高考试题与答案全国卷1数学理 9页

‎2006年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 ‎ ‎ 第I卷 一．选择题 ‎（1）设集合，则 ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）R ‎（2）已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则 ‎ （A）R） （B）·（）‎ ‎ （C）R） （D）（）‎ ‎（3）双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m=‎ ‎ （A） （B）－4 （C）4 （D）‎ ‎（4）如果复数是实数，则实数m=‎ ‎ （A）1 （B）－1 （C） （D）－‎ ‎（5）函数的单调增区间为 ‎ （A）Z （B）Z ‎ （C）Z （D）Z ‎（6）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c. 若a、b、c成等比数列，且 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 ‎ （A）16 （B）20 （C）24 （D）32‎ ‎（8）抛物线上的点到直线距离的最小值是 ‎ （A） （B） （C） （D）3‎ ‎（9）设平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0. 如果平面向量b1、b2、b3满足 ‎ 顺时针旋转30°后与bi同向，其中i=1，2，3，则 ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（10）设是公差为正数的等差数列，若=80，则 ‎ =‎ ‎ （A）120 （B）105 （C）90 （D）75‎ ‎（11）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但 ‎ 不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 ‎ （A）cm2 （B）cm2‎ ‎ （C）cm2 （D）20cm2‎ ‎（12）设集合，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中 ‎ 最大的数，则不同的选择方法共有 ‎ （A）50种 （B）49种 （C）48种 （D）47种 第Ⅱ卷 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在横线上.‎ ‎（13）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于 .‎ ‎（14）设，式中变量x、y满足下列条件 ‎ 则z的最大值为 .‎ ‎（15）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日. 不同的安排方法共有 种.（用数字作答）‎ ‎（16）设函数 若是奇函数，则= .‎ 三．解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ ‎ △ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时,取得最大值,并求出这个最大值.‎ ‎（18）（本小题满分12）‎ ‎ A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效. 若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组. 设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为.‎ ‎ （Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；‎ ‎（Ⅱ）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数. 求的分布列和数学期望.‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，、是相互垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段. 点A、B在上，C在上，AM = MB = MN.‎ ‎ （Ⅰ）证明；‎ ‎（Ⅱ）若，求NB与平面ABC所成角的余弦值.‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ ‎ 在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭 圆. 设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量. 求：‎ ‎ （Ⅰ）点M的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）||的最小值.‎ ‎（21）（本小题满分14分）‎ ‎ 已知函数 ‎ （Ⅰ）设，讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若对任意恒有，求a的取值范围.‎ ‎（22）（本小题满分12分）‎ ‎ 设数列的前n项的和 ‎ ‎ ‎ （Ⅰ）求首项与通项；‎ ‎ （Ⅱ）设证明：.‎ ‎2006年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案 一．选择题 ‎ （1）B （2）D （3）A （4）B （5）C （6）B ‎ （7）C （8）A （9）D （10）B （11）B （12）B 二．填空题 ‎ （13） （14）11 （15）2400 （16）‎ 三．解答题 ‎（17）解：由 ‎ 所以有 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当 ‎（18分）解：‎ ‎（Ⅰ）设A1表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i= 0，1，2，‎ ‎ B1表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i= 0，1，2，‎ 依题意有 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所求的概率为 ‎ P = P（B0·A1）+ P（B0·A2）+ P（B1·A2）‎ ‎ = ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ~B（3，）‎ ‎ ‎ ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ p 数学期望 ‎（19）解法：‎ ‎ （Ⅰ）由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MNl1 = M，‎ 可得l2⊥平面ABN.‎ 由已知MN⊥l1，AM = MB = MN，‎ 可知AN = NB 且AN⊥NB又AN为 AC在平面ABN内的射影，‎ ‎ ∴ AC⊥NB ‎ （Ⅱ）∵ Rt △CAN = Rt △CNB，‎ ‎ ∴ AC = BC，又已知∠ACB = 60°，‎ 因此△ABC为正三角形。‎ ‎ ∵ Rt △ANB = Rt △CNB。‎ ‎ ∴ NC = NA = NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连结BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角。‎ ‎ 在Rt △NHB中，‎ ‎ 解法二：‎ ‎ 如图，建立空间直角坐标系M－xyz，‎ ‎ 令 MN = 1，‎ ‎ 则有A（-1，0，0），B（1，0，0），N（0，1，0）。‎ ‎ （Ⅰ）∵MN是l1、l2的公垂线，l2⊥l1，‎ ‎ ∴l2⊥ 平面ABN，‎ ‎ ∴l2平行于z轴，‎ ‎ 故可设C（0，1，m）‎ ‎ 于是 ‎∴AC⊥NB.‎ ‎ （Ⅱ）‎ ‎ 又已知∠ABC = 60°，∴△ABC为正三角形，AC = BC = AB = 2.‎ ‎ 在Rt △CNB中，NB =，可得NC =，故C ‎ 连结MC，作NH⊥MC于H，设H（0，λ，）（λ> 0）.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴HN ⊥平面ABC，∠NBH为NB与平面ABC所成的角.‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎（20）解：‎ ‎（Ⅰ）椭圆的方程可写为 ，‎ 式中 得，所以曲线C的方程为 设，因P在C上，有，得切线AB的方程为 ‎ 设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得 由 的M的坐标为（x，y），由满足C的方程，得点M的轨迹方程为 ‎（Ⅱ）∵‎ ‎∴‎ 且当时，上式取等号，‎ 故的最小值为3。‎ ‎（21）解：‎ ‎（Ⅰ）的定义域为求导数得 ‎（i）当a=2时，（0，1）和（1，+∞）均大于0，所以为增函数。‎ ‎（ii）当在（－∞，1），（1，+∞）为增函数。‎ ‎（iii）当 令 当x变化时，的变化情况如下表：‎ ‎（1，+∞）‎ ‎+‎ ‎－‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎↗‎ ‎（1，+∞）为增函数，‎ 为减函数。‎ ‎（Ⅱ）（i）当时，由（Ⅰ）知：对任意恒有 ‎ ‎（ii）当时，取，则由（Ⅰ）知 ‎ ‎（iii）当时，对任意，恒有，得 ‎ ‎ ‎ 综上当且仅当时，对任意 恒有 ‎（22）解：‎ ‎（Ⅰ）由 ①‎ 得 ‎ 所以 a1=2‎ 再由①有 ②‎ 将①和②相减得 ‎ 整理得 ，‎ 因而数列是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，即 ‎ ，n=1，2，3，…，‎ 因而 n=1，2，3，…，‎ ‎（Ⅱ）将代入①得 所以，‎ ‎ ‎