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  • 2021-05-13 发布

高考数学试题分类汇编7题题详细解析

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2010 年高考数学试题分类汇编——三角函数 (2010 上海文数)18.若△ 的三个内角满足 ,则△ (A)一定是锐角三角形. (B)一定是直角三角形. (C)一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形. 解析:由 及正弦定理得 a:b:c=5:11:13 由余弦定理得 ,所以角 C 为钝角 (2010 湖南文数)7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠C=120°,c= a,则 A.a>b B.a<b C. a=b D.a 与 b 的大小关系不能确定 【命题意图】本题考查余弦定理,特殊角的三角函数值,不等式的性质,比较法,属中档题。 (2010 浙江理数)(9)设函数 ,则在下列区间中函数 不存在 零点的是 (A) (B) (C) (D) 解析:将 的零点转化为函数 的交点,数形结合可知答 案选 A,本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点,突出了对转化思 想和数形结合思想的考察,对能力要求较高,属较难题 (2010 浙江理数)(4)设 ,则“ ”是“ ”的 ABC sin :sin :sin 5:11:13A B C = ABC sin :sin :sin 5:11:13A B C = 01152 13115cos 222 <×× −+=c 2 ( ) 4sin(2 1)f x x x= + − ( )f x [ ]4, 2− − [ ]2,0− [ ]0,2 [ ]2,4 ( )xf ( ) ( ) ( ) xxhxxg =+= 与12sin4 0 2x π< < 2sin 1x x< sin 1x x< (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:因为 0<x< ,所以 sinx<1,故 xsin2x<xsinx,结合 xsin2x 与 xsinx 的取值范围相同, 可知答案选 B,本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义,以及转化思想和处 理不等关系的能力,属中档题 ( 2010 全 国 卷 2 理 数 )( 7 ) 为 了 得 到 函 数 的 图 像 , 只 需 把 函 数 的图像 (A)向左平移 个长度单位 (B)向右平移 个长度单位 (C)向左平移 个长度单位 (D)向右平移 个长度单位 【答案】B 【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移. 【 解 析 】 = , = , 所 以 将 的图像向右平移 个长度单位得到 的图像,故选 B. (2010 陕西文数)3.函数 f (x)=2sinxcosx 是 [C] (A)最小正周期为 2π的奇函数 (B)最小正周期为 2π的偶函数 (C)最小正周期为π的奇函数 (D)最小正周期为π的偶函数 解析:本题考查三角函数的性质 f (x)=2sinxcosx=sin2x,周期为π的奇函数 (2010 辽宁文数)(6)设 ,函数 的图像向右平移 个单位后与 原图像重合,则 的最小值是 (A) (B) (C) (D) 3 解析:选 C.由已知,周期 (2010 辽宁理数)(5)设 >0,函数 y=sin( x+ )+2 的图像向右平移 个单位后与原图 像重合,则 的最小值是 (A) (B) (C) (D)3 sin(2 )3y x π= − sin(2 )6y x π= + 4 π 4 π 2 π 2 π sin(2 )6y x π= + sin 2( )12x π+ sin(2 )3y x π= − sin 2( )6x π= − sin(2 )6y x π= + 4 π sin(2 )3y x π= − 2 π 0ω > sin( ) 23y x πω= + + 4 3 π ω 2 3 4 3 3 2 2 4 3, .3 2T π π ωω= = ∴ = ω ω 3 π 3 4π ω 2 3 4 3 3 2 【答案】C 【命题立意】本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性,考查了同 学们对知识灵活掌握的程度。 【 解 析 】 将 y=sin( x+ )+2 的 图 像 向 右 平 移 个 单 位 后 为 , 所 以 有 =2k , 即 ,又因为 ,所以 k≥1,故 ≥ ,所以选 C (2010 全国卷 2 文数)(3)已知 ,则 (A) (B) (C) (D) 【解析】B:本题考查了二倍角公式及诱导公式,∵ SINA=2/3, ∴ (2010 江西理数)7.E,F 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。 解法 1:约定 AB=6,AC=BC= ,由余弦定理 CE=CF= ,再由余弦 定理得 , 解得 解法 2:坐标化。约定 AB=6,AC=BC= ,F(1,0),E(-1,0),C(0,3) 利用向量的夹角公式得 ,解得 。 (2010 重庆文数)(6)下列函数中,周期为 ,且在 上为减函数的是 (A) (B) (C) (D) 16 27 2 3 3 3 3 4 ω 3 π 3 4π 4sin[ ( ) ] 23 3y x π πω= − + + 4sin( ) 23 3x π ωπω= + − + 4 3 ωπ π 3 2 kω = 0ω > 3 2 kω = 3 2 2sin 3 α = cos( 2 )x α− = 5 3 − 1 9 − 1 9 5 3 2 1cos( 2 ) cos2 (1 2sin ) 9 π α α α− = − = − − = − tan ECF∠ = 3 2 10 4cos 5ECF∠ = 3tan 4ECF∠ = 3 2 4cos 5ECF∠ = 3tan 4ECF∠ = π [ , ]4 2 π π sin(2 )2y x π= + cos(2 )2y x π= + sin( )2y x π= + cos( )2y x π= + 解析:C、D 中函数周期为 2 ,所以错误 当 时, ,函数 为减函数 而函数 为增函数,所以选 A (2010 重庆理数) (6)已知函数 的部分 图象如题(6)图所示,则 A. =1 = B. =1 =- C. =2 = D. =2 = - 解析: 由五点作图法知 , = - ( )sin ( 0, )2y x πω ϕ ω ϕ= + > < ω ϕ 6 π ω ϕ 6 π ω ϕ 6 π ω ϕ 6 π 2=∴= ϖπT 232 πϕπ =+× ϕ 6 π π [ , ]4 2x π π∈ 32 ,2 2x π ππ + ∈   sin(2 )2y x π= + cos(2 )2y x π= + (2010 山东文数)(10)观察 , , ,由归纳推理可得: 若定义在 上的函数 满足 ,记 为 的导函数,则 = (A) (B) (C) (D) 答案:D (2010 北京文数)(7)某班设计了一个八边形的班徽(如 图) ,它由腰长为 1, 顶角为 的四个等腰三角形,及其底边构成的正方形所组 成 , 该八边形的面积为 (A) ; (B) (C) ; (D) 答案:A (2010 四川理数)(6)将函数 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度,再 把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是 w_w w. k#s5_u.c o*m (A) (B) w_w_w.k*s 5*u.c o*m (C) (D) 解析:将函数 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度,所得函数图象的解析 式为 y=sin(x- ) w_w_w.k*s 5*u.c o*m 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是 . 答案:C (2010 天津文数)(8) 为 了 得 到 这 个 函 数的图象,只要将 的图象上所有的点 (A)向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短 2 '( ) 2x x= 4 ' 3( ) 4x x= '(cos ) sinx x= − R ( )f x ( ) ( )f x f x− = ( )g x ( )f x ( )g x− ( )f x ( )f x− ( )g x ( )g x− α 2sin 2cos 2α α− + sin 3 cos 3α α− + 3sin 3 cos 1α α− + 2sin cos 1α α− + siny x= 10 π sin(2 )10y x π= − sin(2 )5y x π= − 1sin( )2 10y x π= − 1sin( )2 20y x π= − siny x= 10 π 10 π 1sin( )2 10y x π= − 5y Asin x x R 6 6 π πω ϕ  = ∈   右图是函数 ( + )( )在区间 - , 上的图象, y sin x x R= ∈( ) 3 π 到原来的 倍,纵坐标不变 (B) 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 (C) 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 (D) 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 【答案】A 【解析】本题主要考查三角函数的图像与图像变换的基础知识,属于中等题。 由图像可知函数的周期为 ,振幅为 1,所以函数的表达式可以是 y=sin(2x+ ).代入(- , 0)可得 的一个值为 ,故图像中函数的一个表达式是 y=sin(2x+ ),即 y=sin2(x+ ),所 以只需将 y=sinx(x∈R)的图像上所有的点向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标 缩短到原来的 倍,纵坐标不变。 【温馨提示】根据图像求函数的表达式时,一般先求周期、振幅,最后求 。三角函数图像 进行平移变换时注意提取 x 的系数,进行周期变换时,需要将 x 的系数变为原来的 (2010 天津理数)(7)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 , ,则 A= (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用,属于中等题。 由由正弦定理得 , 所以 cosA= = ,所以 A=300 【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运 算。 (2010 福建文数) 1 2 3 π 6 π 1 2 6 π π ϕ 6 π ϕ 3 π 3 π 6 π 6 π 1 2 ϕ 1 ω 2 2 3a b bc− = sin 2 3sinC B= 030 060 0120 0150 2 3 2 32 2 c b c bR R = ⇒ = 2 2 2 2+c -a 3 2 2 b bc c bc bc − += 3 2 3 3 2 2 bc bc bc − + = (2010 福建文数)2.计算 的结果等于( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】原式= ,故选 B. 