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  • 2021-05-13 发布

高考理课数学试题重庆卷

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绝密 * 启用前 ‎2006年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)‎ 数学试题卷(理工农医类)‎ 数学试题(理工农医类)共5页,满分150分。考试时间120分钟。‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。‎ ‎2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。‎ ‎3.答非选择题时,必须使0.5毫米黑色墨水签字笔,将答案书写在答题止规定的位置上。 ‎ ‎  4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 ‎ ‎  5.考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回。‎ ‎  参考公式:‎ 如果事件A、B互斥,那么P(A+B)-P(A)+P(B) .       ‎ 如果事件A、B相互独立,那么P(A·B)-P(A)·P(B)        ‎ 如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立事件重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CknPk(1-P)n-k ‎ 一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎(1)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(uA)∪(uB)=‎ ‎(A){1,6} (B){4,5}‎ ‎(C){1,2,3,4,5,7} (D){1,2,3,6,7}‎ ‎ (2)在等差数列{an}中,若aa+ab=12,SN是数列{an}的前n项和,则SN的值为 ‎(A)48 (B)54 (C)60 (D)66‎ ‎(3)过坐标原点且与x2|y2 4x|2y+=0相切的直线的方程为 ‎(A)y=-3x或y=x (B) y=-3x或y=-x ‎ ‎(C)y=-3x或y=-x (B) y=3x或y=x ‎ ‎(4)对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直线m,使m与l ‎(A)平行              (B)相交 ‎(C)垂直 (D)互为异面直线 ‎(5)若 n的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为 ‎(A)-540 (B)‎ ‎(c)162 (D)540‎ ‎(6)为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区100名年龄为17.5岁-18岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下:‎ 根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是 ‎(A)20 (B)30‎ ‎(C)40 (D)50‎ ‎(7)与向量a=的夹解相等,且模为1的向量是 ‎(A) (B) 或 ‎(C) (D)或 ‎(8)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有 ‎(A)30种            (B)90种 ‎(C)180种           (D)270种 ‎(9)如图所示,单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB 所围成的弓形面积的2倍,则函数y=f(x)的图象是    ‎ 题 (9)图 ‎      ‎ ‎(10)若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为 ‎(A)-1 (B) +1‎ ‎(C) 2+2 (D) 2-2‎ 一、 填空题:本大题共6小题,共24分,把答案填写在答题卡相应位置上 ‎(11)复数复数的值是_________.‎ ‎ (12)_________.‎ ‎(13)已知,sin()=- sin则os=________.‎ ‎(14)在数列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项an=_________.‎ ‎(15)设a>0,n1,函数f(x)=alg(x2-2n+1) 有最大值.则不等式logn(x2-5x+7) >0的解集为_______.‎ ‎(16)已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值,则a的取值范围为___________.‎ 二、 解答题:本大题共6小题,共76分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎(17)(本小题满分13分)‎ 设函数f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中>0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为.‎ ‎(Ⅰ)求ω的值;‎ ‎(Ⅱ)如果f(x)在区间上的最小值为,求a的值.‎ ‎(18)(本小题满分13分)‎ 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5‎ 位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为,用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求:‎ ‎(Ⅰ)随机变量ξ的分布列;‎ ‎(Ⅱ)随机变量ξ的期望.‎ ‎(19)(本小题满分13分)‎ 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,DAB为直角,AB‖CD,AD=CD=24‎ B,E、F分别为PC、CD的中点.‎ ‎(Ⅰ)试证:CD平面BEF;‎ ‎(Ⅱ)设PA=k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围.‎ ‎(20)(本小题满分13分)‎ 已知函数f(x)=(x2+bx+c)cx,其中b,cR为常数.        图(19)图 ‎(Ⅰ)若b2>4(a-1),讨论函数f(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若b2<4(c-1),且=4,试证:-6≤b≤2.‎ ‎(21)(本小题满分12分)‎ 已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x.‎ ‎(Ⅰ)若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);‎ ‎(Ⅱ)设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0,求函数f(x)的解析表达式.‎ ‎(22)(本小题满分12分)‎ 已知一列椭圆Cn:x2+=1. 0<bn<1,n=1,2..若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是|PnFn|与|PnCn|的等差中项,其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.‎ ‎(Ⅰ)试证:bn≤ (n≥1);‎ ‎(Ⅱ)取bn=,并用SA表示PnFnGn的面积,试证:S1<S1且Sn<Sn+3 (n≥3).