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- 2021-05-13 发布
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数学基础知识与典型例题
第四章三角函数
三
角
函
数
相
关
知
识
关
系
表
角
的
概
念
1.①与 (0°≤ <360°)终边相同的角的集合
(角 与角 的终边重合): Zkk ,360| ;
②终边在 x 轴上的角的集合: Zkk ,180| ;
③终边在 y 轴上的角的集合:
Zkk ,90180| ;
④终边在坐标轴上的角的集合: Zkk ,90| .
2. 角度与弧度的互换关系:360°=2 180°=
1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角
的弧度数为零, 熟记特殊角的弧度制.
3.弧度制下,扇形弧长公式 1
2 r ,扇形面积公
式 21 1 | |2 2S R R ,其中 为弧所对圆心角的弧
度数。
例 1.已知 2 弧度的圆心
角所对的弦长为 2,那么
这个圆心角所对的弧长
为( )
( )2A
( )sin 2B
2( ) sin1C
( )2sin1D
例 2. 已知 为第三象
限角,则
2
所在的象限
是( )
(A)第一或第二象限
(B)第二或第三象限
(C)第一或第三象限
(D)第二或第四象限
三
角
函
数
的
定
义
1.三角函数定义:利用直角坐标系,可以把直角三角
形中的三角函数推广到任意角的三角数.在 终边上
任 取 一 点 ( , )P x y ( 与 原 点 不 重 合 ), 记
2 2| |r OP x y ,
则sin y
r
,cos x
r
, tan y
x
,cot x
y
。
注: ⑴三角函数值只与角 的终边的位置有关,由
角 的大小唯一确定,三角函数是以角为自变量,
以比值为函数值的函数.
⑵根据三角函数定义可以推出一些三角公式:
①诱导公式:即
2
k 或 90
2
k
之间函数值关系( )k Z ,其规律是“奇变偶不变,
符号看象限” ;如sin(270 ) cos
②同角三角函数关系式:平方关系,倒数关系,商
数关系.
⑶重视用定义解题.
⑷三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各
种三角函数值的一种图示方法.如单位圆
; ;MP OM AT正弦线: 余弦线: 正切线:
2. 各象限角的各种三角函数值符号:
一全二正弦,三切四余弦
sin y
r
cos x
r
tan y
x
,cot x
y
(纵坐标 y 的符号) (横坐标 x 的符号)
例 3.已知角 的终边经
过 P(4, 3),求 2sin
+cos 的值.
例 4.若 是第三象限
角,且 cos cos2 2
,
则
2
是( )
( )A 第一象限角
( )B 第二象限角
( )C 第三象限角
( )D 第四象限角
例 5.
若cos 0, sin2 0, 且
则角 的终边所在象限
是( )
(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
三
角
函
数
公
式
三角函数的公式:(一)基本关系
公式组二 ( k Z )
sin(2 ) sin , cos(2 ) cos
tan(2 ) tan , cot(2 ) cot
k x x k x x
k x x k x x
公式组三
sin( ) sin tan( ) tan
cos( ) cos cot( ) cot
x x x x
x x x x
公式组四 公式组五
xx
xx
xx
xx
cot)cot(
tan)tan(
cos)cos(
sin)sin(
xx
xx
xx
xx
cot)2cot(
tan)2tan(
cos)2cos(
sin)2sin(
公式组六
sin( ) sin tan( ) tan
cos( ) cos cot( ) cot
x x x x
x x x x
(二)两角和与差公式
公式组一
sinsincoscos)cos(
sinsincoscos)cos(
sincoscossin)sin(
sincoscossin)sin(
tantan1
tantan)tan(
tantan1
tantan)tan(
公式组二: cossin22sin
2222 sin211cos2sincos2cos
2tan1
tan22tan
2
cos1
2sin
2
cos1
2cos ,
1 cos sin 1 costan 2 1 cos 1 cos sin
公式组三
1cos( ) sin2
,
1cos( ) sin2
,
1sin( ) cos2
1sin( ) cos2
,
1tan( ) cot2
,
1tan( ) cot2
常用数据:
30 45 60 90 、 、 、 的三角函数值
6 2sin 15 cos 75 4
,
4
2615cos75sin
3275cot15tan
, 3215cot75tan
例 6. 化 简 :
440sin1 2
例 7.已知 tanα,tanβ是
方程 2 3 3 4 0x x 两
根,且α,β )2,2( ,
则α+β等于( )
(A)
3
2
(B)
3
2 或
3
(C) 3
或
3
2
(D) 3
例 8. 15cot15tan 的
值是( )
(A)2 (B)2+ 3
(C)4 (D) 3
34
三
角
函
数
公
式
注: ⑴以上公式务必要知道其推导思路,从而清晰
地“看出”它们之间的联系,它们的变化形式.
