高考数学压轴题教师版文 28页

‎2018年高考数学30道压轴题训练(教师版)‎ ‎1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点（）的准线与x轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于、两点。‎ ‎ （1）求椭圆的方程及离心率；‎ ‎（2）若，求直线的方程；‎ ‎1．（1）解：由题意，可设椭圆的方程为。‎ ‎ 由已知得解得 所以椭圆的方程为，离心率。‎ ‎（2）解：由（1）可得A（3，0）。‎ 设直线PQ的方程为。由方程组 得，依题意，得。‎ 设，则， ① 。 ②‎ 由直线PQ的方程得。于是 ‎。 ③‎ ‎∵，∴。 ④‎ 由①②③④得，从而。‎ 所以直线PQ的方程为或 ‎2．已知函数对任意实数x都有，且当时，‎ ‎。‎ （1） 时，求的表达式。‎ （2） 证明是偶函数。‎ （3） 试问方程是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。‎ ‎2．①f(x)= (2k≦x≦2k+2, k∈Z) ②略 ⑶方程在[1，4]上有4个实根 ‎3．如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：。‎ （1） 若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；‎ （2） 过点F的直线g交轨迹E于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x1x2 为定值；‎ （3） 过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值。‎ ‎3．①x2=4y ②x1x2=-4 ⑶P(±2,1) SMIN=‎ ‎4．以椭圆＝1（a＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，‎ 试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.‎ ‎4．解：因a＞1，不防设短轴一端点为B（0，1） 设BC∶y＝kx＋1（k＞0） 则AB∶y＝－x＋1 ‎ 把BC方程代入椭圆， 是（1＋a2k2）x2＋2a2kx＝0 ‎∴|BC|＝，同理|AB|＝‎ 由|AB|＝|BC|，得k3－a2k2＋ka2－1＝0 ‎（k－1）［k2＋（1－a2）k＋1］＝0 ‎ ‎∴k＝1或k2＋（1－a2）k＋1＝0 当k2＋（1－a2）k＋1＝0时，Δ＝（a2－1）2－4 由Δ＜0，得1＜a＜‎ 由Δ＝0，得a＝，此时，k＝1‎ 故，由Δ≤0，即1＜a≤时有一解 由Δ＞0即a＞时有三解 ‎ ‎5．已知，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c及一次函数g（x）＝－bx，其中a、b、c∈R，a＞b＞c，a＋b＋c＝0.‎ ‎（Ⅰ）求证：f（x）及g（x）两函数图象相交于相异两点； ‎（Ⅱ）设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A1B1时，试求|A1B1|的取值范围.‎ ‎5． 解：依题意，知a、b≠0 ‎∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0 ‎∴a＞0且c＜0 ‎ ‎（Ⅰ）令f（x）＝g（x）， 得ax2＋2bx＋c＝0.（*） Δ＝4（b2－ac）‎ ‎∵a＞0，c＜0，∴ac＜0，∴Δ＞0 ‎∴f（x）、g（x）相交于相异两点  ‎（Ⅱ）设x1、x2为交点A、B之横坐标 则|A1B1|2＝|x1－x2|2，由方程（*），知 ‎|A1B1|2＝ ‎ ‎ ‎ ‎∵，而a＞0，∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴4［（）2＋＋1］∈（3，12） ‎∴|A1B1|∈（，2） ‎ ‎6． 已知过函数f（x）=的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3。‎ （1） 求a、b的值；‎ （2） 求A的取值范围，使不等式f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立；‎ （3） 令。是否存在一个实数t，使得当时，g（x）有最大值1？ ‎ ‎6、解：（1）=‎ 依题意得k==3+2a=－3， ∴a=－3‎ ‎，把B（1，b）代入得b=‎ ‎∴a=－3，b=－1‎ ‎（2）令=3x2－6x=0得x=0或x=2‎ ‎∵f（0）=1，f（2）=23－3×22＋1=－3‎ f（－1）=－3，f（4）=17‎ ‎∴x∈[－1，4]，－3≤f（x）≤17‎ 要使f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立，则f（x）的最大值17≤A－1987‎ ‎∴A≥2004。