‎ 图(22)图 ‎(20)(本小题满分13分)‎ 已知函数f(x)=(x2+bx+c)cx,其中b,cR为常数.‎ ‎(Ⅰ)若b2>4(a-1),讨论函数f(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若b2<4(c-1),且=4,试证:-6≤b≤2.‎ ‎(21)(本小题满分12分)‎ 已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x.‎ ‎(Ⅰ)若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);‎ ‎(Ⅱ)设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0,求函数f(x)的解析表达式.‎ ‎(22)(本小题满分12分)‎ 已知一列椭圆Cn:x2+=1. 0<bn<1,n=1,2..若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是|PnFn|与|PnCn|的等差中项,其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.‎ ‎(Ⅰ)试证:bn≤ (n≥1);‎ ‎(Ⅱ)取bn=,并用SA表示PnFnGn的面积,试证:S1<S1且Sn<Sn+3 (n≥3).‎ 图(22)图 部分参考答案 ‎(18)(本小题13分)‎ 解法一:(Ⅰ)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4,5.‎ 由等可能性事件的概率公式得 P(ξ=0)==, P(ξ=1)= ‎ P(ξ=2)= =, P(ξ=3)= ‎ P(ξ=4)= =, P(ξ=5)= ‎ 从而ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得ξ的期望为 Eξ=0×+1×+2×+3×+4×+5×‎ ‎ ==.‎ 解法二:(Ⅰ)考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验,这是5次独立重复试验.‎ 故ξ-B,即有 P(ξ=k)=C,k=0,1,2,3,4,5.‎ 由此计算ξ的分布列如解法一.‎ 解法三: (Ⅰ)同解法一或解二.‎ ‎(Ⅱ)由对称性与等可能性,在三层的任一层下电梯的人数同分布,故期望值相等.‎ 即3Eξ=5,从而Eξ=.‎ ‎(19)(本小题13分)‎ 解法一:‎ ‎(Ⅰ)证:由已知DF∥AB且DAD 为直角,故ABFD是矩形,从而CDBF.‎ 又PA底面ABCD,CDAD,故由三垂线定理知CDPD.在△PDC中,E、F分别 PC、CD的中点,故EF∥PD,从而CDEF,由此得CD面BEF.    第(19)图1‎ ‎(Ⅱ)连结AC交BF于G.易知G为AC的中点.连接EG,则在△PAC中易知EC∥PA.又因 PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中,过C作GHBD,垂足为H,连接EH.由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.‎ 设AB=a,则在△PAC中,有 BG=PA=ka.‎ 以下计算GH,考察底面的平面图(如答(19)图2).连结GD.‎ 因S△CBD=BD·GH=GB·OF.‎ 故GH=.‎ 在△ABD中,因为AB=a,AD=2A,得BD=a          第(19)图2‎ 而GB=FB=AD-a.DF-AB,从而得 GH== =‎ 因此tanEHG==‎ 由k>0知是锐角,故要使>,必须 ‎>tan=‎ 解之得,k的取值范围为k>‎ 解法二:‎ ‎(Ⅰ)如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为:轴建立空间直角坐标系,设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为 A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),‎ F(a,2a,0).‎ 从而=(2a,0,0), =(0,2a,0),     ‎ ‎·=0,故 .‎ 设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故 第(19)3‎ E.从而=.‎ ‎·=0,故.‎ 由此得CD面BEF.‎ ‎(Ⅱ)设E在xOy平面上的投影为G,过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.‎ 从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.‎ 由PA=k·AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).‎ 设H(x,y,0),则=(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0),‎ 由·=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即 x-2y=-a ①‎ 又因=(x,a,y,0),且与的方向相同,故=,即 ‎2x+y=2a ②‎ 由①②解得x=a,y=a,从而=,||=a.‎ tanEHG===.‎ 由k>0知,EHC是锐角,由EHC>得tanEHG>tan即 ‎>‎ 故k的取值范围为k>.‎ ‎(20)(本小题13分)‎ 解:(Ⅰ)求导得f2(x)=[x2+(b+2)x+b+c]ex..‎ 因b2>4(c-1),故方程f2(x)=0即x2+(b+2)x+b+c=0有两根;‎ x1=-<x2=-‎ 令f′(x)>0,解得x<x1或x>x1;‎ 又令f′(x)>0,解得x1<x<x2.‎ 故当xε(-, x1)时,f(x)是增函数,当 xε(x2,+)时,f(x)也是增函数,但当xε(x1 , x2)时,f(x)是减函数.‎ ‎(Ⅱ)易知f(0)=c,f(u)=b+c,因此 ‎.‎ 所以,由已知条件得 ‎ b+e=4‎ ‎ b2≤4(e-1),‎ 因此b2+4b-12≤0.‎ 解得-6≤b≤2.‎ ‎(21)(本小题12分)‎ 解:(Ⅰ)因为对任意xεR,有f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x,所以 f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2.‎ 又由f(2)=3,得f(3-22+2)-3-22+2,即f(1)=1.‎ 若f(0)=a,则f(a-02+0)=a-02+0,即f(a)=a.‎ ‎(Ⅱ)因为对任意xεR,有f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x.‎ 又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)- x0.‎ 所以对任意xεR,有f(x)- x2 +x= x0.‎ 在上式中令x= x0,有f(x0)-x + x0= x0,‎ 又因为f(x0)- x0,所以x0- x=0,故x0=0或x0=1.‎ 若x0=0,则f(x)- x2 +x=0,即 f(x)= x2 –x.‎ 但方程x2 –x=x有两上不同实根,与题设条件矛质,故x2≠0.‎ 若x2=1,则有f(x)- x2 +x=1,即f(x)= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件.‎ 综上,所求函数为 f(x)= x2 –x+1(xR).‎ ‎(22)(本小题12分)‎ 证:(1)由题设及椭圆的几何性质有 ‎    ‎ ‎ 设 ‎ ‎ 因此,由题意应满足 即 即,‎ 从而对任意 ‎(Ⅱ)设点 ‎ ‎ ‎ ‎ 得两极,从而易知f(c)在(,)内是增函数,而在(,1)内是减函数.‎ ‎   现在由题设取是增数列.又易知 ‎   ‎ 故由前已证,知