高考真题文科数学试题分类汇编13数列 13页

‎2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编13：数列 ‎ ‎ 一、选择题 ‎1 ．（2013年高考大纲卷（文））已知数列满足 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ ‎2 ．（2013年高考安徽（文））设为等差数列的前项和,,则= （　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】A ‎ ‎3 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））设首项为,公比为的等比数列的前项和为,则 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎4 ．（2013年高考辽宁卷（文））下面是关于公差的等差数列的四个命题:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中的真命题为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎ 二、填空题 ‎5 ．（2013年高考重庆卷（文））若2、、、、9成等差数列,则____________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎6 ．（2013年高考北京卷（文））若等比数列满足,则公比=__________;前项=_____.‎ ‎【答案】2,‎ ‎7 ．（2013年高考广东卷（文））设数列是首项为,公比为的等比数列,则________‎ ‎【答案】 ‎ ‎8 ．（2013年高考江西卷（文））‎ 某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵树是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于_____________.‎ ‎【答案】6 ‎ ‎9 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知等比数列是递增数列,是的前项和,若是方程的两个根,则____________.‎ ‎【答案】63 ‎ ‎10．（2013年高考陕西卷（文））观察下列等式: ‎ 照此规律, 第n个等式可为________. ‎ ‎【答案】 ‎ ‎11．（2013年上海高考数学试题（文科））在等差数列中,若,则_________.‎ ‎【答案】15 ‎ 三、解答题 ‎12．（2013年高考福建卷（文））已知等差数列的公差,前项和为.‎ ‎(1)若成等比数列,求;‎ ‎(2)若,求的取值范围.‎ ‎【答案】解:(1)因为数列的公差,且成等比数列, ‎ 所以, ‎ 即,解得或. ‎ ‎(2)因为数列的公差,且, ‎ 所以; ‎ 即,解得 ‎ ‎13．（2013年高考大纲卷（文））等差数列中,‎ ‎(I)求的通项公式;‎ ‎(II)设 ‎【答案】(Ⅰ)设等差数列的公差为d,则 ‎ 因为,所以. ‎ 解得,. ‎ 所以的通项公式为. ‎ ‎(Ⅱ), ‎ 所以. ‎ ‎14．（2013年高考湖北卷（文））已知是等比数列的前项和,,,成等差数列,且.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)是否存在正整数,使得?若存在,求出符合条件的所有的集合;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ)设数列的公比为,则,. 由题意得 ‎ ‎ 即 ‎ 解得 ‎ 故数列的通项公式为. ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)有 . ‎ 若存在,使得,则,即 ‎ 当为偶数时,, 上式不成立; ‎ 当为奇数时,,即,则. ‎ 综上,存在符合条件的正整数,且所有这样的n的集合为. ‎ ‎15．（2013年高考湖南（文））设为数列{}的前项和,已知,2,N ‎(Ⅰ)求,,并求数列{}的通项公式;(Ⅱ)求数列{}的前项和.‎ ‎【答案】解: (Ⅰ) ‎ ‎- ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ) ‎ ‎ ‎ 上式左右错位相减: ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ ‎16．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问7分,(Ⅱ)小问6分)‎ 设数列满足:,,.‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式及前项和;‎ ‎(Ⅱ)已知是等差数列,为前项和,且,,求.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎17．（2013年高考天津卷（文））已知首项为的等比数列的前n项和为, 且成等差数列. ‎ ‎(Ⅰ) 求数列的通项公式; ‎ ‎(Ⅱ) 证明. ‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎18．（2013年高考北京卷（文））本小题共13分)给定数列.对,该数列前项的最大值记为,后项的最小值记为,.‎ ‎(Ⅰ)设数列为3,4,7,1,写出,,的值;‎ ‎(Ⅱ)设()是公比大于1的等比数列,且.证明:‎ ‎,,,是等比数列;‎ ‎(Ⅲ)设,,,是公差大于0的等差数列,且,证明:,,,是等差数列 ‎【答案】解:(I). ‎ ‎(II)因为,公比,所以是递增数列. ‎ 因此,对,,. ‎ 于是对,. ‎ 因此且(),即,,,是等比数列. ‎ ‎(III)设为,,,的公差. ‎ 对,因为,,所以=. ‎ 又因为,所以. ‎ 从而是递增数列,因此(). ‎ 又因为,所以. ‎ 因此. 所以. ‎ 所以=. ‎ 因此对都有,即,,,是等差数列. ‎ ‎19．（2013年高考山东卷（文））设等差数列的前项和为,且,‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式 ‎(Ⅱ)设数列满足 ,求的前项和 ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．（2013年高考浙江卷（文））在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,‎2a2+2,‎5a3成等比数列. ‎ ‎(Ⅰ)求d,an; (Ⅱ) 若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|++|an| .‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)由已知得到: ‎ ‎ ‎ ‎; ‎ ‎(Ⅱ)由(1)知,当时,, ‎ ‎①当时, ‎ ‎ ‎ ‎②当时, ‎ ‎ ‎ 所以,综上所述:; ‎ ‎21．（2013年高考四川卷（文））在等比数列中,,且为和的等差中项,求数列的首项、公比及前项和.‎ ‎【答案】解:设的公比为q.由已知可得 ‎ ‎,, ‎ 所以,,解得 或 , ‎ 由于.因此不合题意,应舍去, ‎ 故公比,首项. ‎ 所以,数列的前项和 ‎ ‎22．（2013年高考广东卷（文））设各项均为正数的数列的前项和为,满足且构成等比数列.‎ ‎(1) 证明:;‎ ‎(2) 求数列的通项公式;‎ ‎(3) 证明:对一切正整数,有.‎ ‎【答案】(1)当时,, ‎ ‎(2)当时,, ‎ ‎, ‎ 当时,是公差的等差数列. ‎ 构成等比数列,,,解得, ‎ 由(1)可知, ‎ ‎ 是首项,公差的等差数列. ‎ 数列的通项公式为. ‎ ‎(3) ‎ ‎ ‎ ‎23．（2013年高考安徽（文））设数列满足,,且对任意,函数 满足 ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若,求数列的前项和.‎ ‎【答案】解:由 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以, ‎ 是等差数列. ‎ 而 ‎ ‎ ‎ ‎(2) ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎24．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知等差数列的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求.‎ ‎【答案】‎ ‎25．（2013年高考江西卷（文））正项数列{an}满足.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an;‎ ‎(2)令,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【答案】解: ‎ 由于{an}是正项数列,则. ‎ ‎(2)由(1)知,故 ‎ ‎ ‎ ‎26．（2013年高考陕西卷（文））‎ 设Sn表示数列的前n项和. ‎ ‎(Ⅰ) 若为等差数列, 推导Sn的计算公式; ‎ ‎(Ⅱ) 若, 且对所有正整数n, 有. 判断是否为等比数列. ‎ ‎【答案】解:(Ⅰ) 设公差为d,则 ‎ ‎. ‎ ‎(Ⅱ) . ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ 所以,是首项,公比的等比数列. ‎ ‎27．（2013年上海高考数学试题（文科））本题共有3个小题.第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.‎ 已知函数.无穷数列满足.‎ ‎(1)若,求,,;‎ ‎(2)若,且,,成等比数列,求的值;‎ ‎(3)是否存在,使得,,,,成等差数列?若存在,求出所有这样的;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】‎ ‎28．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知等差数列的前项和满足,.‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)设{a}的公差为d,则S=. ‎ 由已知可得 ‎ ‎ ‎ ‎(2)由(I)知 ‎ 从而数列. ‎