‎ （1） 已知g（x）=－‎ ‎∴‎ ‎∵0＜x≤1，∴－3≤－3x2＜0，‎ ① 当t＞3时，t－3x2＞0，‎ ‎∴g（x）在上为增函数，‎ g（x）的最大值g（1）=t－1=1,得t=2（不合题意,舍去）‎ ① 当0≤t≤3时, ‎ 令=0,得x=‎ 列表如下:‎ x ‎（0, ）‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ g（x）‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ g（x）在x=处取最大值－＋t=1‎ ‎∴t==＜3‎ ‎∴x=＜1‎ ‎③当t＜0时，＜0，∴g（x）在上为减函数，‎ ‎∴g（x）在上为增函数，‎ ‎∴存在一个a=，使g（x）在上有最大值1。‎ ‎7． 已知两点M（－2，0），N（2，0），动点P在y轴上的射影为H，︱︱是2和 的等比中项。‎ （1） 求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；‎ （2） 若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程。‎ ‎7、解:（1）设动点的坐标为P（x,y）,则H（0,y）,,=（－2－x,－y）‎ ‎=（2－x,－y）‎ ‎∴·=（－2－x,－y）·（2－x,－y）=‎ 由题意得∣PH∣2=2··‎ 即 即，所求点P的轨迹为椭圆 ‎（2）由已知求得N（2，0）关于直线x+y=1的对称点E（1，－1），则∣QE∣=∣QN∣‎ 双曲线的C实轴长2a=（当且仅当Q、E、M共线时取“=”），此时，实轴长2a最大为 所以，双曲线C的实半轴长a=‎ 又 ‎∴双曲线C的方程式为 ‎8．已知数列{an}满足 ‎ （1）求数列{bn}的通项公式；‎ ‎ （2）设数列{bn}的前项和为Sn，试比较Sn与的大小，并证明你的结论.‎ ‎8.（1）‎ ‎ （2）‎ ‎9．已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线对称．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线经过M（-2，0）及AB的中点，求直线在轴上的截距b的取值范围； ‎ ‎（Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点，为双曲线C的左，右两个焦点，从引的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．‎ ‎9．解：（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0‎ ‎∵该直线与圆相切，‎ ‎∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．…………………………………………2分 故设双曲线C的方程为．‎ 又双曲线C的一个焦点为 ‎ ‎∴，．‎ ‎∴双曲线C的方程为．………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）由得．‎ 令 直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在上有两个不等实根．‎ 因此　 解得．‎ 又AB中点为，‎ ‎∴直线l的方程为．………………………………6分 令x=0，得．‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴．………………………………………………8分 ‎（Ⅲ）若Q在双曲线的右支上，则延长到T，使，‎ 若Q在双曲线的左支上，则在上取一点T，使．‎ 根据双曲线的定义，所以点T在以为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是 ‎　　 ①…………………………………………10分 由于点N是线段的中点，设，．‎ 则，即．‎ 代入①并整理得点N的轨迹方程为．………………12分 ‎10．对任意都有 ‎（Ⅰ）求和的值．‎ ‎（Ⅱ）数列满足：=+，数列 是等差数列吗？请给予证明；‎ 试比较与的大小．‎ ‎10 解：（Ⅰ）因为．所以．……2分 令，得，即．……………4分 ‎（Ⅱ）‎ 又………………5分 两式相加 ‎．‎ 所以，………………7分 又．故数列是等差数列．………………9分 ‎（Ⅲ）‎ ‎………………10分 ‎………………12分 所以……………………………………………………………………14分 ‎11．如图，设OA、OB是过抛物线y2＝2px顶点O的两条弦，且＝0，求以OA、OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹.