⊥OC 于点 E， 过点 A 作 AD⊥BE 于点 F。 ∵tan∠BCO= ，设 BC=5x ，CE=3x ，BE=4x ， ∴OE=，AF=170 ，，EF=AO=60 ，BF=4x 60 又∵AB⊥BC ，且∠BAF+∠ABF=90°， ∠CBE+∠BOC=90°，∴∠ABF +∠CBE=90°，∴∠CBE +∠BAF=90°， ∴tan∠BAF= = = ，∴x=30 ，BC=5x=150m∴新桥 BC 的长为 150m。 （2）以 OC 方向为 x 轴，OA 为 y 轴建立直角坐标系。设点 M（0，m），点 A（0,60）， B（80,120），C（170,0）直线 BC 方程为 y= （x ）， 即 4x+3y ∴半径 R= ，又因为古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的 距离均不少于 80m，∴R AM 80 且 R 80 ，∴ 80 ， 80， ∴ 35 ，∴R= 此时圆面积最大。∴当 OM=10 时圆形保护区面积最大。 19.已知函数 ( )f x  + ，其中 e 是自然对数的底数。 （1）证明： ( )f x 是 R 上的偶函数； （2）若关于 x 的不等式 m ( )f x +m 1 在（0，+ ）上恒成立，求实数 m 的 取值范围； （3）已知正数 a 满足:存在 x0 [1，+ ），使得 0(x )f （ x0 3 +3x0）成立，试 比较 与 的大小，并证明你的结论。 （1）∵x ( )f x = + = ( )f x ，∴ ( )f x 是 R 上的偶函数 （2）∵ ( )f x + 2 =2 1 ，∴ ( )f x ，∴m（ ( )f x ） 1，∴m = ， 令 ( )g x = ， ( )g x = ，∴x 时 ( )g x ( )g x 单调减，x 时 ( )g x ( )g x 单调增，∴ ( )g x min= (ln 2)g = ，若关于 x 的不等式 m ( )f x +m 1 在（0，+ ）上恒成立，则只要 m ( )g x min 恒成立 ， ∴m 。∴m （ ]。 （3）由题正数 a 满足:存在 x0 [1，+ ），使得 0(x )f （ x0 3 +3x0）成立。即 + （ x0 3 +3x0） 令 ( )h x = + （ x 3 +3x），即 ( )h x min 0。  h x  - = +3a ，当 x [1，+ ）时，  h x 0 ， ( )h x min = (1)h =e+ -2a 0 ， ∴a + 。 要比较 与 的大小，两边同时取以 e 为底的对数。只要比较 a-1 与（e-1） lna 的大小。令 y = a-1-( e-1）lna ， y = 1- ，∵a + + e-1，∴a （ + ）时 y y 单调减，a （ ）时 y y 单调增，又∵ + ， 当 a=1 时，y=0，∴当 a= + 时，y 0，当 a=e 时，y=0。∴a=e-1 时，y 0。 ∴当 + 时，y 0，此时 a-1 （e-1）lna ，即 。 当 a=e 时 y 0，此时 a-1 （e-1）lna ，即 。 当 a e 时 y 0，此时 a-1 （e-1）lna ，即 。 20.设数列{ }的前 n 项和为 .若对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得 ，则称{ }是“H 数列。” （1）若数列{ }的前 n 项和 = （n ），证明：{ }是“H 数列”； （2）设数列{ }是等差数列，其首项 =1.公差 d 0.若{ }是“H 数列”，求 d 的值； （3）证明：对任意的等差数列{ }，总存在两个“H 数列” { } 和{ }，使得 = （n ）成立。 （1）证明：∵ = ，∴ = = （n ），又 = =2= ，∴ （n ）。∴存在 m=n+1 使得 （2） =1+（n-1）d ，若{ }是“H 数列”则对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得 。 =1+（m-1）d 成立。化 简得 m= +1+ ，且 d 0 又 m ， ， d ，且 为整数。 （3）证明：假设成立且设 都为等差数列，则 n + = +（ -1） ， = + +1， ∴ = （ ） 同理 = （ ） 取 = =k 由题 = = +（ -1） + +（ -1） =（ ）+（n-1）（ ）=（n+k-1） ） 可得{ }为等差数列。即可构造出两个等差数列{ } 和{ }同时也是“H 数列”满足条件。