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- 2021-05-13 发布
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寒假数学周练（1）
题号
一
二
三
总分
得分
学校:___________姓名：___________班级：___________
一、单选题
1．（本题5分）已知向量AB，AC，AD满足AC=AB+AD，AB=2，AD=1，E，F分别是线段BC，CD的中点，若DE⋅BF=-54，则向量AB与AD的夹角为（ ）
A．π6 B．π3 C．2π3 D．5π6
2．（本题5分）若曲线fx=1alnx+1(e-10,b>0的左焦点F为圆x2+y2+2x=0的圆心,且椭圆上的点到点F的距离最小值为2−1.
(I)求椭圆方程;
(II)已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A、B,点M(−54,0),证明:MA⋅MB为定值.
赵习尧寒假数学周练（1）参考答案
1B 2B 3D 4A 5A 6D 7D 8D 9C 10A 11B 12D
13．61313−1,4 14．25,10 15．[−5,8] 16．
17．（1）x22+y2=1（2）−716
【解析】
（1）因为圆x2+y2+2x=0的圆心为(−1,0)，半径为r=1，所以椭圆的半焦距c=1，
又椭圆上的点到点F的距离最小值为2−1，所以a−c=2−1，即a=2．
所以，所求椭圆的方程为x22+y2=1．
（2）①当直线l与x轴垂直时，l的方程为x=−1，
可求得A(−1,22),B(−1,−22)，
此时，．
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k(x+1)，
由y=k(x+1)x22+y2=1得(1+2k2)x2+4k2x+2k2−2=0．
设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=−4k21+2k2,x1x2=2k2−21+2k2．
所以，为定值，且定值为−716
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