高考数学考点归纳之 数系的扩充与复数的引入 11页

高考数学考点归纳之 数系的扩充与复数的引入 一、基础知识 1．复数的有关概念 (1)复数的概念： 形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中 a，b 分别是它的实部和虚部．若 b＝0，则 a＋ bi 为实数；若 b≠0，则 a＋bi 为虚数；若 a＝0 且 b≠0，则 a＋bi 为纯虚数． 一个复数为纯虚数，不仅要求实部为 0，还需要求虚部不为 0. (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)复数的模： 向量 OZ ―→的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2. 2．复数的几何意义 (1)复数 z＝a＋bi 复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R)． 复数 z＝a＋bia，b∈R的对应点的坐标为a，b，而不是a，bi. (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量 OZ ―→ . 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：z1 z2 ＝a＋bi c＋di ＝a＋bic－di c＋dic－di ＝ac＋bd c2＋d2 ＋bc－ad c2＋d2 i(c＋di≠0)． (2)复数加法的运算定律 设 z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z1＋z2＝z2＋z1； ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 二、常用结论 (1)(1±i)2＝±2i，1＋i 1－i ＝i，1－i 1＋i ＝－i. (2)－b＋ai＝i(a＋bi)． (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)． (4)z· z ＝|z|2＝| z |2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，|z1 z2|＝|z1| |z2| ，|zn|＝|z|n. 考点一 复数的四则运算 [典例] (1)(2017·山东高考)已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 zi＝1＋i，则 z2＝( ) A．－2i B．2i C．－2 D．2 (2)(2019·山东师大附中模拟)计算：2＋i1－i2 1－2i ＝( ) A．2 B．－2 C．2i D．－2i [解析] (1)∵zi＝1＋i， ∴z＝1＋i i ＝1 i ＋1＝1－i. ∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i. (2)2＋i1－i2 1－2i ＝－2＋i2i 1－2i ＝2－4i 1－2i ＝2，故选 A. [答案] (1)A (2)A [解题技法] 复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，可将含有虚数单位 i 的看作一 类同类项，不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可． (2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化，解题中要注 意把 i 的幂写成最简形式． [题组训练] 1．(2019·合肥质检)已知 i 为虚数单位，则2＋i3－4i 2－i ＝( ) A．5 B．5i C．－7 5 －12 5 i D．－7 5 ＋12 5 i 解析：选 A 法一：2＋i3－4i 2－i ＝10－5i 2－i ＝5，故选 A. 法二：2＋i3－4i 2－i ＝2＋i23－4i 2＋i2－i ＝3＋4i3－4i 5 ＝5，故选 A. 2．(2018·济南外国语学校模块考试)已知1－i2 z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数 z 等于( ) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析：选 D 由题意，得 z＝1－i2 1＋i ＝－2i 1＋i ＝－1－i，故选 D. 3．已知复数 z＝i＋i2＋i3＋…＋i2 018 1＋i ，则复数 z＝________. 解析：因为 i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝i＋i2＋i3＋i4＝0， 而 2 018＝4×504＋2， 所以 z＝i＋i2＋i3＋…＋i2 018 1＋i ＝i＋i2 1＋i ＝－1＋i 1＋i ＝－1＋i1－i 1＋i1－i ＝2i 2 ＝i. 答案：i 考点二 复数的有关概念 [典例] (1)(2019·湘东五校联考)已知 i 为虚数单位，若复数 z＝ a 1－2i ＋i(a∈R)的实部与 虚部互为相反数，则 a＝( ) A．－5 B．－1 C．－1 3 D．－5 3 (2)(2018·全国卷Ⅰ)设 z＝1－i 1＋i ＋2i，则|z|＝( ) A．0 B.1 2 C．1 D. 2 [解析] (1)z＝ a 1－2i ＋i＝ a1＋2i 1－2i1＋2i ＋i＝a 5 ＋2a＋5 5 i，∵复数 z＝ a 1－2i ＋i(a∈R)的实 部与虚部互为相反数，∴－a 5 ＝2a＋5 5 ，解得 a＝－5 3.故选 D. (2)∵z＝1－i 1＋i ＋2i＝ 1－i2 1＋i1－i ＋2i＝ －2i 2 ＋2i＝i， ∴|z|＝1.故选 C. [答案] (1)D (2)C [解题技法] 紧扣定义解决复数概念、共轭复数问题 (1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 该复数的实部为 a，虚部为 b. (2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变 为相反数，即得原复数的共轭复数．复数 z1＝a＋bi 与 z2＝c＋di 共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b， c，d∈R)． [题组训练] 1．