世纪金榜2015高考数学专题辅导与训练配套练习课时冲关练二12向量、不等式、线性规划 16页

www.ks5u.com 课时冲关练(二)‎ 向量、不等式、线性规划 A组(30分钟　76分)‎ 一、选择题(每小题5分,共60分)‎ ‎1.(2014·杭州模拟)已知A,B,C三点在同一条直线l上,O为直线外一点,若p+q+r=0,p,q,r∈R,则p+q+r=　(　　)‎ A.-1 B‎.0 ‎ C.1 D.3‎ ‎【解析】选B.因为A,B,C三点在同一条直线上,‎ 所以存在实数λ使=λ,‎ 所以-=λ(-),‎ 即(λ-1)+-λ=0,‎ 因为p+q+r=0,‎ 所以p=λ-1,q=1,r=-λ,所以p+q+r=0.‎ ‎2.设向量a=(4,x),b=(2,-1),且a⊥b,则x的值是　(　　)‎ A.8 B.‎-8 ‎ C.2 D.-2‎ ‎【解析】选A.因为a⊥b,所以a·b=4×2-x=0,解得x=8.‎ ‎3.设a,b为实数,则“00,b>0时,b<;当a<0,b<0时,b>,故不充分;反之,当b<0<,可有ab<0,故不必要,所以应为既不充分也不必要条件.‎ ‎4.(2014·湖州模拟)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式恒成立的是　(　　)‎ A.a2+b2>2ab B.a+b≥2 C.+> D.+≥2‎ ‎【解析】选D.对于A:当a=b=1时满足ab>0,但a2+b2=2ab,所以A错;对于B,C:当a=b=-1时满足ab>0,但a+b<0,+<0,而2>0,>0,显然B,C不对;对于D:当ab>0时,由基本不等式可得+≥2=2.‎ ‎5.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|20,‎ 解得:x>或x<.‎ ‎6.(2014·温州模拟)已知实数x,y满足不等式组 则2x-y的取值范围是　(　　)‎ A.[-1,3] B.[-3,-1]‎ C.[-1,6] D.[-6,1]‎ ‎【解析】选C.由线性约束条件作出可行域如图.‎ 设z=2x-y,则y=2x-z.利用平移法可知,在点(3,0)处z取最大值6,在点(0,1)处取得最小值-1.故选C.‎ ‎7.已知向量a,b,其中|a|=,|b|=2,且(a-b)⊥a,则向量a和b的夹角是 ‎　(　　)‎ A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D.π ‎【解析】选A.由题意知 ‎(a-b)·a=a2-a·b=2-a·b=0,‎ 所以a·b=2.‎ 设a与b的夹角为θ,则cosθ==,θ=.‎ ‎8.已知向量a=(2,1),a·b=10,=5,则=　(　　)‎ A. B. C.5 D.25‎ ‎【解析】选C.因为a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,‎ 所以(a+b)2=50=a2+‎2a·b+b2,解得可知|b|=5.‎ ‎9.下列不等式一定成立的是　(　　)‎ A.lg（x2+）>lgx(x>0)‎ B.sinx+≥2(x≠kπ,k∈Z)‎ C.x2+1≥2|x|(x∈R)‎ D.>1(x∈R)‎ ‎【解题提示】应用基本不等式:x,y为正实数,≥(当且仅当x=y时取等号)逐个分析,注意基本不等式的应用条件及取等号的条件.‎ ‎【解析】选C.当x>0时,x2+≥2·x·=x,‎ 所以lg（x2+）≥lgx(x>0),故选项A不正确;‎ 运用基本不等式时需保证一正、二定、三相等,‎ 而当x≠kπ,k∈Z时,sinx的正、负不定,故选项B不正确;‎ 由基本不等式可知,选项C正确;‎ 当x=0时,有=1,故选项D不正确.‎ ‎10.(2014·合肥模拟)若不等式组表示的平面区域的面积为3,则实数a的值是　(　　)‎ A.1 B‎.2 ‎ C. D.3‎ ‎【解析】选B.作出可行域,如图中阴影部分所示,区域面积S=×（+2）×2=3,解得a=2.‎ ‎11.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a0,‎ 所以sin∠BAM的最大值为.‎ 答案: ‎15.(2014·台州模拟)设k∈R,若1≤x≤2时恒有x3-3x2+2≤(1-k)x+1≤0,则k的取值集合是　　　　.‎ ‎【解析】因为1≤x≤2时,恒有(1-k)x+1≤0,‎ 所以 所以k≥2,x3-3x2+2≤(1-k)x+1,‎ 则1-k≥x2-3x+,设f(x)=x2-3x+,‎ f'(x)=2x-3-,‎ 设f'(x)=0在1≤x≤2时的解为a,‎ 所以函数f(x)在(1,a)上单调递减,在(a,2)上单调递增,‎ 因为f(1)=-1,f(2)=-,‎ 所以f(x)max=f(1)=-1.‎ 所以1-k≥-1,所以k≤2.‎ 所以k的取值集合是{2}.‎ 答案:{2}‎ ‎16.(2014·潍坊模拟)已知a>0,b>0,且a+2b=1,则+的最小值为　　　　　.‎ ‎【解析】+=+=‎ ‎3++≥3+2=3+2.‎ 即+的最小值为3+2.‎ 答案:3+2 B组(30分钟　76分)‎ 一、选择题(每小题5分,共60分)‎ ‎1.(2014·浏阳模拟)设a,b∈‎ R,若a-|b|>0,则下列不等式中正确的是　(　　)‎ A.b-a>0 B.a3+b3<0‎ C.b+a>0 D.a2-b2<0‎ ‎【解题提示】可以根据a-|b|>0去掉绝对值号得到a与b的大小关系,从而作出判断,亦可以在a,b∈R的前提下取满足a-|b|>0的特殊实数a,b验证.‎ ‎【解析】选C.方法一:由a-|b|>0,得a>|b|,‎ 所以-a0且a-b>0,‎ 所以b-a<0,A错.‎ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)‎ ‎=(a+b)>0,所以B错.‎ 而a2-b2=(a-b)(a+b)>0,所以D错.‎ 方法二(特殊值法):‎ 因为a,b∈R且a-|b|>0,‎ 所以取a=2,b=-1.‎ 则b-a=-1-2=-3<0,所以A错.‎ a3+b3=8-1=7>0,所以B错.‎ a2-b2=22-(-1)2=3>0,所以D错.‎ ‎2.