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- 2021-05-13 发布
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2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)
理 科 数 学
第Ⅰ卷
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合,则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为( ).
A. B. C. D.
3.为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到 该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )
A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样
4.已知双曲线C:的离心率为,则C的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
5.执行下面的程序框图,如果输入的,则输出的s属于( )
A.[-3,4]
B.[-5,2]
C.[-4,3]
D.[-2,5]
6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( )
A. B. C. D.
7.设等差数列的前n项和为,若,则( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
9.设m为正整数,展开式的二项式系数的最大值为,展开式的二项式系数的最大值为.若,则( )
A.5 B.6 C.7 D.8
10.已知椭圆E:的右焦点为,过点的直线交于A,B两点.若AB的中点坐标为,则E的方程为( )
A. B. C. D.
11.已知函数若,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.设的三边长分别为,的面积为若,,则( )
A.为递减数列 B.为递增数列
C.为递增数列,为递减数列 D.为递减数列,为递增数列
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题~第21题为必考题,每个试题考生必须做答. 第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)
13. 已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=______.
14.若数列的前项和,则的通项公式是_______.
15.设当时,函数取得最大值,则__________.
16.若函数的图像关于直线对称,则的最大值为__________.
三、解答题:(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)如图,在中,,,为内一点,.
(1)若,求;
(2)若,求.
18.(本小题满分12分)如图,三棱柱中,.
(1)证明:;
(2)若平面⊥平面,,求直线与平面所成角的正弦值.
19.(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.
假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.
(1)求这批产品通过检验的概率;
(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.
20.(本小题满分12分)已知圆,圆,动圆与圆外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线.
(1)求的方程;
(2)是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线交于两点,当圆的半径最长时,求.
21.(本小题满分12分)设函数.若曲线和曲线都过点,且在点处有相同的切线.
(1)求的值;
(2)若时,,求的取值范围.
请考生在第22、23题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,做答时请写清题号.
22.(本小题10分)【选修4-4;坐标系与参数方程】
已知曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)把的参数方程化为极坐标方程;
(2)求与交点的极坐标.
23.(本小题10分)【选修4-5;不等式选讲】
已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)设,且当时,,求的取值范围.
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国卷I新课标)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.
答案:B
解析:∵x(x-2)>0,∴x<0或x>2.
∴集合A与B可用图象表示为:
由图象可以看出A∪B=R,故选B.
2.
答案:D
解析:∵(3-4i)z=|4+3i|,
∴.
故z的虚部为,选D.
3.
答案:C
解析:因为学段层次差异较大,所以在不同学段中抽取宜用分层抽样.
4.
答案:C
解析:∵,∴.
∴a2=4b2,.
∴渐近线方程为.
5.
答案:A
解析:若t∈[-1,1),则执行s=3t,故s∈[-3,3).
若t∈[1,3],则执行s=4t-t2,其对称轴为t=2.
故当t=2时,s取得最大值4.当t=1或3时,s取得最小值3,则s∈[3,4].
综上可知,输出的s∈[-3,4].故选A.
6.
答案:A
解析:设球半径为R,由题可知R,R-2,正方体棱长一半可构成直角三角形,即△OBA为直角三角形,如图.
BC=2,BA=4,OB=R-2,OA=R,
由R2=(R-2)2+42,得R=5,
所以球的体积为(cm3),故选A.
7.
答案:C
解析:∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,
∴am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2,am+1=Sm+1-Sm=3-0=3.
∴d=am+1-am=3-2=1.
∵Sm=ma1+×1=0,∴.
又∵am+1=a1+m×1=3,∴.
∴m=5.故选C.
8.
答案:A
解析:由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体,由图中数据可知圆柱底面半径r=2,长为4,在长方体中,长为4,宽为2,高为2,所以几何体的体积为πr2×4×+4×2×2=8π+16.故选A.
9.
答案:B
解析:由题意可知,a=,b=,
又∵13a=7b,∴,
即.解得m=6.故选B.
10.
答案:D
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),∵A,B在椭圆上,
∴
①-②,得
,
即,
∵AB的中点为(1,-1),∴y1+y2=-2,x1+x2=2,
而=kAB=,∴.
又∵a2-b2=9,∴a2=18,b2=9.
∴椭圆E的方程为.故选D.
11.
答案:D
解析:由y=|f(x)|的图象知:
①当x>0时,y=ax只有a≤0时,才能满足|f(x)|≥ax,可排除B,C.
②当x≤0时,y=|f(x)|=|-x2+2x|=x2-2x.
故由|f(x)|≥ax得x2-2x≥ax.
当x=0时,不等式为0≥0成立.
当x<0时,不等式等价于x-2≤a.
∵x-2<-2,∴a≥-2.
综上可知:a∈[-2,0].
12.
答案:B
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.答案:2
解析:∵c=ta+(1-t)b,
∴b·c=ta·b+(1-t)|b|2.