‎ ‎11．设直线OA的斜率为k，显然k存在且不等于0 则OA的方程为y＝kx 由解得A() ……4分 又由，知OA⊥OB，所以OB的方程为y＝－x 由解得B(2pk2，－2pk) ……4分 从而OA的中点为A'()，OB的中点为B'(pk2，－pk) ……6分 所以，以OA、OB为直径的圆的方程分别为 x2＋y2－＝0 ……① x2＋y2－2pk2x＋2pky＝0 ……② ……10分 ∵P(x，y)是异于O点的两圆交点，所以x≠0，y≠0 由①－②并化简得y＝(k－)x ……③ 将③代入①，并化简得x(k2＋－1)＝2p ……④ 由③④消去k，有x2＋y2－2px＝0 ∴点P 的轨迹为以(p，0)为圆心，p为半径的圆(除去原点). ……13分 ‎12.知函数f(x)＝log3(x2－2mx＋‎2m2‎＋)的定义域为R (1)求实数m的取值集合M； (2)求证：对m∈M所确定的所有函数f(x)中，其函数值最小的一个是2，并求使函数值等于2的m的值和x的值.‎ ‎12．(1)由题意，有x2－2mx＋‎2m2‎＋＞0对任意的x∈R恒成立 所以△＝‎4m2‎－4(‎2m2‎＋)＜0 即－m2－＜0 ∴＞0 由于分子恒大于0，只需m2－3＞0即可 所以m＜－或m＞ ∴M＝{m|m＜－或m＞} ……4分 (2)x2－2mx＋‎2m2‎＋＝(x－m)2＋m2＋≥m2＋ 当且仅当x＝m时等号成立. 所以，题设对数函数的真数的最小值为m2＋ ……7分 又因为以3为底的对数函数为增函数 ∴f(x)≥log3(m2＋) ∴当且仅当x＝m(m∈M)时，f(x)有最小值为log3(m2＋) ……10分 又当m∈M时，m2－3＞0 ∴m2＋＝m2－3＋＋3≥2＋3＝9 当且仅当m2－3＝，即m＝±时， log3(m2＋)有最小值log3(6＋)＝log39＝2 ∴当x＝m＝±时，其函数有最小值2.‎ ‎13.设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为函数f(x)=‎ ‎ (1) ．求f(的值。‎ ‎ （2）．证明：f(x)在[上是增函数。‎ ‎ （3）．对任意正数x1、x2,求证：‎ ‎13．解析：（1）．由根与系数的关系得，‎ ‎ ‎ ‎ 同法得f(‎ ‎ (2).证明：f/(x)=而当x时，‎ ‎ 2x2-tx-2=2(x-故当x时, f/(x)≥0,‎ ‎ 函数f(x)在[上是增函数。‎ ‎ （3）。证明：‎ ‎ , 同理.‎ ‎ ‎ ‎ 又f(两式相加得:‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 而由（1），f( 且f(,‎ ‎ .‎ ‎14．已知数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项的和.对于任意的，都有.‎ I、求数列的通项公式.‎ II、若对于任意的恒成立，求实数的最大值.‎ ‎14．(I)当 时,,‎ ‎,又{an}各项均为正数,.数列是等差数列, ‎ ‎(II) ,若对于任意的恒成立,则.令,.当时,.又，. 的最大值是.‎ ‎15.已知点H（－3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足·=0，=－，‎ ‎（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；‎ ‎（2）过点T（－1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（x0,0），使得△ABE为等边三角形，求x0的值.‎ ‎15.（1）设点M的坐标为(x,y)，由=－,得P(0,－),Q(,0), 2分 由·=0，得（3，－）(x,)=0,又得y2=4x, 5分 由点Q在x轴的正半轴上，得x＞0,‎ 所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点.‎ ‎（2）设直线l:y=k(x+1),其中k≠0,代入y2=4x,得k2x2+2(k2－2)x+k2=0,① 7分 设A（x1,y1）,B(x2,y2),‎ 则x1,x2是方程①的两个实根，∴x1+x2=－,x1x2=1,‎ 所以，线段AB的中点坐标为(,), 8分 线段AB的垂直平分线方程为y－=－(x－), 9分 令y=0,x0=+1,所以点E的坐标为(+1,0)‎ 因为△ABE为正三角形，所以点E（+1,0）到直线AB的距离等于｜AB｜,‎ 而｜AB｜==·, 10分 所以，=, 11分 解得k=±,得x0=. 12分 ‎16.设f1(x)=,定义fn+1 (x)=f1［fn(x)］,an=,其中n∈N*.‎ (1) 求数列｛an｝的通项公式；‎ ‎16.（1）f1(0)=2,a1==,fn+1(0)=f1［fn(0)］=,‎ an+1====－=－an, 4分 ‎∴数列｛an｝是首项为,公比为－的等比数列，∴an=(－)n－1. 