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- 2021-05-13 发布
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2011年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)
理 科 数 学
第Ⅰ卷
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
否
是
开始
k0,故. 由得,所以. 故数列{an}的通项式为.
(Ⅱ ),故,,所以数列的前n项和为.
18.解析:(Ⅰ)因为,由余弦定理得,从而BD2+AD2= AB2,故BDAD,又PD底面ABCD,可得BDPD,所以BD平面PAD,故 PABD.
(Ⅱ)如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz,则,,,. , ,设平面PAB的法向量为n=(x, y, z),则,即 ,因此可取,设平面PBC的法向量为m,则,可取,,故二面角A-PB-C的余弦值为.
19.解析:(Ⅰ)由试验结果知,用A配方生产的产品中优质的平率为,所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3 . 由试验结果知,用B配方生产的产品中优质品的频率为,所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42 .
(Ⅱ)用B配方生产的100件产品中,其质量指标值落入区间[90, 94), [94, 102), [102, 110]的频率分别为0.04,0.54,0.42,因此 P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,
P(X=4)=0.42, 即X的分布列为
X
-2
2
4
P
0.04
0.54
0.42
X的数学期望值E(X)=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 .
20.解析:(Ⅰ)设M(x, y),由已知得B(x, -3),A(0, -1). 所以, ,. 再由题意可知,即. 所以曲线C的方程式为.
(Ⅱ)设P(x0, y0)为曲线C:上一点,因为,所以l的斜率为,因此直线l的方程为,即. 则O点到l的距离. 又,所以,当=0时取等号,所以O点到l距离的最小值为2.
21.解析:(Ⅰ)由于直线的斜率为,且过点,故,即,解得,.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以.考虑函数,则.
(i)设,由知,当时,. 而,故当时,,可得;当x(1,+)时,h(x)<0,可得,从而当x>0,且x1时,,即
.
(ii)设00,故h´(x)>0,而h(1)=0,故当x(1,)时,h(x)>0,可得 h(x)<0,与题设矛盾.
(iii)设k1. 此时h´(x)>0,而h(1)=0,故当x(1,+)时,h(x)>0,可得h(x)<0,与题设矛盾.
综上可得,k的取值范围为(-,0].
22.解析:(Ⅰ)连结DE,根据题意在△ADE和△ACB中,AD×AB=mn=AE×AC,即,又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB,因此∠ADE=∠ACB,所以C、B、D、E四点共圆.
(Ⅱ)m=4,n=6,方程x2-14x+mn=0的两根为2,12. 即AD=2,AB=12,取CE的中点G,DB的中点F,分别过G、F作AC、AB的垂线,两垂线交于点H,连结D、H,因为C、B、D、E四点共圆,所以圆心为H,半径为DH. 由于∠A=90º,故GH∥AB,HF∥AC. 从而HF=AG=5,DF=5,故半径为.
23.解析:(I)设P(x, y),则由条件知. 由于M点在C1上,所以,即,从而C2的参数方程为(为参数).
(Ⅱ)曲线C1的极坐标方程为,曲线C2的极坐标方程为. 射线与C1的交点A的极径为,射线与C2的交点B的极径为. 所以.
24.解析:(Ⅰ)当时,可化为. 由此可得或. 故不等式的解集为或.
(Ⅱ)由 得,此不等式化为不等式组或
,即或,因为,所以不等式组的解集为,由题设可得,故.