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  • 2021-05-13 发布

上海高考数学试卷与答案理科

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‎2007年全国普通高等学校招生统一考试(上海卷)‎ 一.填空题(本大题满分44分)‎ ‎1.函数的定义域是 . ‎ ‎2.若直线与直线平行,则 . ‎ ‎3.函数的反函数 . ‎ ‎4.方程 的解是 . ‎ ‎5.若,且,则的最大值是 . ‎ ‎6.函数的最小正周期 . ‎ ‎7.在五个数字中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是 ‎ (结果用数值表示). ‎ ‎8.以双曲线的中心为焦点,且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 ‎ .‎ ‎9.对于非零实数,以下四个命题都成立:‎ ‎ ① ; ② ; ‎ ‎ ③ 若,则; ④ 若,则. ‎ 那么,对于非零复数,仍然成立的命题的所有序号是 .‎ ‎10.在平面上,两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种. 已知是两个 ‎ 相交平面,空间两条直线在上的射影是直线,在上的射影是 直线.用与,与的位置关系,写出一个总能确定与是异面直线的充分条件: .‎ ‎11.已知为圆上任意一点(原 点除外),直线的倾斜角为弧度,记.在右侧的坐标系中,画出以 为坐标的点的轨迹的大致图形为 二.选择题(本大题满分16分)‎ ‎12.已知,且(是虚数单位)是实系数一元二次方程 ‎ 的两个根,那么的值分别是(  )‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎13.设是非零实数,若,则下列不等式成立的是(  )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎14.直角坐标系中,分别是与轴正方向同向的单位向量.在直角三角形 ‎ 中,若,则的可能值个数是(  )‎ ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎15.设是定义在正整数集上的函数,且满足:“当成立时,总可推 ‎ 出成立”.那么,下列命题总成立的是(  )‎ ‎ A.若成立,则当时,均有成立 ‎ B.若成立,则当时,均有成立 ‎ C.若成立,则当时,均有成立 ‎ ‎ D.若成立,则当时,均有成立 ‎ 三.解答题(本大题满分90分)‎ ‎16.(本题满分12分)‎ ‎ 如图,在体积为1的直三棱柱中,.求直线与平面所成角的大小(结果用反三角函数值表示).‎ ‎17.(本题满分14分)‎ ‎ 在中,分别是三个内角的对边.若,,求的面积.‎ ‎18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.‎ ‎ 近年来,太阳能技术运用的步伐日益加快.2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦,年生产量的增长率为34%.以后四年中,年生产量的增长率逐年递增2%(如,2003年的年生产量的增长率为36%).‎ ‎ (1)求2006年全球太阳电池的年生产量(结果精确到0.1兆瓦);‎ ‎ (2)目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量,2006年的实际安装量为1420兆瓦.假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%,到2010年,要使年安装量与年生产量基本持平(即年安装量不少于年生产量的95%),这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少(结果精确到0.1%)?‎ ‎19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.‎ ‎ 已知函数,常数.‎ ‎ (1)讨论函数的奇偶性,并说明理由;‎ ‎ (2)若函数在上为增函数,求的取值范围.‎ ‎20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.‎ ‎ 如果有穷数列(为正整数)满足条件,,…,,即(),我们称其为“对称数列”.例如,由组合数组成的数列就是“对称数列”.‎ ‎(1)设是项数为7的“对称数列”,其中是等差数列,且,‎ ‎.