又∵|a|=|b|=1,且a与b夹角为60°,b⊥c,
∴0=t|a||b|cos 60°+(1-t),
0=+1-t.
∴t=2.
14.答案:(-2)n-1
解析:∵,①
∴当n≥2时,.②
①-②,得,
即=-2.
∵a1=S1=,
∴a1=1.
∴{an}是以1为首项,-2为公比的等比数列,an=(-2)n-1.
15.答案:
解析:f(x)=sin x-2cos x
=,
令cos α=,sin α=,
则f(x)=sin(α+x),
当x=2kπ+-α(k∈Z)时,sin(α+x)有最大值1,f(x)有最大值,
即θ=2kπ+-α(k∈Z),
所以cos θ===sin α=.
16.答案:16
解析:∵函数f(x)的图像关于直线x=-2对称,
∴f(x)满足f(0)=f(-4),f(-1)=f(-3),
即
解得
∴f(x)=-x4-8x3-14x2+8x+15.
由f′(x)=-4x3-24x2-28x+8=0,
得x1=-2-,x2=-2,x3=-2+.
易知,f(x)在(-∞,-2-)上为增函数,在(-2-,-2)上为减函数,在(-2,-2+)上为增函数,在(-2+,+∞)上为减函数.
∴f(-2-)=[1-(-2-)2][(-2-)2+8(-2-)+15]
=(-8-)(8-)
=80-64=16.
f(-2)=[1-(-2)2][(-2)2+8×(-2)+15]
=-3(4-16+15)
=-9.
f(-2+)=[1-(-2+)2][(-2+)2+8(-2+)+15]
=(-8+)(8+)
=80-64=16.
故f(x)的最大值为16.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.
解:(1)由已知得∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.
在△PBA中,由余弦定理得PA2=.
故PA=.
(2)设∠PBA=α,由已知得PB=sin α.
在△PBA中,由正弦定理得,
化简得cos α=4sin α.
所以tan α=,即tan∠PBA=.
18.
(1)证明:取AB的中点O,连结OC,OA1,A1B.
因为CA=CB,所以OC⊥AB.
由于AB=AA1,∠BAA1=60°,
故△AA1B为等边三角形,
所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.
又A1C平面OA1C,故AB⊥A1C.
(2)解:由(1)知OC⊥AB,OA1⊥AB.
又平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,
所以OC⊥平面AA1B1B,
故OA,OA1,OC两两相互垂直.
以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-
xyz.
由题设知A(1,0,0),A1(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0).
则=(1,0,),==(-1,,0),=(0,,).
设n=(x,y,z)是平面BB1C1C的法向量,
则即可取n=(,1,-1).
故cos〈n,〉==.
所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.
19.
解:(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以
P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)
=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)
=.
(2)X可能的取值为400,500,800,并且
P(X=400)=,P(X=500)=,P(X=800)=.
所以X的分布列为
X
400
500
800
P
EX==506.25.
20.
解:由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.
设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,
所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.
由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为(x≠-2).
(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,
所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.
所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.
若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=.
若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).
由l与圆M相切得,
解得k=.
当k=时,将代入,
并整理得7x2+8x-8=0,
解得x1,2=.
所以|AB|=.
当时,由图形的对称性可知|AB|=.
综上,|AB|=或|AB|=.
21.
解:(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4.
而f′(x)=2x+a,g′(x)=ex(cx+d+c),
故b=2,d=2,a=4,d+c=4.
从而a=4,b=2,c=2,d=2.
(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1).
设函数F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,
则F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).
由题设可得F(0)≥0,即k≥1.
令F′(x)=0得x1=-ln k,x2=-2.
①若1≤k<e2,则-2<x1≤0.从而当x∈(-2,x1)时,F′(x)<0;当x∈(x1,+∞)时,F′(x)>0.即F(x)在(-2,x1)单调递减,在(x1,+∞)单调递增.故F(x)在[-2,+∞)的最小值为F(x1).
而F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0.
故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.
②若k=e2,则F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2).
从而当x>-2时,F′(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)单调递增.
而F(-2)=0,故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.
③若k>e2,则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.
从而当x≥-2时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立.
综上,k的取值范围是[1,e2].
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.
(1)证明:连结DE,交BC于点G.
由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE.
而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.
又因为DB⊥BE,
所以DE为直径,∠DCE=90°,
由勾股定理可得DB=DC.
(2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,
故DG是BC的中垂线,所以BG=.
设DE的中点为O,连结BO,则∠BOG=60°.
从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,
所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圆的半径等于.
23.
解:(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,
即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.
将代入x2+y2-8x-10y+16=0得
ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
所以C1的极坐标方程为
ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.
由
解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为,.
24.
解:(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.
设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,
则y=
其图像如图所示.从图像可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.
所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.
(2)当x∈时,f(x)=1+a.
不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.
所以x≥a-2对x∈都成立.
故≥a-2,即.
从而a的取值范围是.
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