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- 2021-05-13 发布
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数列的综合应用
【考纲说明】
1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的 和;
2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题;
3 .理解数列作为函数的特性,能够抽象出数列的模型;
【知识梳理】
考点一:通项公式的求解技巧
1. 归纳、猜想数列的通项.
2. 迭代法求一阶递推式的通项公式.
3. 用等差(等比)数列的通项公式求数列的通项公式.
4. 已知数列{an}前n项和Sn,则.
5. 已知an-an-1=f(n)(n³2),则可用叠加法求an.
6. 已知=f(n)(n³2),则可用叠乘法求an.
7. 已知数列{an}前n项之积Tn,一般可求Tn-1,则an=.
8. 已知混合型递推式f(an,Sn)=0,可利用an=Sn-Sn-1(n³2)将关系式转化为只含有an或Sn的递推式,再求an或先间接求出Sn再求出an.
9. 已知数列{an}的递推关系,研究它的特点后,可以通过一系列的恒等变形如:倒数、通分、约分、裂项、等式两边同时乘以或除以同一个式子、因式分解、平方、开方、配方、取对数、辅助数列、待定系数等等构造得出新数列{f(an)}为等差或等比数列.
例如:形如an+1=Aan+f(n)或an+1=Aan+qn,均可以两边同时除以An+1后进行求解,也可以通过待定系数法将其转化为等比数列求解;形如an=的递推数列可以两边同时倒数来求通项.
考点二:数列求和的技巧
一、公式法
1、等差数列的前项和公式
2、等比数列的前项和公式
3、常用几个数列的求和公式
(1)
(2)
(3)
二、 错位相减法
用于求数列的前n项和,其中,分别是等差数列和等比数列。
三、 裂项相消法
适用于{}其中{an}是各项不为0的等差数列。即:=(-),
特别:;.
四、 倒序相加法
推导等差数列的前项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它
与原数列相加,就可以得到个。
五、 分组求和法
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等
差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可。
考点三:数列的综合应用
一、 数列与函数的综合
二、 等差与等比数列的综合
一、 数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合
【经典例题】
【例1】 (2011年高考天津卷理科4)已知为等差数列,其公差为-2,且是与的
等比中项,为的前n项和, ,则的值为
A.-110 B.-90 C.90 D.110
【解析】D
【例2】(2011年高考江西卷理科5)已知数列的前项和满足:,且
,那么 ( )
A. 1 B. 9 C. 10 D. 55
【解析】A
【例3】(2008年江西省高考题)数列{an}的通项公式是an=,若前n项和为10,
则项数为( )
A、11 B、99 C、120 D、121
【解析】C
【例4】(2008安徽)设数列{an}满足a1=a,an+1=can+1-c,n∈N*,其中a,c为实数,c≠0
1. 求数列{an}的通项公式;
2. 设a=,c=,bn=n(1-an),n∈N*,求数列{bn}的前n项和Sn。
【解析】(1)∵an+1-1=c(an-1)
∴当a≠1时,{an-1}是首项为a-1,公比为c的等比数列
∴an-1=(a-1)cn-1,即an=(a-1)cn-1+1
当n=1时,an=a仍满足上式。
∴数列{an}的通项公式为an=(a-1)cn-1+1(n∈N*)
(2)由(1)得bn=n(1-a)cn-1=n()n,
Sn=b1+b2+…+bn=+2()2+…+n()n ①
Sn=()2+2()3+…+(n-1)()n+n()n+1 ②
∴①-②得Sn=+()2+…+()n-n()n+1
∴Sn=1++()2+…+()n-1-n()n=2[1-()n]-n()n
∴Sn=2-(2+n)()n
【例5】(2008浙江省) 已知数列{xn}的首项x1=3,通项xn=2np+nq(n∈N*,p,q为常数),
且x1,x4,x5成等差数列,求:
(1) P,q的值;
(2) 数列{xn}前n项和Sn的公式。
【解析】
(1) 由x1=3,得2p+q=3
又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得3+25p+5q=25p+8q
解得p=1,q=1
(2)Sn=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)=2n+1-2+
【例6】 (2011年福建理16)已知等比数列{an}的公比q=3,前3项和S3=。
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)若函数在处取得最大值,且最大值
为a3,求函数f(x)的解析式。
【解析】(I)由
解得
所以
(II)由(I)可知
因为函数的最大值为3,所以A=3。
因为当时取得最大值,
所以
又
所以函数的解析式为
【例7】(2011年全国新课标卷)等比数列的各项均为正数,且
(1)求数列的通项公式.
(2)设 求数列的前项和.
【解析】(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,由得所以。
由条件可知a>0,故。
由得,所以。
故数列{an}的通项式为an=。
(Ⅱ )
故
所以数列的前n项和为
【例8】(2011年高考浙江卷理科19)已知公差不为0的等差数列的首项 (),设数列的前n项和为,且,,成等比数列(Ⅰ)求数列的通项公式及(Ⅱ)记,,当时,试比较与的大小.