依次写出的每一项;‎ ‎(2)设是项数为(正整数)的“对称数列”,其中是首项为,公差为的等差数列.记各项的和为.当为何值时,取得最大值?并求出的最大值;‎ ‎ (3)对于确定的正整数,写出所有项数不超过的“对称数列”,使得依次是该数列中连续的项;当时,求其中一个“对称数列”前项的和.‎ ‎21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.‎ 我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”,其中,,.‎ y O ‎.‎ ‎.‎ x ‎.‎ 如图,点,,是相应椭圆的焦点,,和,分别是“果圆”与,轴的交点.‎ ‎(1)若是边长为1的等边三角形,求 ‎“果圆”的方程; ‎ ‎ (2)当时,求的取值范围;‎ ‎(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”‎ 的弦.试研究:是否存在实数,使斜率为的“果圆”‎ 平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在,求出所有可能的值;若不存在,说明理由.‎ 答案要点 一、填空题(第1题至第11题)‎ ‎1. 2. 3. 4. ‎ ‎5. 6. 7. 8. 9.②④‎ ‎10. ,并且与相交(,并且与相交)‎ ‎11. ‎ 二、选择题(第12题至第15题)‎ 题 号 ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 答 案 A C B D ‎ 三、解答题(第16题至第21题)‎ ‎16.解法一: 由题意,可得体积 ‎, ‎ ‎ . ‎ 连接. ,‎ 平面,‎ ‎ 是直线与平面所成的角. ‎ ‎ , ‎ ‎ ,则 =.‎ ‎ 即直线与平面所成角的大小为. ‎ 解法二: 由题意,可得 ‎ 体积,‎ ‎ , ‎ ‎ 如图,建立空间直角坐标系. 得点,‎ ‎,. 则,‎ 平面的法向量为.‎ ‎ 设直线与平面所成的角为,与的夹角为, ‎ ‎ 则, ,‎ ‎ 即直线与平面所成角的大小为. ‎ ‎17.解: 由题意,得为锐角,, ‎ ‎ , ‎ ‎ 由正弦定理得 , . ‎ ‎18.解:(1)由已知得2003,2004,2005,2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 ‎ ,,,. ‎ 则2006年全球太阳电池的年生产量为 ‎ ‎ (兆瓦). ‎ ‎ (2)设太阳电池的年安装量的平均增长率为,则.‎ 解得. ‎ ‎ 因此,这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到. ‎ ‎19.解:(1)当时,,‎ ‎ 对任意,, 为偶函数. ‎ ‎ 当时,,‎ ‎ 取,得 , ‎ ‎ , ‎ ‎ 函数既不是奇函数,也不是偶函数. ‎ ‎ (2)解法一:设,‎ ‎ , ‎ ‎ 要使函数在上为增函数,必须恒成立. ‎ ‎ ,即恒成立. ‎ ‎ 又,.‎ ‎ 的取值范围是. ‎ ‎ 解法二:当时,,显然在为增函数. ‎ 当时,反比例函数在为增函数,‎ 在为增函数. ‎ ‎ 当时,同解法一. ‎ ‎20.解:(1)设的公差为,则,解得 ,‎ ‎ 数列为. ‎ ‎ (2)‎ ‎ , ‎ ‎ ,‎ ‎ 当时,取得最大值. ‎ ‎ 的最大值为626. ‎ ‎ (3)所有可能的“对称数列”是:‎ ‎ ① ;‎ ‎ ② ;‎ ‎ ③ ;‎ ‎ ④ . ‎ ‎ 对于①,当时,. ‎ ‎ 当时,‎ ‎ . ‎ ‎ 对于②,当时,. ‎ ‎ 当时,.‎ ‎ 对于③,当时,. ‎ ‎ 当时,.‎ ‎ 对于④,当时,. ‎ ‎ 当时,.‎ ‎21. 解:(1) ,‎ ‎,‎ ‎ 于是,所求“果圆”方程为 ‎ ,. ‎ ‎(2)由题意,得 ,即.‎ ‎ ,,得. ‎ ‎ 又. . ‎ ‎ (3)设“果圆”的方程为,.‎ ‎ 记平行弦的斜率为.‎ 当时,直线与半椭圆的交点是 ‎,与半椭圆的交点是.‎ ‎ 的中点满足 ‎ 得 . ‎ ‎ , .‎ ‎ 综上所述,当时,“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上. ‎ ‎ 当时,以为斜率过的直线与半椭圆的交点是. ‎ ‎ 由此,在直线右侧,以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上,即不在某一椭圆上. ‎ ‎ 当时,可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上. ‎