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- 2021-05-13 发布
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2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
1.已知集合,,则集合中元素的个数为 ▲ .
【答案】5
【解析】因为,所以该集合元素的个数为5.
2.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为 ▲ .
【答案】6
【解析】这6个数的和为36,故平均数为6.
3.设复数满足(是虚数单位),则的模为 ▲ .
【答案】
While
End While
Print
(第4题)
【解析】设,则,结合条件得解得所以.
4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果为 ▲ .
【答案】7
【解析】 “追踪”循环体(就在图形的一旁标注,这样不容易出错):
于是,输出.
5.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为 ▲ .
【答案】
【解析】从4个球中一次随机地取2个球,有6种取法:(白, 红),(白,黄1),(白,黄2),(红, 黄1),(红, 黄2),(黄1,黄2),其中,两个球不同颜色有5种取法,故所求概率为.(或先求颜色相同的概率为,再用对立事件求)
6.已知向量,,若,则的值为 ▲ .
【答案】
【解析】由,得解得故.
7.不等式的解集为 ▲ .
【答案】
【解析】原不等式即,得,即,得解集为.
8.已知,,则的值为 ▲ .
【答案】3
【解析】.
9.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为 ▲ .
【答案】
【解析】设新的圆锥与圆柱的底面半径都为,原圆锥的体积,,由题意得,解得,即.
10.在平面直角坐标系中,以点为圆心且与直线相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 ▲ .
【答案】
【解析】直线,即,该直线过定点,以点为圆心且与直线相切的所有圆中,最大半径为这两点间的距离,故所求圆的标准方程为.
11.设数列满足,且,则数列前10项的和为 ▲ .
【答案】
【解析】,
,
,
…,
,
将上面各式叠加得(也满足),
所以.
所以数列的前10项和.
12.在平面直角坐标系中,为双曲线右支上的一个动点.若点到直线的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为 ▲ .
【答案】
【解析】双曲线的一条渐近线与已知直线平行,由题意知,所求的最大值,即这两条直线间的距离.
13.已知函数,则方程实根的个数为 ▲ .
【答案】4;
【解析】由,得,即或,问题转化为求函数与的图像交点个数.
图2
先画出的图像和的图像(图1),由图知与的图像有2个交点,与的图像也有2个交点(图2),共4个交点,即方程实根的个数为4.
图1
14.设向量,则的值为 ▲ .
【答案】;
解析:,,,,,,,,,,,,.
于是,,,,,,,,,,,,所以.
15.在中,已知.
(1)求的长;
(2)求的值.
解:(1)在中,由余弦定理得,,所以.
(2)在中,由正弦定理,得,所以.因为是最小边,所以为锐角.所以.
(第16题)
所以 .
16.如图,在直三棱柱中,已知.设的中点为,.
求证:(1)∥平面;
(2).
解:(1)因为三棱柱的侧面均为平行四边形,对角线互相平分,所以是的中点.又为的中点,所以为的中位线,即∥.又平面,平面,所以∥平面.
(2)因为棱柱是直三棱柱,所以平面,平面,所以,.
又,所以为正方形.因为正方形对角线互相垂直平分,所以. ①
因为,且,,所以平面.
因为面,所以. ②
又,所以平面.因为平面,所以.
(第17题)
17.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为,山区边界曲线为,计划修建的公路为.如图所示,为的两个端点,测得点到的距离分别为5千米和40千米,点到的距离分别为20千米和千米.以所在的直线分别为轴,建立平面直角坐标系.假设曲线符合函数(其中为常数)模型.
(1)求的值;
(2)设公路与曲线相切于点,的横坐标为.
①请写出公路长度的函数解析式,并写出其定义域;
②当为何值时,公路的长度最短?求出最短长度.
解:(1)由题意,得点的坐标分别为,.将其分别代入,得
解得
(2)①由(1)知,,则点.设在点处的切线交轴分别于点,
,则切线的方程为,由此得,.
故.
②设,则.令,解得.
当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
所以当时,有极小值,也是最小值,即,此时.
答:当时,公路的长度最短,最短长度为千米.
18.如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且右焦点到左准线的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程;
(第18题)
(2)过的直线与椭圆交于两点,线段的垂直平分线分别交直线和于点,若,求直线的方程.
解:(1)由题意得且,解得,,则,所以椭圆的标准方程为.
