2015年高考数学江苏卷 10页

  • 1.77 MB
  • 2021-05-13 发布

2015年高考数学江苏卷

  • 10页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)‎ ‎1.已知集合,,则集合中元素的个数为  ▲ .‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】因为,所以该集合元素的个数为5. ‎ ‎2.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为  ▲ .‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】这6个数的和为36,故平均数为6.‎ ‎3.设复数满足(是虚数单位),则的模为  ▲ .‎ ‎【答案】‎ While ‎ End While ‎ Print ‎ ‎(第4题)‎ ‎【解析】设,则,结合条件得解得所以.‎ ‎4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果为  ▲ .‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】 “追踪”循环体(就在图形的一旁标注,这样不容易出错):‎ 于是,输出.‎ ‎5.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为  ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】从4个球中一次随机地取2个球,有6种取法:(白, 红),(白,黄1),(白,黄2),(红, 黄1),(红, 黄2),(黄1,黄2),其中,两个球不同颜色有5种取法,故所求概率为.(或先求颜色相同的概率为,再用对立事件求)‎ ‎6.已知向量,,若,则的值为  ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由,得解得故.‎ ‎7.不等式的解集为  ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】原不等式即,得,即,得解集为.‎ ‎8.已知,,则的值为  ▲ .‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】.‎ ‎9.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为  ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设新的圆锥与圆柱的底面半径都为,原圆锥的体积,,由题意得,解得,即.‎ ‎10.在平面直角坐标系中,以点为圆心且与直线相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为  ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线,即,该直线过定点,以点为圆心且与直线相切的所有圆中,最大半径为这两点间的距离,故所求圆的标准方程为.‎ ‎11.设数列满足,且,则数列前10项的和为  ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎…,‎ ‎,‎ 将上面各式叠加得(也满足),‎ 所以.‎ 所以数列的前10项和.‎ ‎12.在平面直角坐标系中,为双曲线右支上的一个动点.若点到直线的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为  ▲ . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】双曲线的一条渐近线与已知直线平行,由题意知,所求的最大值,即这两条直线间的距离.‎ ‎13.已知函数,则方程实根的个数为  ▲ .‎ ‎【答案】4;‎ ‎【解析】由,得,即或,问题转化为求函数与的图像交点个数.‎ 图2‎ 先画出的图像和的图像(图1),由图知与的图像有2个交点,与的图像也有2个交点(图2),共4个交点,即方程实根的个数为4.‎ 图1‎ ‎14.设向量,则的值为  ▲ .‎ ‎【答案】;‎ 解析:,,,,,,,,,,,,.‎ 于是,,,,,,,,,,,,所以.‎ ‎15.在中,已知.‎ ‎(1)求的长;‎ ‎(2)求的值.‎ 解:(1)在中,由余弦定理得,,所以.‎ ‎(2)在中,由正弦定理,得,所以.因为是最小边,所以为锐角.所以.‎ ‎(第16题)‎ 所以 .‎ ‎16.如图,在直三棱柱中,已知.设的中点为,.‎ 求证:(1)∥平面;‎ ‎(2).‎ 解:(1)因为三棱柱的侧面均为平行四边形,对角线互相平分,所以是的中点.又为的中点,所以为的中位线,即∥.又平面,平面,所以∥平面.‎ ‎(2)因为棱柱是直三棱柱,所以平面,平面,所以,.‎ 又,所以为正方形.因为正方形对角线互相垂直平分,所以. ①‎ 因为,且,,所以平面.‎ 因为面,所以. ②‎ 又,所以平面.因为平面,所以.‎ ‎(第17题)‎ ‎17.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为,山区边界曲线为,计划修建的公路为.如图所示,为的两个端点,测得点到的距离分别为‎5千米和‎40千米,点到的距离分别为‎20千米和千米.以所在的直线分别为轴,建立平面直角坐标系.假设曲线符合函数(其中为常数)模型.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)设公路与曲线相切于点,的横坐标为.