一轮特效提高2014高考总复习理数题库86空间向量及其运算 11页

‎8.6 空间向量及其运算 一、选择题 ‎1．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是(　　)．‎ A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}‎ C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}‎ 解析　若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．‎ 答案　C ‎2．以下四个命题中正确的是(　　)．‎ A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底 C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0‎ D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底 解析　若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝b＋c，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾．‎ 答案　B ‎3．有下列命题：‎ ‎①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；‎ ‎②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb.‎ ‎③若＝x＋y，则P，M，A、B共面；‎ ‎④若P，M，A，B共面，则＝x＋y.‎ 其中真命题的个数是(　　)．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 解析　其中①③为正确命题．‎ 答案　B ‎4. 如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，M是AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c则下列向量中与相等的向量是(　　)‎ A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C.a－b＋c D．－a－b＋c 解析 ＝＋＝＋＋‎ ‎＝－a＋b＋c.‎ 答案　A ‎5．如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　)．‎ A．0 B. C. D. 解析　设＝a，＝b，＝c[来源:Zxxk.Com]‎ 由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，‎ ·＝a·(c－b)＝a·c－a·b ‎＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈，〉＝0.‎ 答案　A[来源:学科网ZXXK]‎ ‎6．如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)‎ A. B. C．1‎ D. 解析 ＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1‎ ‎＋1＋1－＝3－，故||＝.‎ 答案　D ‎7．下列命题中 ‎①若a∥b，b∥c，则a∥c；‎ ‎②不等式|a＋b|＜|a|＋|b|的充要条件是a与b不共线；‎ ‎③若非零向量c垂直于不共线的向量a和b，d＝λa＋μb(λ、μ∈R，且λμ≠0)，则c⊥d.‎ 正确命题的个数是(　　)．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 解析　只有命题③是正确命题．‎ 答案　B 二、填空题 ‎8．如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为________________．‎ 解析　∵＝＋＝＋ ‎＝＋(－)‎ ‎＝＋－ ‎＝＋×(＋)－× ‎＝＋＋ ‎∴x，y，z的值分别为，，.‎ 答案　，， ‎9. 设R，向量，且，则 解析 .‎ 答案 ‎ ‎10．在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD－A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为________．‎ 解析 如图，＝＋＋＝＋＋，‎ 所以|AC′|＝||＝|＋＋|‎ ‎＝ ‎＝＝.‎ 答案 ‎11．已知ABCD－A1B‎1C1D1为正方体，①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③向量与向量的夹角是60°；④正方体ABCD－A1B‎1C1D1的体积为|··|.其中正确命题的序号是________．‎ 解析 由⊥，⊥，⊥⊥，得(＋＋)2＝3()2，故①正确；②中－＝，由于AB1⊥A‎1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但与的夹角为120°，故③不正确；④中|··|＝0.故④也不正确．‎ 答案 ①②‎ ‎12．如图，空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于________．‎ X 解析　设＝a，＝b，＝c.‎ OA与BC所成的角为θ，‎ ·＝a(c－b)＝a·c－a·b ‎＝a·(a＋)－a·(a＋)‎ ‎＝a2＋a·－a2－a·＝24－16.‎ ‎∴cos θ＝＝＝.‎ 答案　 三、解答题 ‎13．已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求证：A、B、C、D共面．‎ 证明 令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋v(3e1－3e2)＝0.‎ 则(λ＋2μ＋3v)e1＋(λ＋8μ－3v)e2＝0.‎ ‎∵e1，e2不共线，∴ 易知是其中一组解，‎ 则－5＋＋＝0.‎ ‎∴A、B、C、D共面．[来源:学。科。网]‎ ‎14．如右图，在棱长为a的正方体ABCD ‎A1B‎1C1D1中，G为△BC1D的重心，‎ ‎(1)试证A1、G、C三点共线；‎ ‎(2)试证A‎1C⊥平面BC1D；‎ ‎(3)求点C到平面BC1D的距离．‎ 解析 (1)证明　＝＋＋＝＋＋，‎ 可以证明：＝(＋＋)＝，‎ ‎∴∥即A1、G、C三点共线．‎ ‎(2)证明　设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，‎ 且a·b＝b·c＝c·a＝0，‎ ‎∵＝a＋b＋c，＝c－a，∴·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，‎ ‎∴⊥，即CA1⊥BC1，同理可证：⊥，‎ 因此A‎1C⊥平面BC1D.‎ ‎(3) ∵＝a＋b＋c，∴2＝a2＋b2＋c2＝‎3a2，‎ 即||＝a，‎ 因此||＝a.即C到平面BC1D的距离为a.[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ ‎15．把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：‎ ‎(1)EF的长；‎ ‎(2)折起后∠EOF的大小．‎ 解析 如图，以O点为原点建立空间直角坐标系O－xyz，则A（0，－a,0），‎ B（a,0,0），C（0，a,0），D（0,0，a），E（0，－a，a），‎ F（a，a,0）.‎ ‎(1)||2＝2＋2＋2＝a2，∴|EF|＝a.‎ ‎(2)＝，＝，‎ ·＝0×a＋×＋a×0＝－，‎ ‎||＝，||＝，cos〈，〉＝＝－，‎ ‎∴∠EOF＝120°.‎ ‎16．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB、AD、CD的中点，计算：‎ ‎(1)·；　(2)·；[来源:Zxxk.Com]‎ ‎(3)EG的长；　(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．‎ 解析　设＝a，＝b，＝c.‎ 则|a|＝|b|＝|c|＝1，‎ ‎〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，‎ ‎(1)＝＝c－a，‎ ＝－a，＝b－c，‎ ‎(2)·＝·(－a)‎ ‎ ＝a2－a·c＝，‎ ·＝(c－a)·(b－c)‎ ‎ ＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－；‎ ‎(3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b ‎ ＝－a＋b＋c，‎ ‎||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a ‎＝，则||＝.‎ ‎(4)＝b＋c，‎ ＝＋＝－b＋a，‎ cos〈，〉＝＝－，‎ 由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]，‎ 所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.‎