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- 2021-05-13 发布
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2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全
一、选择题
1.(2018北京文、理)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率,则第八个单音频率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为,,
又,则,故选D.
2.(2018浙江)已知成等比数列,且.若,则( )
A. B. C. D.
答案:B
解答:∵,∴,
得,即,∴.若,则,
,矛盾.∴,则,.∴,.
3.(2018全国新课标Ⅰ理)记为等差数列的前项和.若,,则( )
A. B. C. D.
答案:B
解答:
,∴.
二、填空
1.(2018北京理)设是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则的通项公式为__________.
【答案】
【解析】,,,.
2.(2018江苏)已知集合,.将的所有
元素从小到大依次排列构成一个数列.记为数列的前n项和,则使得成立的n的最小值为 ▲ .
【答案】27
【解析】设,
则
,
由得,,,所以只需研究是否有满足条件的解,
此时,,为等差数列项数,且.
由,,,,
得满足条件的最小值为27.
3.(2018上海)记等差数列的前几项和为Sn,若,则S7= 。
4.(2018上海)设等比数列{}的通项公式为an=qⁿ+1(n∈N*),前n项和为Sn。若,则q=____________
5.(2018全国新课标Ⅰ理)记为数列的前项和.若,则_____________.
答案:
解答:依题意,作差得,所以为公比为的等比数列,又因为,所以,所以,所以.
三、解答题
1.(2018北京文)设是等差数列,且,.
(1)求的通项公式;
(2)求.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)设等差数列的公差为,,,
又,,.
(2)由(1)知,,
是以2为首项,2为公比的等比数列,
,
.
2. (2018上海) 给定无穷数列{an},若无穷数列{bn}满足:对任意,都有,则称 “接近”。
(1)设{an}是首项为1,公比为的等比数列,,,判断数列是否与接近,并说明理由;
(2)设数列{an}的前四项为:a₁=1,a ₂=2,a ₃=4,=8,{bn}是一个与{an}接近的数列,记集合M={x|x=bi,i=1,2,3,4},求M中元素的个数m;
(3)已知{an}是公差为d的等差数列,若存在数列{bn}满足:{bn}与{an}接近,且在b₂-b₁,b₃-b₂,…b201-b200中至少有100个为正
3.(2018江苏)设是首项为,公差为d的等差数列,是首项为,公比为q的等比数列.
(1)设,若对均成立,求d的取值范围;
(2)若,证明:存在,使得对均成立,并求的取值范围(用表示).
【答案】(1)的取值范围为;
(2)的取值范围为,证明见解析.
【解析】(1)由条件知:,.
因为对,2,3,4均成立,
即对,2,3,4均成立,
即,,,,得.
因此,的取值范围为.
(2)由条件知:,.
若存在,使得(,3,,)成立,
即(,3,,),
即当,3,,时,满足.
因为,则,
从而,,对,3,,均成立.
因此,取时,对,3,,均成立.
下面讨论数列的最大值和数列的最小值
(,3,,).
①当时,,
当时,有,从而.
因此,当时,数列单调递增,
故数列的最大值为.
②设,当时,,
所以单调递减,从而.
当时,,
因此,当时,数列单调递减,
故数列的最小值为.
因此,的取值范围为.
4.(2018浙江)已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1−bn)an}的前n项和为2n2+n.
(Ⅰ)求q的值;
(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式.
答案:(1);(2).
解答:(1)由题可得,,联立两式可得.
所以,可得(另一根,舍去).
(2)由题可得时,,
当时,也满足上式,所以,,
而由(1)可得,所以,
所以,
错位相减得,
所以.
5.(2018天津文)设{an}是等差数列,其前n项和为Sn(n∈N*);{bn}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.
(Ⅰ)求Sn和Tn;
(Ⅱ)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整数n的值.
【答案】(1),;(2)4.
【解析】(1)设等比数列的公比为,由,,可得.
因为,可得,故.所以,.
设等差数列的公差为.由,可得.由,
可得,从而,,故,所以,.
(2)由(1),有,由可得,
整理得,解得(舍),或.所以的值为4.
6.(2018天津理)设是等比数列,公比大于0,其前n项和为,是等差数列. 已知,,,.
(I)求和的通项公式;
(II)设数列的前n项和为,
(i)求;
(ii)证明.
【答案】(1),;(2)①;②证明见解析.
【解析】(1)设等比数列的公比为.由,,
可得因为,可得,故,
设等差数列的公差为,由,可得,
由,可得,从而,,故,
所以数列的通项公式为,数列的通项公式为.
(2)①由(1),有,
故,
②因为,
所以.
7.(2018全国新课标Ⅰ文)已知数列满足,,设.
(1)求;
(2)判断数列是否为等比数列,并说明理由;
(3)求的通项公式.
答案:
(1)
(2) 见解答
(3)
解答:依题意,,,∴,,.
(1) ∵,∴,即,所以为等比数列.
(2) ∵,∴.
8.(2018全国新课标Ⅱ文、理) 记为等差数列的前项和,已知,.
(1)求的通项公式;
(2)求,并求的最小值.
【答案】(1);(2),最小值为.
【解析】(1)设的公差为,由题意得,
由得.所以的通项公式为.
(2)由(1)得,
当时,取得最小值,最小值为.
9.(2018全国新课标Ⅲ文、理)等比数列中,.
(1)求的通项公式;
(2)记为的前项和.若,求.
答案:(1)或;(2).
解答:(1)设数列的公比为,∴,∴.
∴或.
(2)由(1)知,或,
∴或(舍),
∴.
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