【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数值 (2010 全国卷 1 文数) (1) (A) (B)- (C) (D) 1.C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】 (2010 全国卷 1 理数)(2)记 ,那么 A. B. - C. D. - (2010 四川文数)(7)将函数 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是高^考#资* 源^网 1 2sin 22.5−  1 2 2 2 3 3 3 2 2cos45 = 2  cos300° = 3 2 − 1 2 1 2 3 2 ( ) 1cos300 cos 360 60 cos60 2 ° = °− ° = ° = cos( 80 ) k− ° = tan100° = 21 k k − 21 k k − 21 k k− 21 k k− siny x= 10 π (A) (B) (C) (D) 解析:将函数 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度,所得函数图象的解析 式为 y=sin(x- )w_w w. k#s5_u.c o*m 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是 . 答案:C (2010 湖北文数)2.函数 f(x)= 的最小正周期为 A. B.x C.2 D.4 【答案】D 【解析】由 T=| |=4π,故 D 正确. (2010 湖南理数)6、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠C=120°, , 则 A、a>b B、a0)6 πω ω g(x)=2cos(2x+ )+1ϕ x [0, ]2 π∈ f(x) 3[- ,3]2 2ω = x [0, ]2 π∈ 52x- [- , ]6 6 6 π π π∈ f(x) 33sin (- )=-6 2 π 3sin =32 π f(x) 3[- ,3]2      20 π , ▲_____。 [解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段 P1P2 的长即为 sinx 的值, 且其中的 x 满足 6cosx=5tanx,解得 sinx= 。线段 P1P2 的长为 3. ( 2010 江 苏 卷 ) 13 、 在 锐 角 三 角 形 ABC , A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c , ,则 =____▲_____。 [解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用,等价转化思想。一题多解。 (方法一)考虑已知条件和所求结论对于角 A、B 和边 a、b 具有轮换性。 当 A=B 或 a=b 时满足题意,此时有: , , , , = 4。 (方法二) , 2010 年高考数学试题分类汇编——三角函数解答 (2010 上海文数)19.(本题满分 12 分) 已知 ,化简: . 解析:原式=lg(sinx+cosx)+lg(cosx+sinx)−lg(sinx+cosx)2=0. (2010 湖南文数)16. (本小题满分 12 分) 已知函数 (I)求函数 的最小正周期。 (II) 求函数 的最大值及 取最大值时 x 的集合。 2 3 2 3 6cosb a Ca b + = tan tan tan tan C C A B + 1cos 3C = 2 1 cos 1tan 2 1 cos 2 C C C −= =+ 2tan 2 2 C = 1tan tan 2 tan 2 A B C = = = tan tan tan tan C C A B + 2 26cos 6 cosb a C ab C a ba b + = ⇒ = + 2 2 2 2 2 2 2 2 36 ,2 2 a b c cab a b a bab + −⋅ = + + = 2tan tan sin cos sin sin cos sin sin( ) 1 sin tan tan cos sin sin cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B C A B C A B C A B C A B + ++ = ⋅ = ⋅ = ⋅ 0 2x π< < 2lg(cos tan 1 2sin ) lg[ 2 cos( )] lg(1 sin 2 )2 2 xx x x x π⋅ + − + − − + 2( ) sin 2 2sinf x x x= − ( )f x ( )f x ( )f x (2010 浙江理数)(18)(本题满分 l4 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 (I)求 sinC 的值; (Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长. 解析:本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同事考查运算求解能力。 (Ⅰ)解:因为 cos2C=1-2sin2C= ,及 0<C<π 所以 sinC= . (Ⅱ)解:当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理 ,得 c=4 由 cos2C=2cos2C-1= ,J 及 0<C<π得 cosC=± 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,得 b2± b-12=0 解得 b= 或 2 所以 b= b= c=4 或 c=4 (2010 全国卷 2 理数)(17)(本小题满分 10 分) 中, 为边 上的一点, , , ,求 .ABC∆ D BC 33BD = 5sin 13B = 3cos 5ADC∠ = AD 1cos2 4C = − 1 4 − 10 4 a c sin A sin C = 1 4 − 6 4 6 6 6 6 6 【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的 应用,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参考答案】 由 cos∠ADC= >0,知 B< . 由已知得 cosB= ,sin∠ADC= . 从而 sin∠BAD=sin(∠ADC-B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB= = . 由正弦定理得 ,所以 = . 【点评】三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试题中频繁出现. 这类题型难度比较低,一般出现在 17 或 18 题,属于送分题,估计以后这类题型仍会保留, 不会有太大改变.解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角或 将边角互化. (2010 陕西文数)17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长. 解 在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得 cos = , ADC=120°, ADB=60° 在△ABD 中,AD=10, B=45°, ADB=60°, 由正弦定理得 , AB= . (2010 辽宁文数)(17)(本小题满分 12 分) 在 中, 分别为内角 的对边, 且 (Ⅰ)求 的大小; ∠ 2 2 2 2 AD DC AC AD DC + −  100 36 196 1 2 10 6 2 + − = −× × ∴ ∠ ∠ ∠ ∠ sin sin AB AD ADB B =∠ ∴ 310sin 10sin 60 2 5 6sin sin 45 2 2 AD ADB B ×∠ °= = =°  ABC∆ a b c、 、 A B C、 、 2 sin (2 )sin (2 )sina A b c B c b C= + + + A (Ⅱ)若 ,试判断 的形状. 解:(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 即 由余弦定理得 故 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 又 ,得 因为 , 故 所以 是等腰的钝角三角形。 (2010 辽宁理数)(17)(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且 (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 的最大值. 解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 即 由余弦定理得 故 ,A=120° ……6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得: 故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1。 ……12 分 (2010 全国卷 2 文数)(17)(本小题满分 10 分) sin sin 1B C+ = ABC∆ cbcbcba )2()2(2 2 +++= bccba ++= 222 Abccba cos2222 −+= °=−= 120,2 1cos AA .sinsinsinsinsin 222 CBCBA ++= 1sinsin =+ CB 2 1sinsin == CB °<<°°<<° 900,900 CB B C= ABC∆ 2 sin (2 )sin (2 )sin .a A a c B c b C= + + + sin sinB C+ 22 (2 ) (2 )a b c b c b c= + + + 2 2 2a b c bc= + + 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 1cos 2A = − sin sin sin sin(60 )B C B B+ = + °− 3 1cos sin2 2 sin(60 ) B B B = + = °+ 中, 为边 上的一点, , , ,求 。 【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。 由 与 的差求出 ,根据同角关系及差角公式求出 的正弦,在三角形 ABD 中,由正弦定理可求得 AD。 (2010 江西理数)17.(本小题满分 12 分) 已知函数 。 (1) 当 m=0 时,求 在区间 上的取值范围; (2) 当 时, ,求 m 的值。 【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三 角函数化简,考查函数值域,作为基本的知识交汇问题,考查基本三角函数变换,属于中等 题. 解:(1)当 m=0 时, ,由已知 ,得 从而得: 的值域为 (2) 化简得: 当 ,得: , , 代入上式,m=-2. (2010 安徽文数)16、(本小题满分 12 分) 的面积是 30,内角 所对边长分别为 , 。 (Ⅰ)求 ; (Ⅱ)若 ,求 的值。 