2017年高考全国三卷理科数学试卷 5页

‎2017.6‎ ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试（III卷）‎ 理科数学 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。‎ 1. ‎ 已知集合，则A∩B中元素的个数为 A. ‎3 B. 2 C. 1 D. 0‎ 2. ‎ 设复数z满足(1 + i)z = 2i，则| z | =‎ A. ‎ B. C. D. 2‎ 3. ‎ 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待 游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图。‎ 根据该折线图，下列结论错误的是 A. 月接待游客量逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加 C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7、8月 D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4. ‎ (x + y)(2x - y)5的展开式中x3y3的系数为 A. ‎-80 B. -40 C. 40 D. 80‎ 5. ‎ 已知曲线C：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则 C的方程为 A. ‎ B. C. D. ‎ 6. ‎ 设函数，则下列结论错误的是 A. 的一个周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 在单调递减 1. ‎ 执行右面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为 A. ‎5‎ B. ‎4‎ C. ‎3‎ D. ‎2 ‎ 2. ‎ 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则 该圆柱的体积为 A. ‎ B. ‎ C. D. ‎ 3. ‎ 等差数列{an}的首项为1，公差不为0，若a2、a3、a6成等比数列，则{an}前6项的和为 A. ‎-24 B. -3 C. 3 D. 8‎ 4. 已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线 相切，则C的离心率为 A. ‎ B. C. D. ‎ 5. 已知函数有唯一零点，则a =‎ A. ‎ B. C. D. 1‎ 6. 在矩形ABCD中，AB = 1，AD = 2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若，则 的最大值为 A. ‎3 B. C. D. 2‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ 7. 设x、y满足约束条件则z = 3x - 4y的最小值为__________。‎ 8. 设等比数列{an}满足a1 + a2 = -1，a1 - a3 = -3，则a4 =__________。‎ 9. 设函数则满足的x的取值范围是_______________。‎ 10. a、b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a、b都垂直，斜边AB以 直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：‎ ‎①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；‎ ‎②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；‎ ‎③直线AB与a所成角的最小值为45°；‎ ‎④直线AB与a所成角的最大值为60°。‎ 其中正确的是____________。（填写所有正确结论的编号）‎ 二、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17. （12分）‎ ‎△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知。‎ （1） 求c；‎ （2） 设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积。‎ ‎18. （12分）‎ 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关，如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25]，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶。为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 ‎[10,15)‎ ‎[15,20)‎ ‎[20,25)‎ ‎[25,30)‎ ‎[30,35)‎ ‎[35,40)‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率。‎ （1） 求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；‎ （2） 设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？‎ 19. ‎（12分）‎ 如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，‎ ‎∠ABD = ∠CBD，AB = BD。‎ （1） 证明：平面ACD⊥平面ABC；‎ （2） 过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积 相等的两部分，求二面角D-AE-C的余弦值。‎ 20. ‎（12分）‎ 已知抛物线C：y2 = 2x，过点(2,0)的直线l交C与A、B两点，圆M是以线段AB为直径的圆。‎ （1） 证明：坐标原点O在圆M上；‎ （2） 设圆M过点P(4,-2)，求直线l与圆M的方程。‎ 19. ‎（12分）‎ 已知函数。‎ （1） 若，求a 的值；‎ （2） 设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值。‎ （二） 选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。‎ 20. ‎[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，直线l2的参数方程为，设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C。‎ （1） 写出C的普通方程；‎ （2） 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：，M为l3与C的 交点，求M的极径。‎ 21. ‎[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数。‎ （1） 求不等式的解集；‎ （1） 若不等式的解集非空，求m的取值范围。‎