6分 ‎17． 已知=（x,0），=（1，y），（+）（–）．‎ ‎（I） 求点（x，y）的轨迹C的方程；‎ ‎（II） 若直线L：y=kx+m(m0)与曲线C交于A、B两点，D（0，–1），且有|AD|=|BD|，试求m的取值范围．‎ ‎17．解（I）+=（x,0）+(1,y)=(x+, y),‎ ‎–=（x, 0）(1,y)= (x,– y).(+)(), ‎ ‎ (+)·()=0, (x+)( x)+y·(y)=0, ‎ 故P点的轨迹方程为．　　　　　　　（６分）‎ ‎（II）考虑方程组 消去y，得（1–3k2）x2-6kmx-3m2-3=0 (*)‎ 显然1-3k20, =(6km)2-4(1-3k2)( -3m2-3)=12(m2+1-3k2)>0.‎ 设x1,x2为方程*的两根，则x1+x2=，x0=, y0=kx0+m=,‎ 故AB中点M的坐标为（，）,‎ 线段AB的垂直平分线方程为y=（）,‎ 将D（0，–1）坐标代入，化简得 4m=3k21,‎ 故m、k满足 消去k2得 m24m>0, 解得 m<0或m>4.‎ 又4m=3k21>1, 故m(,0)(4,+)．　　（１２分）‎ ‎18．已知函数对任意实数p、q都满足 ‎ （1）当时，求的表达式；‎ ‎ （2）设求证：‎ ‎ （3）设试比较与6的大小．‎ ‎18．(1)解　由已知得 ‎．　　　(4分)‎ ‎(2)证明　　由(1)可　知　设 则 ‎ ．‎ 两式相减得+…+‎ ‎ ． （9分）‎ ‎（3）解　由（1）可知 则 =　　‎ 故有 =6． （１４分）‎ ‎19．已知函数若数列：…，‎ 成等差数列.‎ ‎ （1）求数列的通项；‎ ‎ （2）若的前n项和为Sn，求；‎ ‎ （3）若，对任意,求实数t的取值范围.‎ ‎19．（1）‎ ‎ （2）‎ ‎ （3）‎ 为递增数列 中最小项为 ‎20．已知△OFQ的面积为 ‎ （1）设正切值的取值范围；‎ ‎ （2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），，‎ 当取得最小值时，求此双曲线的方程.‎ ‎ （3）设F1为（2）中所求双曲线的左焦点，若A、B分别为此双曲线渐近线l1、l2上的动点，且2|AB|=5|F‎1F|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.‎ ‎20．（1） ‎ ‎ （2）设所求的双曲线方程为 ‎ 由 当且仅当c=4时，最小，此时Q的坐标为 所求方程为 ‎ （3）设 的方程为的方程为 则有①‎ ‎ ② ‎ ‎ ③ 设由①②得 ‎ ，‎ 代入③得 的轨迹为焦点在y轴上的椭圆.‎ ‎21、已知函数是偶函数，是奇函数，正数数列满足 ① 求的通项公式；‎ ‎②若的前项和为，求.‎ ‎21、解：（1）为偶函数　 　　‎ 为奇函数 　 　 ‎ ‎　 ‎ 是以为首项，公比为的等比数列. ‎ ‎（2） ‎ ‎22．直角梯形ABCD中∠DAB＝90°，AD∥BC，AB＝2，AD＝，BC＝．椭圆C以A、 ‎ B为焦点且经过点D．‎ ‎（1）建立适当坐标系，求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若点E满足，问是否存在不平行AB的直线l与椭圆C交于M、N两点且，若存在，求出直线l与AB夹角的范围，若不存在，说明理由．‎ ‎22、解析：（1）如图，以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，A（-1，0），B（1，0）‎ ‎　　设椭圆方程为：‎ ‎　　令　∴‎ ‎　　∴　椭圆C的方程是：‎ ‎　‎ ‎　　（2），，l⊥AB时不符，‎ ‎　　设l：y＝kx＋m（k≠0）‎ ‎　　由　‎ ‎　　M、N存在D ‎　　设M（，），N（，），MN的中点F（，）‎ ‎　　∴　，‎ ‎　　‎ ‎∴　∴ ∴ ∴且 ‎　　∴　l与AB的夹角的范围是，．‎ ‎23．设函数 ‎ （1）求证：对一切为定值；‎ ‎ （2）记求数列的通项公式及前n项和.‎ ‎23、（1）‎ ‎ ‎ ‎24. 已知函数是定义在R上的偶函数.当X0时, =.‎ (I) 求当X<0时, 的解析式;‎ (II) 试确定函数= (X0)在的单调性，并证明你的结论.‎ (III) 若且，证明：|－|<2.‎ ‎24、（1）当X<0时, （3分）‎ ‎（2）函数= (X0)在是增函数；（证明略） （9分）‎ ‎（3）因为函数= (X0)在是增函数，由x得；‎ 又因为，所以，所以；‎ 因为，所以，且，即，‎ 所以，-2≤f(x1) – f(x2) ≤2即|－|<2. （14分）‎ ‎25.已知抛物线的准线与轴交于点，过作直线与抛物线交于A、B两点，若线段AB的垂直平分线与X轴交于D(,0)‎ ‎⑴求的取值范围。‎ ‎⑵△ABD能否是正三角形？若能求出的值，若不能，说明理由。