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- 2021-05-13 发布
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2007年全国普通高等学校招生统一考试(上海卷)
一.填空题(本大题满分44分)
1.函数的定义域是 .
2.若直线与直线平行,则 .
3.函数的反函数 .
4.方程 的解是 .
5.若,且,则的最大值是 .
6.函数的最小正周期 .
7.在五个数字中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是
(结果用数值表示).
8.以双曲线的中心为焦点,且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是
.
9.对于非零实数,以下四个命题都成立:
① ; ② ;
③ 若,则; ④ 若,则.
那么,对于非零复数,仍然成立的命题的所有序号是 .
10.在平面上,两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种. 已知是两个
相交平面,空间两条直线在上的射影是直线,在上的射影是
直线.用与,与的位置关系,写出一个总能确定与是异面直线的充分条件: .
11.已知为圆上任意一点(原 点除外),直线的倾斜角为弧度,记.在右侧的坐标系中,画出以
为坐标的点的轨迹的大致图形为
二.选择题(本大题满分16分)
12.已知,且(是虚数单位)是实系数一元二次方程
的两个根,那么的值分别是( )
A. B.
C. D.
13.设是非零实数,若,则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
14.直角坐标系中,分别是与轴正方向同向的单位向量.在直角三角形
中,若,则的可能值个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
15.设是定义在正整数集上的函数,且满足:“当成立时,总可推
出成立”.那么,下列命题总成立的是( )
A.若成立,则当时,均有成立
B.若成立,则当时,均有成立
C.若成立,则当时,均有成立
D.若成立,则当时,均有成立
三.解答题(本大题满分90分)
16.(本题满分12分)
如图,在体积为1的直三棱柱中,.求直线与平面所成角的大小(结果用反三角函数值表示).
17.(本题满分14分)
在中,分别是三个内角的对边.若,,求的面积.
18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
近年来,太阳能技术运用的步伐日益加快.2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦,年生产量的增长率为34%.以后四年中,年生产量的增长率逐年递增2%(如,2003年的年生产量的增长率为36%).
(1)求2006年全球太阳电池的年生产量(结果精确到0.1兆瓦);
(2)目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量,2006年的实际安装量为1420兆瓦.假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%,到2010年,要使年安装量与年生产量基本持平(即年安装量不少于年生产量的95%),这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少(结果精确到0.1%)?
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.
已知函数,常数.
(1)讨论函数的奇偶性,并说明理由;
(2)若函数在上为增函数,求的取值范围.
20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.
如果有穷数列(为正整数)满足条件,,…,,即(),我们称其为“对称数列”.例如,由组合数组成的数列就是“对称数列”.
(1)设是项数为7的“对称数列”,其中是等差数列,且,
.依次写出的每一项;
(2)设是项数为(正整数)的“对称数列”,其中是首项为,公差为的等差数列.记各项的和为.当为何值时,取得最大值?并求出的最大值;
(3)对于确定的正整数,写出所有项数不超过的“对称数列”,使得依次是该数列中连续的项;当时,求其中一个“对称数列”前项的和.
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”,其中,,.
y
O
.
.
x
.
如图,点,,是相应椭圆的焦点,,和,分别是“果圆”与,轴的交点.
(1)若是边长为1的等边三角形,求
“果圆”的方程;
(2)当时,求的取值范围;
(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”
的弦.试研究:是否存在实数,使斜率为的“果圆”
平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在,求出所有可能的值;若不存在,说明理由.
答案要点
一、填空题(第1题至第11题)
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8. 9.②④
10. ,并且与相交(,并且与相交)
11.
二、选择题(第12题至第15题)
题 号
12
13
14
15
答 案
A
C
B
D
三、解答题(第16题至第21题)
16.解法一: 由题意,可得体积
,
.
连接. ,
平面,
是直线与平面所成的角.
,
,则 =.
即直线与平面所成角的大小为.
解法二: 由题意,可得
体积,
,
如图,建立空间直角坐标系. 得点,
,. 则,
平面的法向量为.
设直线与平面所成的角为,与的夹角为,
则, ,
即直线与平面所成角的大小为.
17.解: 由题意,得为锐角,,
,
由正弦定理得 , .
18.解:(1)由已知得2003,2004,2005,2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为
,,,.
则2006年全球太阳电池的年生产量为
(兆瓦).
(2)设太阳电池的年安装量的平均增长率为,则.
解得.
因此,这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到.
19.解:(1)当时,,
对任意,, 为偶函数.
当时,,
取,得 ,
,
函数既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)解法一:设,
,
要使函数在上为增函数,必须恒成立.
,即恒成立.
又,.
的取值范围是.
解法二:当时,,显然在为增函数.
当时,反比例函数在为增函数,
在为增函数.
当时,同解法一.
20.解:(1)设的公差为,则,解得 ,
数列为.
(2)
,
,
当时,取得最大值.
的最大值为626.
(3)所有可能的“对称数列”是:
① ;
② ;
③ ;
④ .
对于①,当时,.
当时,
.
对于②,当时,.
当时,.
对于③,当时,.
当时,.
对于④,当时,.
当时,.
21. 解:(1) ,
,
于是,所求“果圆”方程为
,.
(2)由题意,得 ,即.
,,得.
又. .
(3)设“果圆”的方程为,.
记平行弦的斜率为.
当时,直线与半椭圆的交点是
,与半椭圆的交点是.
的中点满足
得 .
, .
综上所述,当时,“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上.
当时,以为斜率过的直线与半椭圆的交点是.
由此,在直线右侧,以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上,即不在某一椭圆上.
当时,可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上.
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