如 tan( )(1 tan tan ) tan tan
2 21 cos 1 coscos ,sin2 2 2 2
等.
从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式.
⑵三角变换公式除用来化简三角函数式外,还为研
究三角函数图象及性质做准备.
⑶三角函数恒等变形的基本策略。
①常值代换:特别是用“1”的代换,如 1=cos2θ+sin2
θ=tanx·cotx=tan45°等。
②项的分拆与角的配凑。
如分拆项: 2 2 2 2 2 2sin 2cos (sin cos ) cos 1 cosx x x x x x ;
配凑角(常用角变换):
2 ( ) ( ) 、 2 ( ) ( ) 、
2 2
、
2 2
、
( ) 等.
③降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。
④化弦(切)法。将三角函数利用同角三角函
数基本关系化成弦(切)。
⑤引入辅助角。asinθ+bcosθ= 22 ba sin(θ+ ),
这里辅助角 所在象限由 a、b 的符号确定, 角的
值由 tan = a
b 确定。
例 9. 设 )2,0( , 若
,5
3sin 则 )4cos(2 =
( )
(A) 5
7 (B) 5
1
(C) 2
7 (D)4
例 10.sin163 sin223
sin 253 sin313 ( )
1( ) 2A 1( ) 2B 3( ) 2C 3( ) 2D
例 11. 求 下 列 各 式 的
值:⑴
75tan1
75tan1
;
⑵tan17+tan28+tan17tan28
例 12.已知 为锐角,且
1tan 2
, 求
sin2 cos sin
sin2 cos2
的值.
三
角
函
数
公
式
例 13. 已知α为第二象限角,且 sinα= ,4
15 求
12cos2sin
)4sin(
的值.
例 14. 已知
2
1)4tan( ,(1)求 tan 的值;(2)求
2cos1
cos2sin 2
a 的值
例 15. 已知 cos2sin , sin 4cos
5sin 2cos
⑴求 的值; 2sin 2sin cos ⑵求 的值.
三
角
函
数
公
式
例 16. 已知
4
5cossin ,求sin cos 的值.
例 17. 已知锐角 ,满足 cos= 5
3 ,cos(+)= 13
5 ,求 cos.
例 18. 已知
2
, 0 ,tan =
3
1 ,tan =
7
1 ,求 2 + .
例 19. 在△ABC 中,已知 cosA =13
5 ,sinB = 5
3 ,则 cosC 的值为( )
(A) 65
16 (B) 65
56 (C) 65
56
65
16 或 (D) 65
16
例 20. 若关于 x 的方程 2cos2( + x) sinx + a = 0 有实根,求实数 a 的取值范
围。
三
角
函
数
三角函数的性质:
siny x cosy x xAy sin (A、 >0)
定 义
域
R R R
值域 [ 1,1] [ 1,1] AA,
周 期
性
2 2 2
奇 偶
性
奇函数 偶函数 当 ,0 非 奇 非 偶 , 当
,0 奇函数
单 调
性
[ 2 , 2 ]2 2k k
上为增函数;
3[ 2 , 2 ]2 2k k
上为减函数.
( Zk )
[ 2 1 ,2 ]k k
上为增函数;
[2 , 2 1 ]k k
上为减函数.
( Zk )
12 22 2,
k k
上为增函数;
32 22 2,
k k
上为减函数( Zk )
三
角
函
数
tany x coty x
定义域 1| ,2x x R x k k Z
且 | ,x x R x k k Z 且
值域 R R
周期性
奇偶性 奇函数 奇函数
单调性
kk 2,2
上 为 增 函
数( Zk )
1, kk 上为减函数( Zk )
以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象...........
函数 sin( )y A x 的图像和性质以函数 siny x 为基础,通过图像变
换来把握.如① siny x 图例变化为 ② sin( )y A x (A>0, >0)相应地,
①的单调增区间 2 , 22 2k k
变为
2 22 2k x k ≤ ≤ 的解集是②的增区间.
注:⑴ )sin( xy 或 cos( )y x ( 0 )的周期
2T ;
⑵ sin( )y x 的对称轴方程是
2x k ( Zk ),对称中心( ,0)k ;
cos( )y x 的对称轴方程是 x k ( Zk ),对称中心 1( ,0)2k ;
)tan( xy 的对称中心( 0,2
k ).
