• 372.00 KB
  • 2021-05-13 发布

一轮特效提高2014高考总复习理数题库86空间向量及其运算

  • 11页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎8.6 空间向量及其运算 一、选择题 ‎1.若{a,b,c}为空间的一组基底,则下列各项中,能构成基底的一组向量是(  ).‎ A.{a,a+b,a-b} B.{b,a+b,a-b}‎ C.{c,a+b,a-b} D.{a+b,a-b,a+2b}‎ 解析 若c、a+b、a-b共面,则c=λ(a+b)+m(a-b)=(λ+m)a+(λ-m)b,则a、b、c为共面向量,此与{a,b,c}为空间向量的一组基底矛盾,故c,a+b,a-b可构成空间向量的一组基底.‎ 答案 C ‎2.以下四个命题中正确的是(  ).‎ A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B.若{a,b,c}为空间向量的一组基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间向量的另一组基底 C.△ABC为直角三角形的充要条件是·=0‎ D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底 解析 若a+b、b+c、c+a为共面向量,则a+b=λ(b+c)+μ(c+a),(1-μ)a=(λ-1)b+(λ+μ)c,λ,μ不可能同时为1,设μ≠1,则a=b+c,则a、b、c为共面向量,此与{a,b,c}为空间向量基底矛盾.‎ 答案 B ‎3.有下列命题:‎ ‎①若p=xa+yb,则p与a,b共面;‎ ‎②若p与a,b共面,则p=xa+yb.‎ ‎③若=x+y,则P,M,A、B共面;‎ ‎④若P,M,A,B共面,则=x+y.‎ 其中真命题的个数是(  ).‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 解析 其中①③为正确命题.‎ 答案 B ‎4. 如图,在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B‎1C1D1中,M是AC与BD的交点,若=a,=b,=c则下列向量中与相等的向量是(  )‎ A.-a+b+c B.a+b+c C.a-b+c D.-a-b+c 解析 =+=++‎ ‎=-a+b+c.‎ 答案 A ‎5.如图所示,已知空间四边形OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC=,则cos〈,〉的值为(  ).‎ A.0 B. C. D. 解析 设=a,=b,=c[来源:Zxxk.Com]‎ 由已知条件〈a,b〉=〈a,c〉=,且|b|=|c|,‎ ·=a·(c-b)=a·c-a·b ‎=|a||c|-|a||b|=0,∴cos〈,〉=0.‎ 答案 A[来源:学科网ZXXK]‎ ‎6.如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是(  )‎ A. B. C.1‎ D. 解析 =++,∴||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=1‎ ‎+1+1-=3-,故||=.‎ 答案 D ‎7.下列命题中 ‎①若a∥b,b∥c,则a∥c;‎ ‎②不等式|a+b|<|a|+|b|的充要条件是a与b不共线;‎ ‎③若非零向量c垂直于不共线的向量a和b,d=λa+μb(λ、μ∈R,且λμ≠0),则c⊥d.‎ 正确命题的个数是(  ).‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ 解析 只有命题③是正确命题.‎ 答案 B 二、填空题 ‎8.如图所示,已知空间四边形OABC,其对角线为OB、AC,M、N分别为OA、BC的中点,点G在线段MN上,且=2,若=x+y+z,则x,y,z的值分别为________________.‎ 解析 ∵=+=+ ‎=+(-)‎ ‎=+- ‎=+×(+)-× ‎=++ ‎∴x,y,z的值分别为,,.‎ 答案 ,, ‎9. 设R,向量,且,则 解析 .‎ 答案 ‎ ‎10.在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD-A′B′C′D′中,AB=1,AD=2,AA′=3,∠BAD=90°,∠BAA′=∠DAA′=60°,则AC′的长为________.