2015高考数学（文）（曲线与方程）一轮复习学案 10页

学案55　曲线与方程 导学目标： 了解曲线的方程与方程的曲线的对应关系．‎ 自主梳理 ‎1．曲线的方程与方程的曲线 在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：‎ ‎(1)__________________都是这个方程的______．‎ ‎(2)以这个方程的解为坐标的点都是________________，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．‎ ‎2．平面解析几何研究的两个主要问题 ‎(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；‎ ‎(2)通过曲线的方程研究曲线的性质．‎ ‎3．求曲线方程的一般方法(五步法)‎ 求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：‎ ‎(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示________________________；‎ ‎(2)写出适合条件p的点M的集合P＝____________；‎ ‎(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；‎ ‎(4)化方程f(x，y)＝0为________；‎ ‎(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在________．‎ 自我检测 ‎1．(2011·湛江月考)已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点的轨迹方程是(　　)‎ A．y＝2x2 B．y＝8x2‎ C．2y＝8x2－1 D．2y＝8x2＋1‎ ‎2．一动圆与圆O：x2＋y2＝1外切，而与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，那么动圆的圆心P的轨迹是(　　)‎ A．双曲线的一支 B．椭圆 C．抛物线 D．圆 ‎3．(2011·佛山模拟)已知直线l的方程是f(x，y)＝0，点M(x0，y0)不在l上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的曲线是(　　)‎ A．直线l B．与l垂直的一条直线 C．与l平行的一条直线 D．与l平行的两条直线 ‎4．若M、N为两个定点且|MN|＝6，动点P满足·＝0，则P点的轨迹是(　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎5．(2011·江西)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(－，) B．(－，0)∪(0，)‎ C．[－，] D．(－∞，－)∪(，＋∞)‎ 探究点一　直接法求轨迹方程 例1　动点P与两定点A(a,0)，B(－a,0)连线的斜率的乘积为k，试求点P 的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．‎ 变式迁移1　已知两点M(－2,0)、N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足||||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为______________．‎ 探究点二　定义法求轨迹方程 例2　(2011·包头模拟)已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．‎ 变式迁移2　在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B，C，且满足条件sin C－sin B＝sin A，则动点A的轨迹方程是(　　)‎ A.－＝1 (y≠0)‎ B.－＝1 (x≠0)‎ C.－＝1 (y≠0)的左支 D.－＝1 (y≠0)的右支 探究点三　相关点法(代入法)求轨迹方程 例3　如图所示，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程．‎ 变式迁移3　已知长为1＋的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且＝.求点P的轨迹C的方程．‎ 分类讨论思想的应用 例　(12分)‎ 过定点A(a，b)任作互相垂直的两直线l1与l2，且l1与x轴交于点M，l2与y轴交于点N，如图所示，求线段MN的中点P的轨迹方程．‎ 多角度审题　要求点P坐标，必须先求M、N两点，这样就要求直线l1、l2，又l1、l2过定点且垂直，只要l1的斜率存在，设一参数k1即可求出P点坐标，再消去k1即得点P轨迹方程．‎ ‎【答题模板】‎ 解　(1)当l1不平行于y轴时，设l1的斜率为k1，则k1≠0.因为l1⊥l2，‎ 所以l2的斜率为－，‎ l1的方程为y－b＝k1(x－a)，①‎ l2的方程为y－b＝－(x－a)，②‎ 在①中令y＝0，得M点的横坐标为x1＝a－，[4分]‎ 在②中令x＝0，得N点的纵坐标为y1＝b＋，[6分]‎ 设MN中点P的坐标为(x，y)，则有 消去k1，得2ax＋2by－a2－b2＝0 (x≠)．③[8分]‎ ‎(2)当l1平行于y轴时，MN中点为，其坐标满足方程③.‎ 综合(1)(2)知所求MN中点P的轨迹方程为2ax＋2by－a2－b2＝0.[12分]‎ ‎【突破思维障碍】‎ 引进l1的斜率k1作参数，写出l1、l2的直线方程，求出M、N的坐标，求出点P的坐标，得参数方程，消参化为普通方程，本题还要注意直线l1的斜率是否存在．‎ ‎【易错点剖析】‎ 当AM⊥x轴时，AM的斜率不存在，此时MN中点为，易错点是把斜率不存在的情况忽略，因而丢掉点.‎ ‎1．求轨迹方程的常用方法：(1)直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法．用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点，列式，代换，化简，证明五个步骤，但最后的证明可以省略．(2)定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程．(3)代入法：动点所满足的条件不易表达或求出，但形成轨迹的动点P(x，y)却随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法．(4)参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程．‎ ‎2．本节易错点：(1)容易忽略直线斜率不存在的情况；(2)利用定义求曲线方程时，应考虑是否符合曲线的定义．‎ ‎(满分：75分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果M是线段F1P的中点，则动点M的轨迹是(　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 ‎2．(2011·唐山模拟)已知A、B是两个定点，且|AB|＝3，|CB|－|CA|＝2，则点C的轨迹为(　　)‎ A．双曲线 B．双曲线的一支 C．椭圆 D．线段 ‎3．长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，＝2，则点C的轨迹是(　　)‎ A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 ‎4．(2011·银川模拟)如图，圆O：x2＋y2＝16，A(－2，0)，B(2,0)为两个定点．直线l是圆O的一条切线，若经过A、B两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是(　　)‎ A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．