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- 2021-05-13 发布
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2013-2014学年高中数学人教A版选修4-1知能达标演练:2-4弦切角的性质
一、选择题
1.如图,⊙O内切于△ABC,切点分别为D、E、F.已知∠B=50°,∠C=60°,连接OE、OF、DE、DF,那么∠EDF等于
( ).
A.40° B.55°
C.65° D.70°
解析 ∵∠B=50°,∠C=60°,
∴∠A=70°,∴∠EOF=110°,
∴∠EDF=55°.
答案 B
2.如图所示,AB是⊙O的直径,EF切⊙O于C,AD⊥EF于D,AD=2,AB=6,则AC的长为
( ).
A.2 B.3
C.2 D.4
解析 连接BC,则∠ACB=90°,
又AD⊥EF,
∴∠ADC=90°,
即∠ADC=∠ACB,
又∵∠ACD=∠ABC,
∴△ABC∽△ACD,
∴AC2=AD·AB=12,
即AC=2.
答案 C
3.如图所示,经过⊙O上的点A的切线和弦BC的延长线相交于点P,若∠CAP=40°,∠ACP=100°,则∠BAC所对的弧的度数为
( ).
A.40° B.100° C.120° D.30°
解析 ∵AP是⊙O 的切线,∴∠ABC=∠CAP=40°,
又∠ACP=100°,∴∠BAC=∠ACP-∠ABC=60°,
即∠BAC所对的弧的度数为120°.
答案 C
4.如图所示,AB是⊙O直径,直线EF切⊙O于B,C、D为⊙O上的点,∠CBE=40°,=,则∠BCD的度数是
( ).
A.110° B.115° C.120° D.135°
解析 由AB⊥EF得∠ABC=90°-∠CBE=50°,
∴2∠ABC=100°,又=,∴50°,
∴∠BCD=(180°+50°)=115°.
答案 B
二、填空题
5.如图所示,AD切⊙O于点F,FB,FC为⊙O的两弦,请列出图中所有的弦切角________________________.
解析 弦切角的三要素:(1)顶点在圆上,(2)一边与圆相交,(3)一边与圆相切.三要素缺一不可.
答案 ∠AFB、∠AFC、∠DFC、∠DFB
6.如图所示,已知AB与⊙O相切于点M,且=,且、的长为圆周长的四分之一,则∠AMC=________,∠BMC=________,∠MDC=________,∠MOC=______.
解析 弦切角等于所夹弧所对的圆周角,等于所夹弦所对圆心角度数的一半.
答案 45° 135° 45° 90°
7.如图所示,AB、AC是⊙O的两条切线,切点分别为B、C,D是优弧上的点,若∠BAC=80°,那么∠BDC=________.
解析 连接OB、OC,
则OB⊥AB,OC⊥AC,
∴∠BOC=180°-∠BAC=100°,
∴∠BDC=∠BOC=50°.
答案 50°
8.如图所示,AC切⊙O于点A,∠BAC=25°,则∠B的度数为________.
解析 ∵∠BAC=∠AOB,
∴∠AOB=2×25°=50°,
∴∠B=×(180°-50°)=65°.
答案 65°
三、解答题
9.如图所示,已知BC是⊙O的弦,P是BC延长线上一点,PA与⊙O相切于点A,∠ABC=25°,∠ACB=80°,求∠P的度数.
解 因为PA与⊙O相切于点A,
所以∠PAC=∠ABP=25°.
又因为∠ACB=80°,所以∠ACP=100°.
又因为∠PAC+∠PCA+∠P=180°,
所以∠P=180°-100°-25°=55°.
10.如图所示,已知四边形ABCD内接于⊙O,∠C=130°,AD是⊙O的直径,过B作⊙O的切线FE,求∠ABE的度数.
解 因为四边形ABCD为⊙O的内接四边形,∠C=130°,所以∠A=50°.
连接OB,则∠ABO=50°,所以∠AOB=80°.
又因为∠ABF=∠AOB=40°,
所以∠ABE=180°-∠ABF=180°-40°=140°,
即∠ABE=140°.
11.(拓展深化)如图所示,△ABC内接于⊙O,AB=AC,直线XY切⊙O于点C,BD∥XY,AC、BD相交于E.
(1)求证:△ABE≌△ACD;
(2)若AB=6 cm,BC=4 cm,求AE的长.
(1)证明 因为XY是⊙O的切线,所以∠1=∠2.
因为BD∥XY,所以∠1=∠3,∴∠2=∠3.
因为∠3=∠4,所以∠2=∠4.
因为∠ABD=∠ACD,又因为AB=AC,
所以△ABE≌△ACD.
(2)解 因为∠3=∠2,∠ABC=∠ACB,
所以△BCE∽△ACB,=,AC·CE=BC2.
因为AB=AC=6 cm,BC=4 cm,
所以6·(6-AE)=16.所以AE= cm.