‎ 解析 如图,=++=++,‎ 所以|AC′|=||=|++|‎ ‎= ‎==.‎ 答案 ‎11.已知ABCD-A1B‎1C1D1为正方体,①(++)2=32;②·(-)=0;③向量与向量的夹角是60°;④正方体ABCD-A1B‎1C1D1的体积为|··|.其中正确命题的序号是________.‎ 解析 由⊥,⊥,⊥⊥,得(++)2=3()2,故①正确;②中-=,由于AB1⊥A‎1C,故②正确;③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°,但与的夹角为120°,故③不正确;④中|··|=0.故④也不正确.‎ 答案 ①②‎ ‎12.如图,空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,则OA与BC所成角的余弦值等于________.‎ X 解析 设=a,=b,=c.‎ OA与BC所成的角为θ,‎ ·=a(c-b)=a·c-a·b ‎=a·(a+)-a·(a+)‎ ‎=a2+a·-a2-a·=24-16.‎ ‎∴cos θ===.‎ 答案  三、解答题 ‎13.已知非零向量e1,e2不共线,如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3e1-3e2,求证:A、B、C、D共面.‎ 证明 令λ(e1+e2)+μ(2e1+8e2)+v(3e1-3e2)=0.‎ 则(λ+2μ+3v)e1+(λ+8μ-3v)e2=0.‎ ‎∵e1,e2不共线,∴ 易知是其中一组解,‎ 则-5++=0.‎ ‎∴A、B、C、D共面.[来源:学。科。网]‎ ‎14.如右图,在棱长为a的正方体ABCD ‎A1B‎1C1D1中,G为△BC1D的重心,‎ ‎(1)试证A1、G、C三点共线;‎ ‎(2)试证A‎1C⊥平面BC1D;‎ ‎(3)求点C到平面BC1D的距离.‎ 解析 (1)证明 =++=++,‎ 可以证明:=(++)=,‎ ‎∴∥即A1、G、C三点共线.‎ ‎(2)证明 设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=a,‎ 且a·b=b·c=c·a=0,‎ ‎∵=a+b+c,=c-a,∴·=(a+b+c)·(c-a)=c2-a2=0,‎ ‎∴⊥,即CA1⊥BC1,同理可证:⊥,‎ 因此A‎1C⊥平面BC1D.‎ ‎(3) ∵=a+b+c,∴2=a2+b2+c2=‎3a2,‎ 即||=a,‎ 因此||=a.即C到平面BC1D的距离为a.[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ ‎15.把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角,点E、F分别是AD、BC的中点,点O是原正方形的中心,求:‎ ‎(1)EF的长;‎ ‎(2)折起后∠EOF的大小.‎ 解析 如图,以O点为原点建立空间直角坐标系O-xyz,则A(0,-a,0),‎ B(a,0,0),C(0,a,0),D(0,0,a),E(0,-a,a),‎ F(a,a,0).‎ ‎(1)||2=2+2+2=a2,∴|EF|=a.‎ ‎(2)=,=,‎ ·=0×a+×+a×0=-,‎ ‎||=,||=,cos〈,〉==-,‎ ‎∴∠EOF=120°.‎ ‎16.如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB、AD、CD的中点,计算:‎ ‎(1)·; (2)·;[来源:Zxxk.Com]‎ ‎(3)EG的长; (4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.‎ 解析 设=a,=b,=c.‎ 则|a|=|b|=|c|=1,‎ ‎〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,‎ ‎(1)==c-a,‎ =-a,=b-c,‎ ‎(2)·=·(-a)‎ ‎ =a2-a·c=,‎ ·=(c-a)·(b-c)‎ ‎ =(b·c-a·b-c2+a·c)=-;‎ ‎(3)=++=a+b-a+c-b ‎ =-a+b+c,‎ ‎||2=a2+b2+c2-a·b+b·c-c·a ‎=,则||=.‎ ‎(4)=b+c,‎ =+=-b+a,‎ cos〈,〉==-,‎ 由于异面直线所成角的范围是(0°,90°],‎ 所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.‎