已知向量a,b,满足|a|=3,|b|=2,且a⊥(a+b),则a与b的夹角为　(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】选D.a⊥(a+b)a·(a+b)=a2+a·b=|a|2+|a||b|cos=0,‎ 故cos=-=-,故所求夹角为.‎ ‎3.直线ax+by+c=0的某一侧的点P(m,n),满足am+bn+c<0,则当a>0,b<0时,该点位于该直线的　(　　)‎ A.右上方 B.右下方 C.左下方 D.左上方 ‎【解析】选D.因为am+bn+c<0,b<0,‎ 所以n>-m-.‎ 所以点P所在的平面区域满足不等式y>-x-,a>0,b<0.‎ 所以->0.故点P在该直线的上侧,综上知,点P在该直线的左上方.‎ ‎4.(2014·绍兴模拟)已知约束条件对应的平面区域D如图所示,其中l1,l2,l3对应的直线方程分别为:y=k1x+b1,y=k2x+b2,y=k3x+b3,若目标函数z=-kx+y仅在点A(m,n)处取到最大值,则有　(　　)‎ A.k1k3‎ ‎【解析】选B.因为z=-kx+y仅在点A(m,n)处取得最大值,则由y=kx+z,可知k10),‎ 因为a3=a2+‎2a1,‎ 所以a1q2=a1q+‎2a1,解之得q=2.‎ 又=‎4a1,‎ 所以qm+n-2=16,‎ 所以‎2m+n-2=16.‎ 因此m+n=6.‎ 则（+）(m+n)=5++≥9.‎ 当且仅当n=‎2m(即n=4,m=2)时取等号.‎ 所以（+）(m+n)的最小值为9,‎ 从而+的最小值为.‎ ‎7.(2014·天津高考)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若·=1,·=-,则λ+μ=　(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】选C.因为∠BAD=120°,所以·=··cos120°=-2.‎ 因为BE=λBC,所以=+λ,=μ+.‎ 因为·=1,‎ 所以·=1,‎ 即2λ+2μ-λμ=　①‎ 同理可得λμ-λ-μ=-　②,①+②得λ+μ=.‎ ‎8.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=　(　　)‎ A. B. C.2 D.10‎ ‎【解析】选B.因为a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),‎ 由a⊥c,得a·c=2x-4=0,‎ 所以x=2.‎ 由b∥c,得1×(-4)-2y=0,‎ 所以y=-2.‎ 因此a+b=(2,1)+(1,-2)=(3,-1),‎ 则|a+b|=.‎ ‎9.设x,y满足约束条件 若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则+的最小值为　(　　)‎ A. B. C. D.4‎ ‎【解题提示】先由已知结合线性规划知识可以求得a,b的关系式,再由基本不等式求解.‎ ‎【解析】选A.不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.‎ 当直线ax+by=z(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值12,即‎4a+6b=12,即‎2a+3b=6.‎ 所以+=+·=++≥+2=.‎ ‎【方法技巧】线性规划问题的求解关注 线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要关注的是:‎ ‎(1)准确无误地作出可行域.‎ ‎(2)画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错.‎ ‎(3)一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎10.(2014·温州模拟)在△ABC中,若·>||2,则有　(　　)‎ A.||>|| B.||>||‎ C.||>|| D.||>||‎ ‎【解析】选D.因为·>||2,‎ 所以||·||·cosA>||2,‎ 所以||·cosA>||.‎ 因为||cosA是在上的投影,如图.‎ 所以||cosA=||>||,‎ 所以必须C为钝角时才能满足||cosA>||.‎ 根据大角对大边得||最长.故选D.‎ ‎11.(2014·台州模拟)在△ABC中,=(cos18°,cos72°),=‎ ‎(2cos63°,2cos27°),则△ABC的面积为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】选B.·=2cos 18°cos 63°+2cos 72°cos 27°‎ ‎=2sin 27°cos 18°+2cos 27°sin 18°‎ ‎=2sin(27°+18°)‎ ‎=2sin45°=.‎ 而||=1,||=2,‎ 所以cosB==,‎ 所以sinB=,‎ 所以S△ABC=||||sinB=.‎ ‎12.定义max{a,b}=设实数x,y满足约束条件 且z=max{4x+y,3x-y},则z的取值范围为　(　　)‎ A.[-6,0] B.[-7,10]‎ C.[-6,8] D.[-7,8]‎ ‎【解析】选B.因为(4x+y)-(3x-y)=x+2y,‎ 所以z=直线x+2y=0将约束条件所确定的平面区域分为两部分.‎ 如图,令z1=4x+y,点(x,y)在四边形ABCD上及其内部,求得-7≤z1≤10;‎ 令z2=3x-y,点(x,y)在四边形ABEF上及其内部(除AB边),求得-7≤z2≤8.‎ 综上可知,z的取值范围为[-7,10].故选B.‎ 二、填空题(每小题4分,共16分)‎ ‎13.已知函数f(x)=若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是　　　　　　.‎ ‎【解析】f(x)= 由f(x)的图象可知f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,由f(2-a2)>f(a)得2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2