【解析】
(Ⅰ)
则 ,
(Ⅱ)
因为,所以
当时, 即;
所以当时,;当时, .
【课堂练习】
1. (2009江西卷文)公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中
项, ,则等于
A. 18 B. 24 C. 60 D. 90
2.(2010江西理数)等比数列中,,=4,函数,则( )
A. B. C. D.
(1) (2010湖北文数)7.已知等比数列{}中,各项都是正数,且,成等差数
列,则
A. B. C. D
4.(2010福建理数)设等差数列的前n项和为,若,,则当
取最小值时,n等于
A.6 B.7 C.8 D.9
5.(2013年福建(理))已知等比数列的公比为q,记则以下结论一定正确的是( )
A.数列为等差数列,公差为 B.数列为等比数列,公比为
C.数列为等比数列,公比为 D.数列为等比数列,公比为
6.(2013年重庆(理))已知是等差数列,,公差,为其前项和,若成等比数列,则
7.(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD版))已知等比数列是递增数列,是的前项和,若是方程的两个根,则____________.
8、(2009年全国卷)设等差数列{}的前项和为,公比是正数的等比数列{}的前项和为,已知的通项公式。
9、(2011浙江卷)已知公差不为0的等差数列的首项为,且,,成等比数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)对,试比较与的大小.
10、(2010年山东卷)已知等差数列满足:,,的前项和为
(Ⅰ)求及;
(Ⅱ)令(),求数列的前项和为。
11.(2013年湖北卷(理))已知等比数列满足:,.
(I)求数列的通项公式;
(II)是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值;若不存在,说明理由.
12.(2013年山东(理))设等差数列的前n项和为,且,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设数列前n项和为,且 (为常数).令.求数列的前n项和.
【课后作业】
1.(2009重庆卷文)设是公差不为0的等差数列,且成等比数列,则的前项和=( )
A. B. C. D.
2.(2010安徽理数)设是任意等比数列,它的前项和,前项和与前项和分别 为,则下列等式中恒成立的是
A、 B、
C、 D、
3.(2013辽宁)下面是关于公差的等差数列的四个命题:
其中的真命题为
(A) (B) (C) (D)
4.(2013年新课标Ⅱ卷)等差数列的前项和为,已知,则的最
小值为________.
5. 已知(2008年湖北省质检题)求和:Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1)
6. {an}的通项an=lg,求{an}的前n项和Sn。
7.(2013年高考四川卷(理))在等差数列中,,且为和的等比中项,求数列的首项、公差及前项和.
8.(2009辽宁卷)等比数列{}的前n 项和为,已知,,成等差数列
(1)求{}的公比q;
(2)求-=3,求
9.(2010重庆文数)(16)(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分. )
已知是首项为19,公差为-2的等差数列,为的前项和.
(Ⅰ)求通项及;
(Ⅱ)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列的通项公式及其前项和.
10.若函数对任意都有。
(1),数列是等差数列吗?是证明你的结论;
(2)求数列的的前项和。
【参考答案】
【课堂练习】
1、C 2、C 3、C 4、A 5、C 6、64 7、63
8、解: 设的公差为,的公比为
由得 ①
由得 ②
由①②及解得
故所求的通项公式为
9、解:设等差数列的公差为,由题意可知
即,从而 因为
故通项公式
(Ⅱ)解:记
所以
从而,当时,;当
10、解:(Ⅰ)设等差数列的首项为,公差为,
由于,,所以,,
解得,,由于, ,
所以,
(Ⅱ)因为,所以
因此
故
所以数列的前项和
11、解:(I)由已知条件得:,又,,
所以数列的通项或
(II)若,,不存在这样的正整数;
若,,不存在这样的正整数.
12、解:(Ⅰ)设等差数列的首项为,公差为,
由,得 ,
解得,, 因此
(Ⅱ)由题意知:
所以时, 故,
所以,
则
两式相减得
整理得
所以数列数列的前n项和
【课后作业】
1、 A 2、D 3、D 4、-49 5、当n为偶数时,Sn=n;当n为奇数时,Sn=-n
6、∵an=lg=lg(n+1)-lgn
∴Sn=(lg2-lg1)+(lg3-lg2)+…+(lg(n+1)-lgn)=lg(n+1)-lg1=lg(n+1)
7、解:设该数列公差为,前项和为.由已知,可得
. 所以,
解得,或,即数列的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.
所以数列的前项和或
8、解:(Ⅰ)依题意有
由于 ,故
又,从而
(Ⅱ)由已知可得
故
9、
10.解:(1)、(倒序相加)
则,由条件:对任意都有。
从而:数列是的等差数列。
(2)、
=
=
故:=