‎ ‎ ①请写出公路长度的函数解析式,并写出其定义域;‎ ‎ ②当为何值时,公路的长度最短?求出最短长度.‎ 解:(1)由题意,得点的坐标分别为,.将其分别代入,得 解得 ‎(2)①由(1)知,,则点.设在点处的切线交轴分别于点,‎ ‎,则切线的方程为,由此得,.‎ 故.‎ ‎②设,则.令,解得.‎ 当时,,单调递减;‎ 当时,,单调递增.‎ 所以当时,有极小值,也是最小值,即,此时.‎ 答:当时,公路的长度最短,最短长度为千米.‎ ‎18.如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且右焦点到左准线的距离为3.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(第18题)‎ ‎(2)过的直线与椭圆交于两点,线段的垂直平分线分别交直线和于点,若,求直线的方程.‎ 解:(1)由题意得且,解得,,则,所以椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)①当轴时,,,不合题意;‎ ‎②当与轴不垂直时,设直线的方程为,设,,将代入,得,则.‎ 因为为的中点,所以,‎ ‎.‎ ‎ 若,则线段的垂直平分线为轴,与左准线平行,不合题意;‎ 从而,故直线的方程为,令,得,‎ 于是,由,得,解得.‎ 于是直线的方程为或.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎(1)试讨论的单调性;‎ ‎(2)若 (实数是与无关的常数),当函数有三个不同的零点时,的取值范围恰好是,求的值.‎ 解:(1),由,解得,.‎ ‎①当时,因为,所以在上单调递增;‎ ‎②当时,时,;时,,‎ 所以在和上单调递增,在上单调递减;‎ ‎③当时,时,;时,;‎ 所以在和上单调递增,在上单调递减.‎ ‎(2)由(1)知,函数的两个极值为,,则函数有三个不同零点等价于,从而或 又,所以当时,或当时,.‎ 设,因为函数有三个不同零点时,的取值范围恰好是,‎ 则在上,且在上均恒成立,‎ 从而因此.‎ 此时,.‎ 因为函数有三个不同零点,所以有两个异于的不等实根,所以,且,解得,‎ 综上.‎ ‎20.设是各项为正数且公差为的等差数列.‎ ‎(1)证明:依次构成等比数列;‎ ‎(2)是否存在,使得依次构成等比数列?并说明理由;‎ ‎(3)是否存在及正整数,使得依次构成等比数列?并说明理由.‎ ‎(1)证明:因为是同一个不为0的常数(或证),‎ 所以依次构成等比数列.‎ ‎(2)解:不存在,理由如下:‎ 令,则分别为.‎ 假设存在,使得依次构成等比数列,‎ 则再令,则化简得将代入式,得,因为,所以,显然不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立.‎ 因此不存在,使得依次构成等比数列.‎ ‎(3)解:不存在,理由如下:‎ 假设存在及正整数,使得依次构成等比数列,则,且,‎ 分别在两个等式的两边同除以及,并令,‎ 则,且.‎ 将上述两个等式两边取对数,得,且,‎ 化简得,‎ 且,将这两式相除,化简得 ‎. ()‎ 令,‎ 则.‎ 再令,‎ 则.‎ 令,则.‎ 令,则. ‎ 由,,知在和上均单调.故只有唯一零点,即方程()只有唯一解,故假设不成立.‎ ‎(第21题)‎ 所以不存在及正整数,使得依次构成等比数列.‎ ‎21. A.[选修4-1:几何证明选讲] ‎ 如图,在中,,的外接圆⊙的弦交于点.‎ 求证:∽.‎ 证明:因为,所以.又因为,所以.又为公共角,所以∽.‎ B.[选修4-2:矩阵与变换] ‎ 已知,向量是矩阵的属于特征值的一个特征向量,求矩阵以及它的另一个特征值.‎ 解:由已知得,即,即,则解得所以矩阵.‎ 于是矩阵的特征多项式.‎ 所以矩阵的另一个特征值为1.‎ C.[选修4-4:坐标系与参数方程] ‎ 已知圆的极坐标方程为,求圆的半径.‎ 解:以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点,以极轴为轴的正半轴,建立直角坐标系,则,.‎ 原极坐标方程即,‎ 化简,得,即,化为标准方程,所以圆的半径为.‎ D.[选修4-5:不等式选讲] ‎ 解不等式.‎ ‎(第22题)‎ 解:原不等式可化为或解得或.所以原不等式的解集为.‎ ‎22.如图,在四棱锥中,已知平面,且四边形为直角梯形,,.‎ ‎(1)求平面与平面所成二面角的余弦值;‎ ‎(2)点是线段上的动点,当直线与所成的角最小时,求线段的长.‎ ‎(第22题)‎ 解: (1)以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,.‎ 因为平面,所以是平面的一个法向量.‎ 因为,,设平面的一个法向量为,则即得可取.设向量的夹角为,所以,‎ 所求二面角的平面角与相等或互补,根据图形可知,所求二面角的平面角为锐角,‎ 所以平面与平面所成二面角的余弦值为.‎ ‎(2)因为,设,又,则,.‎ 从而.设,‎ 于是(当且仅当时取等号),此时.因为在上是减函数,所以此时直线与所成角取得最小值.又因为,所以.‎ ‎23. 已知集合,,令表示集合所含元素的个数.‎ ‎(1)写出的值;‎ ‎(2)当时,写出的表达式,并用数学归纳法证明.‎ 解:(1)时,,‎ 当时,可以取;当时,可以取;当时,可以取,故.‎ ‎(2)当时,.‎ 下面用数学归纳法证明:‎ ‎①当时,,结论成立;‎ ‎②假设时结论成立,那么时,在的基础上新增加的元素在,,中产生,分以下情形讨论:‎ ‎ 若,则,此时有 ‎,结论成立;‎ ‎ 若,则,此时有 ‎,结论成立;‎ ‎ 若,则,此时有 ‎,结论成立;‎ ‎ 若,则,此时有 ‎,结论成立;‎ ‎ 若,则,此时有 ‎,结论成立;‎ ‎ 若,则,此时有 ‎,结论成立.‎ 综上,结论对满足的自然数均成立.‎