(2019·山西八校第一次联考)已知 a，b∈R，i 为虚数单位，若 3－4i3＝2－bi a＋i ，则 a ＋b 等于( ) A．－9 B．5 C．13 D．9 解析：选 A 由 3－4i3＝2－bi a＋i ，得 3＋4i＝2－bi a＋i ，即(a＋i)(3＋4i)＝2－bi，(3a－4)＋(4a ＋3)i＝2－bi，则 3a－4＝2， 4a＋3＝－b， 解得 a＝2， b＝－11， 故 a＋b＝－9.故选 A. 2．(2019·贵阳适应性考试)设 z 是复数 z 的共轭复数，满足 z ＝ 4i 1＋i ，则|z|＝( ) A．2 B．2 2 C. 2 2 D.1 2 解析：选 B 法一：由 z ＝ 4i 1＋i ＝ 4i1－i 1＋i1－i ＝2＋2i， 得|z|＝| z |＝ 22＋22＝2 2，故选 B. 法二：由模的性质，得|z|＝| z |＝| 4i 1＋i|＝ |4i| |1＋i| ＝ 4 2 ＝2 2.故选 B. 3．若复数 z＝a2－a－2＋(a＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，则实数 a 的值是________． 解析：由于 z＝a2－a－2＋(a＋1)i 为纯虚数，因此 a2－a－2＝0 且 a＋1≠0，解得 a＝2. 答案：2 考点三 复数的几何意义 [典例] (1)如图，在复平面内，复数 z1，z2 对应的向量分别是 OA ―→， OB ―→，若 zz2＝z1，则 z 的共轭复数 z ＝( ) A.1 2 ＋3 2i B.1 2 －3 2i C．－1 2 ＋3 2i D．－1 2 －3 2i (2)复数 z＝4i2 018－ 5i 1＋2i (其中 i 为虚数单位)在复平面内对应的点在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [解析] (1)由题意知 z1＝1＋2i，z2＝－1＋i，故 z(－1＋i)＝1＋2i， 即 z＝ 1＋2i －1＋i ＝ 1＋2i1＋i －1＋i1＋i ＝1－3i 2 ＝1 2 －3 2i， z ＝1 2 ＋3 2i，故选 A. (2)z＝4i2 018－ 5i 1＋2i ＝4×i2 016·i2－ 5i1－2i 1＋2i1－2i ＝－4－52＋i 5 ＝－6－i， 故 z 在复平面内对应的点在第三象限． [答案] (1)A (2)C [解题技法] 对复数几何意义的再理解 (1)复数 z、复平面上的点 Z 及向量 OZ ―→相互联系，即 z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔ OZ ―→ . (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何 联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． [题组训练] 1．(2019·安徽知名示范高中联考)已知复数 z 满足(2－i)z＝i＋i2，则 z 在复平面内对应的 点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选 B z＝i＋i2 2－i ＝－1＋i 2－i ＝－1＋i2＋i 2－i2＋i ＝－3＋i 5 ＝－3 5 ＋1 5i，则复数 z 在复平面内 对应的点为 －3 5 ，1 5 ，该点位于第二象限．故选 B. 2．若复数 z 满足|z－i|≤ 2(i 为虚数单位)，则 z 在复平面内所对应的图形的面积为 ________． 解析：设 z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|≤ 2得|x＋(y－1)i|≤ 2，所以 x2＋y－12≤ 2， 所以 x2＋(y－1)2≤2，所以 z 在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心，以 2为半径 的圆及其内部，它的面积为 2π. 答案：2π 3．已知复数 z＝2＋ai 1＋2i ，其中 a 为整数，且 z 在复平面内对应的点在第四象限，则 a 的 最大值为________． 解析：因为 z＝2＋ai 1＋2i ＝2＋ai1－2i 1＋2i1－2i ＝2＋2a＋a－4i 5 ， 所以 z 在复平面内对应的点为 2＋2a 5 ，a－4 5 ， 所以 2＋2a 5 ＞0， a－4 5 ＜0， 解得－1＜a＜4， 又 a 为整数，所以 a 的最大值为 3. 答案：3 [课时跟踪检测] 1．(2019·广州五校联考) 1＋2i 1－i2 ＝( ) A．－1－1 2i B．1＋1 2i C．－1＋1 2i D．1－1 2i 解析：选 C 1＋2i 1－i2 ＝1＋2i －2i ＝1＋2ii 2 ＝－2＋i 2 ＝－1＋1 2i，选 C. 2．(2018·洛阳第一次统考)已知 a∈R，i 为虚数单位，若a－i 1＋i 为纯虚数，则 a 的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选 C ∵a－i 1＋i ＝a－i1－i 1＋i1－i ＝a－1 2 －a＋1 2 i 为纯虚数，∴a－1 2 ＝0 且a＋1 2 ≠0，解 得 a＝1，故选 C. 3.(2018·甘肃诊断性考试)如图所示，向量 OZ1 ―→， OZ2 ―→所对应的复 数分别为 z1，z2，则 z1·z2＝( ) A．4＋2i B．2＋i C．2＋2i D．3＋i 解析：选 A 由图可知，z1＝1＋i，z2＝3－i，则 z1·z2＝(1＋i)(3－ i)＝4＋2i，故选 A. 4．若复数 z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中 i 是虚数单位，则复数(z1－z2)i 的实部为( ) A．－20 B．－2 C．4 D．6 解析：选 A 因为(z1－z2)i＝(－2＋20i)i＝－20－2i，所以复数(z1－z2)i 的实部为－20. 5．(2019·太原模拟)若复数 z＝1＋mi 1＋i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值 范围是( ) A．(－1,1) B．(－1,0) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1) 解析：选 A 法一：因为 z＝1＋mi 1＋i ＝1＋mi1－i 1＋i1－i ＝1＋m 2 ＋m－1 2 i 在复平面内对应的点 为 1＋m 2 ，m－1 2 ，且在第四象限，所以 1＋m 2 >0， m－1 2 <0， 解得－1