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- 2021-05-13 发布
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2011年上海高考数学试卷(理)
一、填空题(每小题4分,满分56分)
1.函数的反函数为 .
2. 若全集,集合,则 .
3.设m是常数,若点F(0,5)是双曲线的一个焦点,则m= .
4.不等式的解为 .
5.在极坐标系中,直线与直线的夹角大小为 .(结果用反三角函数值表示)
6.在相距2千米的A、B两点处测量目标点C,若,则A、C两点之间的距离为 千米.
7.若圆锥的侧面积为,底面面积为,则该圆锥的体积为 .
8.函数的最大值为 .
9.马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表:
1
2
3
?
!
?
请小牛同学计算的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案= .
10.行列式所有可能的值中,最大的是 .
11.在正三角行ABC中,D是BC上的点.若AB=3,BD=1,则 .
12.随机抽取的9位同学中,至少有2位同学在同一月份出生的概率为 (默认每个月的天数相同,结果精确到0.001).
13. 设是定义在上,以1为周期的函数,若函数在区间
上的值域为,则在区间上的值域为 .
14.已知点O(0,0)、Q0(0,1)和点R0(3,1),记Q0R0的中点为P1,取Q0P1和P1R0中的一条,记其端点为Q1、R1,使之满足,记Q1R1的中点为P2,取Q1P2和P2R1中的一条,记其端点为Q2、R2,使之满足.依次下去,得到,则 .
二、选择题(每小题5分,满分20分)
15. 若,且,则下列不等式中,恒成立的是( )
(A). (B). (C). (D).
16.下列函数中,既是偶函数,又是在区间上单调递减的函数是( )
(A). (B). (C). (D).
17. 设是平面上给定的5个不同点,则使成立的点的个数为( )
(A). (B)1. (C)5. (D)10.
18.设是各项为正数的无穷数列,是边长为的矩形的面积(),则为等比数列的充要条件是( )
(A)是等比数列.
(B)或是等比数列.
(C)和均是等比数列.
(D)和均是等比数列,且公比相同.
三、解答题(本大题满分74分)
19.(本大题满分12分)
已知复数满足(为虚数单位),复数的虚部为2,且
是实数,求.
20.(本大题满分12分,第1小题满分4分,第二小题满分8分)
已知函数,其中常数满足
(1)若,判断函数的单调性;
(2)若,求时的的取值范围.
21. (本大题满分14分,第1小题满分6分,第二小题满分8分)
已知是底面边长为1的正四棱柱,为与的交点.
(1)设与底面所成角的大小为,二面角的大小为.求证:;
(2)若点C到平面AB1D1的距离为,求正四棱柱的高.
22.(本大题满分18分,第1小题满分4分,第二小题满分6分,第3小题满分8分)[来源:学_科_网]
已知数列和的通项公式分别为,(.将集合中的元素从小到大依次排列,构成数列
(1)写出;
(2)求证:在数列中,但不在数列中的项恰为;
(3)求数列的通项公式.
23.(本大题满分18分,第1小题满分4分,第二小题满分6分,第3小题满分8分)
已知平面上的线段及点,任取上一点,线段长度的最小值称为点
到线段的距离,记作
(1)求点到线段的距离;
(2)设是长为2的线段,求点的集合所表示的图形面积;
(3)写出到两条线段距离相等的点的集合,其中,是下列三组点中的一组.
对于下列三种情形,只需选做一种,满分分别是①2分,②6分,③8分;若选择了多于一种情形,则按照序号较小的解答计分.
①.
②.
③.
2011年上海高考数学试题(理科)答案
一、填空题
1、;2、;3、;4、或;5、;6、;7、;
8、;9、;10、;11、;12、;13、;14、。
二、选择题
15、;16、;17、;18、。
三、解答题
19、解: ………………(4分)
设,则,………………(12分)
∵ ,∴ ………………(12分)
20、解:⑴ 当时,任意,则
∵ ,,
∴ ,函数在上是增函数。
当时,同理,函数在上是减函数。
⑵
当时,,则;
当时,,则。
21、解:设正四棱柱的高为。
⑴ 连,底面于,∴ 与底面所成的角为,即
∵ ,为中点,∴,又,
∴ 是二面角的平面角,即
∴ ,。
⑵ 建立如图空间直角坐标系,有
设平面的一个法向量为,
∵ ,取得
∴ 点到平面的距离为,则。
22、⑴ ;
⑵ ① 任意,设,则,即
② 假设(矛盾),∴
∴ 在数列中、但不在数列中的项恰为。
⑶ ,
,,
∵
∴ 当时,依次有,……
∴ 。
23、解:⑴ 设是线段上一点,则
,当时,。
⑵ 设线段的端点分别为,以直线为轴,的中点为原点建立直角坐标系,
则,点集由如下曲线围成
,
其面积为。
⑶ ① 选择,
② 选择。
③ 选择。