三
角
函
数
例 21.下列函数中,既是(0,
2
)上的增函数,又是以π为周期的偶函数是( )
(A)y=lgx2 (B)y=|sinx| (C)y=cosx (D)y= x2sin2
例 22.函数 sin 2
xy 的最小正周期是( )
(A) 2
(B) (C) 2 (D) 4
例 23. 函数 ]),0[)(26sin(2 xxy 为增函数的区间是( )
(A) ]3,0[ (B) ]12
7,12[ (C) ]6
5,3[ (D) ],6
5[
例 24.函数 22cos( )( )3 6 3y x x ≤ ≤ 的最小值是( )
( ) 2A ( ) 3B ( ) 1C ( )1D
三
角
函
数
例 25. 为了得到函数 )62sin( xy 的图象,可以将函数 xy 2cos 的图象( )
(A)向右平移
6
个单位长度 (B)向右平移
3
个单位长度
(C)向左平移
6
个单位长度 (D)向左平移
3
个单位长度
例 26. 若函数 )sin()( xxf 的图象(部分)如图所示,则 和 的取值是
( )
(A) 3,1 (B) 3,1 (C) 6,2
1 (D) 6,2
1
例 27. 函数 f x x x x( ) cos sin cos 2 2 3 的最小正周期是_____.
例 28.将函数 siny x 的图象上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍,纵坐标不
变,再把所得图象上所有点向左平移
3
个单位,所得图象的解析式是
__________________.
例 29. 函数 sin 3 cosy x x 在区间[0, 2
]的最小值为______.
例 30.函数 )(2cos2
1cos)( Rxxxxf 的最大值等于 .
例 31. 已知
2,0 x ,求函数 )12
5cos()12cos( xxy 的值域
例 32.已知函数 1
2
( ) log (sin cos )f x x x
⑴求它的定义域和值域; ⑵求它的单调区间;
⑶判断它的奇偶性; ⑷判断它的周期性.
三
角
函
数
例 33. 已知 f(x)=5sinxcosx- 35 cos2x+ 32
5 (x∈R)
⑴求 f(x)的最小正周期;⑵求 f(x)单调区间;
⑶求 f(x)图象的对称轴,对称中心。
例 34. 求函数 f (x)= 1
2
1log cos( )3 4x 的单调递增区间
反
三
角
函
数
反 三 角 函 数 符 号 的 运 用 : arcsin ,2 2a
、 arccos 0,a 、
arc tan ( , )2 2a
注意:反三角数符号只表示...这个范围的角,其他范围的角需要用诱导公式变
到这个范围.
例 35.适合 1 3sin , ,3 2x x
的角 x 是( )
1( )arcsin( )3A 1( ) arcsin 3B 1( )2 arcsin( )3C 1( ) arcsin( )3D
例 36.求 3arctan2arctan1arctan 的值.
数学基础知识与典型例题(第四章三角函数)答案
例 1.C 例 2.D 例 3. 由定义 : 5r ,sin =
5
3 ,cos =
5
4 ,∴2sin +cos =
5
2
例 4.B 解:∵(2 1) (2 1) 2k k )( Zk ,∴
4
3
22
kk )( Zk ,则
2
是第二或
第四象限角,又∵ cos cos2 2
,∴cos 02
,则
2
是第二或第三象限角,∴
2
必为第二象限角
例 5.D 例 6. 解:原式 80cos80cos80sin1)80360(sin1 222
例 7. A 例 8.C 例 9.B 例 10.B
例 11. 解:⑴原式= 3120tan)7545tan(75tan45tan1
75tan45tan
;
⑵ ∵
28tan17tan1
28tan17tan)2817tan(
, ∴ tan17+tan28=tan(17+28)(1tan17tan28)=1
tan17tan28∴原式=1 tan17tan28+ tan17tan28=1
例 12.解:∵ 1tan 2
, 为锐角,∴ 2cos
5
∴
2sin2 cos sin sin (2cos 1) 1 5
sin2 cos2 2sin cos cos2 2cos 4
例 13.解:
2cos2cossin2
)cos(sin2
2
12cos2sin
)4sin(
.)cos(sincos4
)cos(sin2
当 为第二象限角,
且
4
15sin 时,
4
1cos,0cossin ,所以
12cos2sin
)4sin(
= .2cos4
2
例 14. 解(1):由
2
1
tan1
tan1
tan4tan1
tan4tan
)4tan(
,解得
3
1tan
(2)
1cos21