‎ ‎25、解：⑴由题意易得M(-1,0)‎ 设过点M的直线方程为代入得 ‎………………………………………（１）‎ 再设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）‎ 则ｘ１＋x2=，ｘ１·x2=１‎ y１＋y2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(ｘ１＋x2)+2k=‎ ‎∴ＡＢ的中点坐标为（）‎ 那么线段ＡＢ的垂直平分线方程为，令得 ‎，即 又方程（１）中△＝‎ ‎⑵若△ABD是正三角形，则需点D到AB的距离等于 点到AB的距离d=‎ 据得：‎ ‎∴，∴，满足 ‎∴△ABD可以为正△，此时 ‎26、已知□ABCD，A（-2，0），B（2，0），且∣AD∣=2‎ ‎⑴求□ABCD对角线交点E的轨迹方程。‎ ‎⑵过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，且∣MN∣=，MN的中点到Y轴的距离为，求椭圆的方程。‎ ‎⑶与E点轨迹相切的直线l交椭圆于P、Q两点，求∣PQ∣的最大值及此时l的方程。‎ Y D C ‎ E A O B X ‎26、解：⑴设E（x，y），D（x0，y0）‎ ‎∵ABCD是平行四边形，∴，‎ ‎∴（4，0）+（x0+2，y0）=2（x+2，y）∴（x0+6，y0）=(2x+4，2y)‎ ‎∴‎ 又 即：‎ ‎∴□ABCD对角线交点E的轨迹方程为 ‎⑵设过A的直线方程为 以A、B为焦点的椭圆的焦距2C=4，则C=2‎ 设椭圆方程为 ， 即…………………（*）‎ 将代入（*）得 ‎ 即 ‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2）则 ‎∵MN中点到Y轴的距离为，且MN过点A，而点A在Y轴的左侧，∴MN中点也在Y轴的左侧。‎ ‎∴，∴‎ ‎∴‎ ‎∵ ∴‎ ‎∴ 即 ‎ ‎∴ ∴‎ ‎∴ ， ‎ ‎ ，∵ ，∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴所求椭圆方程为 ‎⑶由⑴可知点E的轨迹是圆 设是圆上的任一点，则过点的切线方程是 ‎①当时，代入椭圆方程得：‎ ‎ ，又 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎=‎ 令 则 ， ∵‎ ‎∴当t=15时， 取最大值为15 ，的最大值为。‎ 此时 ，∴直线l的方程为 ‎②当时，容易求得 故：所求的最大值为，此时l的方程为 ‎27．已知椭圆，直线l过点A（－a，0）和点B（a，ta）‎ ‎ （t＞0）交椭圆于M.直线MO交椭圆于N.‎ ‎（1）用a，t表示△AMN的面积S；‎ ‎ （2）若t∈[1，2]，a为定值，求S的最大值.‎ ‎27．解（1）易得l的方程为…1分 由，得（a2t2+4）y2－4aty=0‎ 解得y=0或 即点M的纵坐标………………4分 S=S△AMN=2S△AOM=|OA|·yM=…7分 ‎ ‎（2）由（1）得， ‎ 令…………9分 由 当时，…10分 若1≤a≤2，则，故当时，Smax=a 若a＞2，则在[1，2]上递增，进而S(t)为减函数. ∴当t=1时,13分 综上可得…………14分 ‎28．已知函数 的图象过原点，且关于点成中心对称.‎ ‎ （1）求函数的解析式；‎ ‎ （2）若数列满足： ，求数列的通项公式，并证明你的结论.‎ ‎28. (1) ∵函数f(x)= 的图象过原点，即f(0)=0，∴c =0，∴f(x)= .‎ 又函数f(x)= = b - 的图象关于点（-1，1）成中心对称，∴a=1，b=1，∴f(x)= .(2)由题意有an+1=[ ]2，即 = ，即 = +1，∴ - =1.‎ ‎∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列. ∴ =1+(n-1)=n，即 = ，∴an= .∴a2= ，a3= ，a4= ，an= .‎ ‎29．已知点集其中点列在中，为与轴的交点，等差数列的公差为1，。‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）若求；‎ ‎29、解：（1）由，得 …………2分 ‎，则 ‎ …………4分 ‎（2）当时，，‎ ‎ …………6分 ‎ …………8分 ‎（3）假设存在符合条件的使命题成立 当是偶数时，是奇数，则 由得 …………11分 当是奇数时，是偶数，则 由得无解 综上存在，使得 …………14分 ‎30．经过抛物线的焦点F的直线与该抛物线交于、两点. ‎ ‎（1）若线段的中点为,直线的斜率为,试求点的坐标,并求点的轨迹方程.‎ ‎（2）若直线的斜率,且点到直线的距离为,试确定的取值范围.‎ ‎30.解：（1）设，，直线AB的方程为：‎ 把代入得：‎ ‎∴∴‎ ‎∴∴点M的坐标为；‎ 消去可得点M的轨迹方程为：；‎ ‎（2）∵‎ ‎∴∴∴‎ ‎∵∴，∴∴‎ ‎∴或∴或 ‎∴∴的取值范围为。‎