(2)①当轴时,,,不合题意;
②当与轴不垂直时,设直线的方程为,设,,将代入,得,则.
因为为的中点,所以,
.
若,则线段的垂直平分线为轴,与左准线平行,不合题意;
从而,故直线的方程为,令,得,
于是,由,得,解得.
于是直线的方程为或.
19.已知函数.
(1)试讨论的单调性;
(2)若 (实数是与无关的常数),当函数有三个不同的零点时,的取值范围恰好是,求的值.
解:(1),由,解得,.
①当时,因为,所以在上单调递增;
②当时,时,;时,,
所以在和上单调递增,在上单调递减;
③当时,时,;时,;
所以在和上单调递增,在上单调递减.
(2)由(1)知,函数的两个极值为,,则函数有三个不同零点等价于,从而或
又,所以当时,或当时,.
设,因为函数有三个不同零点时,的取值范围恰好是,
则在上,且在上均恒成立,
从而因此.
此时,.
因为函数有三个不同零点,所以有两个异于的不等实根,所以,且,解得,
综上.
20.设是各项为正数且公差为的等差数列.
(1)证明:依次构成等比数列;
(2)是否存在,使得依次构成等比数列?并说明理由;
(3)是否存在及正整数,使得依次构成等比数列?并说明理由.
(1)证明:因为是同一个不为0的常数(或证),
所以依次构成等比数列.
(2)解:不存在,理由如下:
令,则分别为.
假设存在,使得依次构成等比数列,
则再令,则化简得将代入式,得,因为,所以,显然不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立.
因此不存在,使得依次构成等比数列.
(3)解:不存在,理由如下:
假设存在及正整数,使得依次构成等比数列,则,且,
分别在两个等式的两边同除以及,并令,
则,且.
将上述两个等式两边取对数,得,且,
化简得,
且,将这两式相除,化简得
. ()
令,
则.
再令,
则.
令,则.
令,则.
由,,知在和上均单调.故只有唯一零点,即方程()只有唯一解,故假设不成立.
(第21题)
所以不存在及正整数,使得依次构成等比数列.
21. A.[选修4-1:几何证明选讲]
如图,在中,,的外接圆⊙的弦交于点.
求证:∽.
证明:因为,所以.又因为,所以.又为公共角,所以∽.
B.[选修4-2:矩阵与变换]
已知,向量是矩阵的属于特征值的一个特征向量,求矩阵以及它的另一个特征值.
解:由已知得,即,即,则解得所以矩阵.
于是矩阵的特征多项式.
所以矩阵的另一个特征值为1.
C.[选修4-4:坐标系与参数方程]
已知圆的极坐标方程为,求圆的半径.
解:以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点,以极轴为轴的正半轴,建立直角坐标系,则,.
原极坐标方程即,
化简,得,即,化为标准方程,所以圆的半径为.
D.[选修4-5:不等式选讲]
解不等式.
(第22题)
解:原不等式可化为或解得或.所以原不等式的解集为.
22.如图,在四棱锥中,已知平面,且四边形为直角梯形,,.
(1)求平面与平面所成二面角的余弦值;
(2)点是线段上的动点,当直线与所成的角最小时,求线段的长.
(第22题)
解: (1)以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,.
因为平面,所以是平面的一个法向量.
因为,,设平面的一个法向量为,则即得可取.设向量的夹角为,所以,
所求二面角的平面角与相等或互补,根据图形可知,所求二面角的平面角为锐角,
所以平面与平面所成二面角的余弦值为.
(2)因为,设,又,则,.
从而.设,
于是(当且仅当时取等号),此时.因为在上是减函数,所以此时直线与所成角取得最小值.又因为,所以.
23. 已知集合,,令表示集合所含元素的个数.
(1)写出的值;
(2)当时,写出的表达式,并用数学归纳法证明.
解:(1)时,,
当时,可以取;当时,可以取;当时,可以取,故.
(2)当时,.
下面用数学归纳法证明:
①当时,,结论成立;
②假设时结论成立,那么时,在的基础上新增加的元素在,,中产生,分以下情形讨论:
若,则,此时有
,结论成立;
若,则,此时有
,结论成立;
若,则,此时有
,结论成立;
若,则,此时有
,结论成立;
若,则,此时有
,结论成立;
若,则,此时有
,结论成立.
综上,结论对满足的自然数均成立.