圆 ‎5．已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，平面内一个动点M满足|MF1|－|MF2|＝2，则动点M的轨迹是(　　)‎ A．双曲线 B．双曲线的一个分支 C．两条射线 D．一条射线 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于______．‎ ‎7．(2011·泰安月考)已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为______________．‎ ‎8．平面上有三点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为__________．‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)已知抛物线y2＝4px (p>0)，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于点M，求点M的轨迹方程．‎ ‎10．(12分)(2009·宁夏，海南)已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，＝λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．‎ ‎11．(14分)(2011·石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1(0，－)和F2(0，)为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x轴，y轴的交点分别为A，B，且＝＋.求：‎ ‎(1)点M的轨迹方程；‎ ‎(2)||的最小值．‎ 学案55　曲线与方程 自主梳理 ‎1．(1)曲线上的点的坐标　解　(2)曲线上的点　3.(1)曲线上任意一点M的坐标　(2){M|p(M)}　(4)最简形式　(5)曲线上 自我检测 ‎1．C　2.A　3.C　4.A ‎5．B　[‎ C1：(x－1)2＋y2＝1，‎ C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)．‎ 当m＝0时，C2：y＝0，此时C1与C2显然只有两个交点；‎ 当m≠0时，要满足题意，需圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝m(x＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m＝±，‎ 即直线处于两切线之间时满足题意，‎ 则－B>0，表示焦点在x轴上的椭圆；‎ ‎2°　A＝B>0，表示圆；‎ ‎3°　00>B，表示焦点在x轴上的双曲线；‎ ‎5°　A<00，点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(除去A、B两点)．‎ ‎②若k<0，(*)式可化为＋＝1.‎ ‎1°　当－1b>0)．‎ 连接MO，由三角形的中位线可得 ‎|F‎1M|＋|MO|＝a (a>|F1O|)，则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆．]‎ ‎2．B　[A、B是两个定点，|CB|－|CA|＝2<|AB|，所以点C轨迹为双曲线的一支．]‎ ‎3．C　[设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9，①‎ 又＝2，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，‎ 即②‎ 代入①式整理可得x2＋＝1.]‎ ‎4．B　[‎ 设抛物线的焦点为F，因为A、B在抛物线上，‎ 所以由抛物线的定义知，A、B到F的距离AF、BF分别等于A、B到准线l的距离AM、BN(如图所示)，‎ 于是|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|.‎ 过O作OR⊥l，由于l是圆O的一条切线，所以四边形AMNB是直角梯形，OR是中位线，‎ 故有|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|‎ ‎＝2|OR|＝8>4＝|AB|.‎ 根据椭圆的定义知，焦点F的轨迹是一个椭圆．]‎ ‎5．D　[因为|F‎1F2|＝2，|MF1|－|MF2|＝2，‎ 所以轨迹为一条射线．]‎ ‎6．4π 解析　设P(x，y)，由题知有：(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x－2)2＋y2＝4，可知圆的面积为4π.‎ ‎7．(x－10)2＋y2＝36 (y≠0)‎ 解析　方法一　直接法．‎ 设A(x，y)，y≠0，则D，‎ ‎∴|CD|＝ ＝3.‎ 化简得(x－10)2＋y2＝36，‎ ‎∵A、B、C三点构成三角形，‎ ‎∴A不能落在x轴上，即y≠0.‎ 方法二　‎ 定义法．如图所示，‎ 设A(x，y)，D为AB的中点，过A作AE∥CD交x轴于E，‎ 则E(10,0)．‎ ‎∵|CD|＝3，∴|AE|＝6，‎ ‎∴A到E的距离为常数6.‎ ‎∴A的轨迹为以E为圆心，6为半径的圆，‎ 即(x－10)2＋y2＝36.‎ 又A、B、C不共线，故A点纵坐标y≠0.‎ 故A点轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36 (y≠0)．‎ ‎8．y2＝8x 解析　＝，＝.‎ ‎∵⊥，∴·＝0，‎ 得2·x－·＝0，得y2＝8x.‎ ‎9．解　设M(x，y)，直线AB斜率存在时，‎ 设直线AB的方程为y＝kx＋b.‎ 由OM⊥AB得k＝－.‎ 设A、B两点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，‎ 由y2＝4px及y＝kx＋b消去y，‎ 得k2x2＋x(2kb－4p)＋b2＝0，所以x1x2＝.‎ 消去x，得ky2－4py＋4pb＝0，‎ 所以y1y2＝.(4分)‎ 由OA⊥OB，得y1y2＝－x1x2，‎ 所以＝－，b＝－4kp.‎ 故y＝kx＋b＝k(x－4p)．(8分)‎ 用k＝－代入，‎ 得x2＋y2－4px＝0 (x≠0)．(10分)‎ AB斜率不存在时，经验证也符合上式．‎ 故M的轨迹方程为x2＋y2－4px＝0 (x≠0)．(12分)‎ ‎10．解　(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，由已知得解得又∵b2＝a2－c2，∴b＝，‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.(4分)‎ ‎(2)设M(x，y)，其中x∈[－4,4]，‎ 由已知＝λ2及点P在椭圆C上可得＝λ2，‎ 整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112，‎ 其中x∈[－4,4]．(5分)‎ ‎①当λ＝时，化简得9y2＝112，‎ 所以点M的轨迹方程为y＝±(－4≤x≤4)．‎ 轨迹是两条平行于x轴的线段．(7分)‎ ‎②当λ≠时，方程变形为＋＝1，‎ 其中x∈[－4,4]．‎ 当0<λ<时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足－4≤x≤4的部分．‎ 当<λ<1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足－4≤x≤4的部分；‎ 当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点，长轴在x轴上的椭圆．(12分)‎ ‎11．解　(1)椭圆的方程可写为＋＝1，其中a>b>0，‎ 由得，所以曲线C的方程为x2＋＝1(01，y>2)．(10分)‎ ‎(2)||2＝x2＋y2，y2＝＝4＋，‎ 所以||2＝x2－1＋＋5≥4＋5＝9，‎ 当且仅当x2－1＝，即x＝时，上式取等号．‎ 故||的最小值为3.(14分)‎