【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系,三角形面积公式,向量的数量积,利用余 弦定理解三角形以及运算求解能力. ( ) ( ) 21 cot sin sin sin4 4f x x x m x x π π   = + + + −       ( )f x 3 8 4 π π    , tan 2a = ( ) 3 5f a = ABC∆ , ,A B C , ,a b c AB AC   a ABC D BC 33BD = 5sin 13B = 3cos 5ADC∠ = AD ADC∠ B∠ BAD∠ BAD∠ 2 2cos 1 cos2 sin 2( ) (1 )sin sin sin cossin 2 x x xf x x x x xx − += + = + = 1[ 2 sin(2 ) 1]2 4x π= − + 3[ , ]8 4x π π∈ 22 [ ,1]4 2x π− ∈ − ( )f x 1 2[0, ]2 + 2cos( ) (1 )sin sin( )sin( )sin 4 4 xf x x m x xx π π= + + + − 1 1( ) [sin 2 (1 )cos2 ]2 2f x x m x= + + + tan 2α = 2 2 2 2sin cos 2tan 4sin 2 sin cos 1 tan 5 a a aa a a a = = =+ + 3cos2 5a = 12cos 13A = 1c b− = 【解题指导】(1)根据同角三角函数关系,由 得 的值,再根据 面积 公式得 ;直接求数量积 .由余弦定理 ,代入已知条 件 ,及 求 a 的值. 解:由 ,得 . 又 ,∴ . (Ⅰ) . (Ⅱ) , ∴ . 【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知,需求 的值,考虑已知 的面 积是 30, ,所以先求 的值,然后根据三角形面积公式得 的值.第二问中求 a 的值,根据第一问中的结论可知,直接利用余弦定理即可. (2010 重庆文数)(18).(本小题满分 13 分), (Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 8 分.) 设 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 3 +3 -3 =4 bc . (Ⅰ) 求 sinA 的值; (Ⅱ)求 的值. (2010 浙江文数)(18)(本题满分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ ABC∆ 12cos 13A = sin A ABC∆ 156bc = AB AC   2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 1c b− = 156bc = 12cos 13A = 212 5sin 1 ( )13 13A = − = 1 sin 302 bc A = 156bc = 12cos 156 14413AB AC bc A⋅ = = × =  2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 12( ) 2 (1 cos ) 1 2 156 (1 ) 2513c b bc A= − + − = + ⋅ ⋅ − = 5a = bc 12cos 13A = sin A bc ABC∆ 2b 2c 2a 2 2sin( )sin( )4 4 1 cos2 A B C A π π+ + + − ABC 的面积,满足 。 (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 的最大值。 (2010 重庆理数)(16)(本小题满分 13 分,(I)小问 7 分,(II)小问 6 分) 设函数 。 (I) 求 的值域; (II) 记 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a,b,c,若 =1,b=1,c= ,求 a 的值。 2 2 23 ( )4S a b c= + − sin sinA B+ ( ) 22cos 2cos ,3 2 xf x x x Rπ = + + ∈   ( )f x ABC∆ ( )f B 3 (2010 山东文数)(17)(本小题满分 12 分) 已知函数 ( )的最小正周期为 , (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)将函数 的图像上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到函 数 的图像,求函数 在区间 上的最小值. 2( ) sin( )cos cosf x x x xπ ω ω ω= − + 0ω > π ω ( )y f x= 1 2 ( )y g x= ( )y g x= 0,16 π     (2010 北京文数)(15)(本小题共 13 分) 已知函数 (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)求 的最大值和最小值 解:(Ⅰ) = (Ⅱ) 因为 ,所以,当 时 取最大值 2;当 时, 去最小值-1。 (2010 北京理数)(15)(本小题共 13 分)www.@ks@5u.com 已知函数 。 (Ⅰ)求 的值; 2( ) 2cos2 sinf x x x= + ( )3f π ( )f x 22( ) 2cos sin3 3 3f π π π= + 3 11 4 4 − + = − 2 2( ) 2(2cos 1) (1 cos )f x x x= − + − 23cos 1,x x R= − ∈ [ ]cos 1,1x∈ − cos 1x = ± ( )f x cos 0x = ( )f x (x)f 22cos2 sin 4cosx x x= + − ( )3f π= (Ⅱ)求 的最大值和最小值。 