coscossin2
2cos1
cos2sin
2
22
6
5
2
1
3
1
2
1tancos2
cossin2
例 15. 解: sin 2cos , tan 2 ∴⑴ sin 4cos tan 4 2 1
5sin 2cos 5tan 2 12 6
⑵
5
6
14
24
1tan
tan2tan
cossin
cossin2sincossin2sin 2
2
22
2
2
例 16.解:∵
16
25)cos(sin 2 ∴
16
25cossin21 ,
32
9cossin
例 17. 解:∵cos= 5
3 ,∴sin= 5
4 ,又∵cos(+)= 13
5 <0 ,∴+为钝角, ∴sin(+)= 13
12 ,
∴cos=cos[(+)]=cos(+)cos+sin(+)sin= 65
33
5
4
13
12
5
3
13
5 (角变换技巧)
例 18. 解:
4
3
tan1
tan22tan 2
,∴ 1tan2tan1
tan2tan)2tan(
,又∵tan2 < 0,tan < 0 ,
∴ 222
3 , 02
, ∴ 22 ,∴2 + =
4
7
例 19. 解:∵C = (A + B) ,∴cosC = cos(A + B) 又∵A(0, ),∴sinA =
13
12 而 sinB =
5
3 ,
显然 sinA > sinB ∴A > B,即 B 必为锐角 , ∴ cosB =
5
4 ,∴cosC = cos(A + B) = sinAsinB
cosAcosB =
65
16
5
4
13
5
5
3
13
12
例 20. 解 : 原 方 程 变 形 为 : 2cos2x sinx + a = 0 即 2 2sin2x sinx + a = 0, ∴
8
17)4
1(sin22sinsin2 22 xxxa ,∵ 1≤sinx≤1 ,∴
8
17
4
1sin min ax 时,当 ;
11sin max ax 时,当 , ∴a 的取值范围是[ 1,8
17 ]
例 21.B 例 22.C 例 23.C 例 24.D 例 25.B 例 26.C 例 27. 例 28. sin( )2 6
xy 例 29.1 例 30. 3
4
例 31.解: 5cos( ) cos( ) 2 cos( )12 12 3y x x x ,∵ 0, 2x
,∴
6 3 3x ≤ ≤ ,∴
1cos( ) ,13 2x
,∴函数 y 的值域是 2 , 22
例 32. 解(1)x 必须满足 sinx-cosx>0,利用单位圆中的三角函数线及 52 24 4k x k ,
k ∈ Z ∴ 函 数 定 义 域 为 )4
5k2,4k2( , k ∈ Z ∵ sin cos 2sin( )4x x x ∴ 当 x ∈
5(2 , 2 )4 4k k 时,0 sin( ) 14x ≤ ∴ 0 sin cos 2x x ≤ ∴
1
2
1log 2 2y ≥ ∴ 函数值域
为[ ,2
1 )(3)∵ ( )f x 定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,∴ ( )f x 不具备奇偶性
(4)∵ f(x+2π)=f(x)∴ 函数 f(x)最小正周期为 2π
注;利用单位圆中的三角函数线可知,以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准,可区分 sinx-cosx 的符
号;以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准,可区分 sinx+cosx 的符号
例 33. (1)T=π(2)增区间[kπ- 12
,kπ+ 12
5 π],减区间[kπ+ ]12
11k,12
5
(3)对称中心(
62
k ,0),对称轴
12
5
2
kx ,k∈Z
例34. 解:∵f (x)= 1
2
1log cos( )3 4x 令
43
1 xt ,∴y= tcoslog
2
1 ,t是x的增函数,又∵0< 2
1 <1,
∴当 y= tcoslog
2
1 为单调递增时,cost 为单调递减 且 cost>0,∴2k≤t<2k+ 2
(kZ),∴2k≤
43
1 x <2k+ 2
(kZ) ,6k- 4
3 ≤x<6k+ 4
3 (kZ),∴f (x)= )43
1cos(log
2
1
x 的单调递减区间
是[6k- 4
3 ,6k+ 4
3 ) (kZ)
例 35.D 例 36. 解:arctan2 = , arctan3 = ,则 tan = 2, tan = 3,且
24
,
24
,
∴ 1321
32
tantan1
tantan)tan(
,而
2
,∴ + =
4
3 ,又 arctan1 =
4
,
∴ 3arctan2arctan1arctan =