解:(I) (II) = = , 因为 , 所以,当 时, 取最大值 6;当 时, 取最小值 (2010 四川理数)(19)(本小题满分 12 分) (Ⅰ)○1 证明两角和的余弦公式 ; ○2 由 推导两角和的正弦公式 . (Ⅱ)已知△ABC 的面积 ,且 ,求 cosC. 本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运 算能力。 解:(1)①如图,在执教坐标系 xOy 内做单位圆 O,并作出角 α、β 与-β,使角 α 的始边为 Ox,交⊙O 于点 P1,终边交⊙O 于 P2;角 β 的始边为 OP2,终边交⊙O 于 P3;角-β 的始边 为 OP1,终边交⊙O 于 P4. 则 P1(1,0),P2(cosα,sinα) P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)) w_w w. k#s5_u.c o*m 由 P1P3=P2P4 及两点间的距离公式,得 [cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2 展开并整理得:2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ) ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.……………………4 分 ②由①易得 cos( -α)=sinα,sin( -α)=cosα sin(α+β)=cos[ -(α+β)]=cos[( -α)+(-β)] =cos( -α)cos(-β)-sin( -α)sin(-β) =sinαcosβ+cosαsinβ……………………………………6 分 (2)由题意,设△ABC 的角 B、C 的对边分别为 b、c 则 S= bcsinA= =bccosA=3>0w_w w. k#s5_u.c o*m (x)f 22 3 9( ) 2cos sin 4cos 13 3 3 3 4 4f π π π π= + − = − + = − 2 2( ) 2(2cos 1) (1 cos ) 4cosf x x x x= − + − − 23cos 4cos 1x x− − 22 73(cos )3 3x − − x R∈ cos x ∈ [ 1,1]− cos 1x = − ( )f x 2cos 3x = ( )f x 7 3 − C : cos( ) cos cos sin sinα β α β α β α β+ + = − Cα β+ S : sin( ) sin cos cos sinα β α β α β α β+ + = + 1 , 32S AB AC= • =  3 5cos B = 2 π 2 π 2 π 2 π 2 π 2 π 1 2 1 2 AB AC•  ∴A∈(0, ),cosA=3sinA 又 sin2A+cos2A=1,∴sinA= ,cosA= 由题意,cosB= ,得 sinB= ∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB= w_w w. k#s5_u.c o*m 故 cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=- …………………………12 分 (2010 天津文数)(17)(本小题满分 12 分) 在 ABC 中, 。 (Ⅰ)证明 B=C: (Ⅱ)若 =- ,求 sin 的值。 【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角 的正弦与余弦等基础知识,考查基本运算能力.满分 12 分. ( Ⅰ ) 证 明 : 在 △ ABC 中 , 由 正 弦 定 理 及 已 知 得 = . 于 是 sinBcosC-cosBsinC=0,即 sin(B-C)=0.因为 ,从而 B-C=0. 所以 B=C. (Ⅱ)解:由 A+B+C= 和(Ⅰ)得 A= -2B,故 cos2B=-cos( -2B)=-cosA= . 又 0<2B< ,于是 sin2B= = . 从而 sin4B=2sin2Bcos2B= ,cos4B= . 所以 (2010 天津理数)(17)(本小题满分 12 分) 已知函数 2 π 10 10 3 10 10 3 5 4 5 10 10 10 10 ∆ cos cos AC B AB C = cos A 1 3 4B 3 π +   sin B sin C cosB cosC B Cπ π− < − < π π π 1 3 π 21 cos 2B− 2 2 3 4 2 9 2 2 7cos 2 sin 2 9B B− = − 4 2 7 3sin(4 ) sin 4 cos cos4 sin3 3 3 18B B B π π π −+ = + = 2( ) 2 3sin cos 2cos 1( )f x x x x x R= + − ∈ (Ⅰ)求函数 的最小正周期及在区间 上的最大值和最小值; (Ⅱ)若 ,求 的值。 【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数 的性 质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识,考查基本运算能力,满分 12 分。 (1)解:由 ,得 所以函数 的最小正周期为 因为 在区间 上为增函数,在区间 上为减函数,又 ,所以函数 在区间 上的最大值为 2,最小值为-1 (Ⅱ)解:由(1)可知 又因为 ,所以 由 ,得 从而 所以 (2010 广东理数)16、(本小题满分 14 分) 已知函数 在 时取得最大值 4.  (1) 求 的最小正周期; ( )f x 0, 2 π     0 0 6( ) , ,5 4 2f x x π π = ∈   0cos2x sin( )y A xω ϕ= + 2( ) 2 3sin cos 2cos 1f x x x x= + − 2( ) 3(2sin cos ) (2cos 1) 3sin 2 cos2 2sin(2 )6f x x x x x x x π= + − = + = + ( )f x π ( ) 2sin 2 6f x x π = +   0, 6 π     ,6 2 π π     (0) 1, 2, 16 2f f f π π   = = = −       ( )f x 0, 2 π     0 0( ) 2sin 2 6f x x π = +   0 6( ) 5f x = 0 3sin 2 6 5x π + =   0 ,4 2x π π ∈   0 2 72 ,6 3 6x π π π + ∈   2 0 0 4cos 2 1 sin 26 6 5x x π π   + = − − + = −       0 0 0 0 3 4 3cos2 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin6 6 6 6 6 6 10x x x x π π π π π π  −     = + − = + + + =             ( ) sin(3 )( 0, ( , ),0f x A x A xϕ ϕ π= + > ∈ −∞ +∞ < < 12x π= ( )f x (2) 求 的解析式; (3) 若 ( α + )= ,求 sinα.[来源:高考资源网 KS5U.COM] , , , , .[来 (2010 广东文数) (2010 全国卷 1 理数)(17)(本小题满分 10 分) ( )f x f 2 3 12 π 12 5 3sin(2 )2 5 πα + = 3cos2 5 α = 2 31 2sin 5 α− = 2 1sin 5 α = 5sin 5 α = ± 已知 的内角 , 及其对边 , 满足 ,求内角 . (2010 四川文数)(19)(本小题满分 12 分)w_w w. k#s5_u.c o* (Ⅰ)○1 证明两角和的余弦公式 ; ○2 由 推导两角和的正弦公式 . (Ⅱ)已知 ,求 (2010 湖北文数)16.(本小题满分 12 分) 已经函数 (Ⅰ)函数 的图象可由函数 的图象经过怎样变化得出? ABC A B a b cot cota b a A b B+ = + C C : cos( ) cos cos sin sinα β α β α β α β+ + = − Cα β+ S : sin( ) sin cos cos sinα β α β α β α β+ + = + 4 3 1cos , ( , ),tan , ( , ),cos( )5 2 3 2 πα α π π β β π α β= − ∈ = − ∈ + cos( )α β+ 2 2cos sin 1 1( ) , ( ) sin 2 .2 2 4 x xf x g x x −= = − ( )f x ( )g x (Ⅱ)求函数 的最小值,并求使用 取得最小值的 的集合。 (2010 山东理数) ( ) ( ) ( )h x f x g x= − ( )h x x (2010 湖南理数)16.(本小题满分 12 分) 已知函数 . (Ⅰ)求函数 的最大值; (II)求函数 的零点的集合。 (2010 湖北理数) 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合。 2( ) 3sin 2 2sinf x x x= − ( )f x ( )f x 1 1cos( )cos( ), ( ) sin 23 3 2 4x x g x x π π+ − = − (2010 福建理数)19.(本小题满分 13 分) 。 ,轮 船位于港口 O 北偏西 且与该港口相距 20 海里的 A 处,并以 30 海里/小时的航行速度沿正 东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与 轮船相遇。 (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向与 航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。 【解析】如图,由(1)得 而小艇的最高 航行速度只能达到 30 海里/小时,故轮船与小艇不可能在 A、C(包含 C)的任意位置相遇, 设 ,OD= , 由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为 和 , 所以 ,解得 , 从而 值,且最小值为 ,于是 当 取得最小值,且最小值为 。 此时,在 中, ,故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 ,航行速度为 30 海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇。 O某港口 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 30 v 10 3,AC=10, > , , >ACOC OC AC AC= ≥故 且对于线段 上任意点P有OP OC , COD= (0 < <90 ), 10 3 tanRt COD CDθ θ θ∠ ∆ =  则在 中, 10 3 cosθ 10 10 3 tan 30t θ+= 10 3 cost v θ= 10 10 3 tan 30 θ+ 10 3 cosv θ= 15 3 3, 30, sin ( +30 )sin ( +30 ) 2v v θθ= ≤ ≥  又 故 30 <90 , 30 tanθ θ θ≤ =  由于 时, 取得最小 3 3 30θ = 时, 10 10 3 tan 30t θ+= 2 3 OAB∆ 20OA OB AB= = = 30 (2010 安徽理数)16、(本小题满分 12 分) 设 是锐角三角形, 分别是内角 所对边长,并且 。 (Ⅰ)求角 的值; (Ⅱ)若 ,求 (其中 )。 (2010 江苏卷)17、(本小题满分 14 分) 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m),如示意图,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m, 仰角∠ABE= ,∠ADE= 。 (1)该小组已经测得一组 、 的值,tan =1.24,tan =1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d (单位:m),使 与 之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的实际 高度为 125m,试问 d 为多少时, - 最大? [解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 ABC∆ , ,a b c , ,A B C 2 2sin sin( ) sin( ) sin3 3A B B B π π= + − + A 12, 2 7AB AC a= =   ,b c b c< α β α β α β α β α β (1 ) ,同理: , 。 AD—AB=DB,故得 ,解得: 。 因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m。 (2)由题设知 ,得 , ,(当且仅当 时,取等号) 故当 时, 最大。 因为 ,则 ,所以当 时, - 最大。 故所求的 是 m。 (2010 江苏卷)23.(本小题满分 10 分) 已知△ABC 的三边长都是有理数。 (1)求证 cosA 是有理数;(2)求证:对任意正整数 n,cosnA 是有理数。 [解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识,考查推理论证的能力与分析问题、 解决问题的能力。满分 10 分。 (方法一)(1)证明:设三边长分别为 , ,∵ 是有理数, 是有理数,分母 为正有理数,又有理数集对于除法的具有封闭性, ∴ 必为有理数,∴cosA 是有理数。 (2)①当 时,显然 cosA 是有理数; 当 时,∵ ,因为 cosA 是有理数, ∴ 也是有理数; ②假设当 时,结论成立,即 coskA、 均是有理数。 当 时, , , tan tan H HADAD β β= ⇒ = tan HAB α= tan hBD β= tan tan tan H H h β α β− = tan 4 1.24 124tan tan 1.24 1.20 hH α β α ×= = =− − d AB= tan ,tanH H h H h d AD DB d α β −= = = = 2 tan tantan( ) ( )1 tan tan ( )1 H H h hd hd d H H h H H hd H H h dd d d α βα β α β −−−− = = = =− −+ ⋅ + −+ ⋅ + ( ) 2 ( )H H hd H H hd −+ ≥ − ( ) 125 121 55 5d H H h= − = × = 55 5d = tan( )α β− 0 2 πβ α< < < 0 2 πα β< − < 55 5d = α β d 55 5 , ,a b c 2 2 2 cos 2 b c aA bc + −= , ,a b c 2 2 2b c a+ − 2bc 2 2 2 2 b c a bc + − 1n = 2n = 2cos2 2cos 1A A= − cos2A ( 2)n k k≤ ≥ cos( 1)k A− 1n k= + cos( 1) cos cos sin sink A kA A kA A+ = − 1cos( 1) cos cos [cos( ) cos( )]2k A kA A kA A kA A+ = − − − + , 解得: ∵cosA, , 均是有理数,∴ 是有理数, ∴ 是有理数。 即当 时,结论成立。 综上所述,对于任意正整数 n,cosnA 是有理数。 (方法二)证明:(1)由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知 是有理数。 (2)用数学归纳法证明 cosnA 和 都是有理数。 ①当 时,由(1)知 是有理数,从而有 也是有理数。 ②假设当 时, 和 都是有理数。 当 时,由 , , 及①和归纳假设,知 和 都是有理数。 即当 时,结论成立。 综合①、②可知,对任意正整数 n,cosnA 是有理数。 1 1cos( 1) cos cos cos( 1) cos( 1)2 2k A kA A k A k A+ = − − + + cos( 1) 2cos cos cos( 1)k A kA A k A+ = − − coskA cos( 1)k A− 2cos cos cos( 1)kA A k A− − cos( 1)k A+ 1n k= + 2 2 2 cos 2 AB AC BCA AB AC + −= ⋅ sin sinA nA⋅ 1n = cos A 2sin sin 1 cosA A A⋅ = − ( 1)n k k= ≥ coskA sin sinA kA⋅ 1n k= + cos( 1) cos cos sin sink A A kA A kA+ = ⋅ − ⋅ sin sin( 1) sin (sin cos cos sin ) (sin sin ) cos (sin sin ) cosA k A A A kA A kA A A kA A kA A⋅ + = ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ cos( 1)k A+ sin sin( 1)A k A⋅ + 1n k= +