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  • 2021-05-13 发布

安徽高考文科数学试题及答案

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绝密★启用前 ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)‎ ‎ 数 学(文科)‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第3至第4页。全卷满分l50分,考试时间l20分钟。‎ 参考公式:‎ ‎ S表示底面积,h表示底面上的高 如果事件A与B互斥,那么 棱柱体积V=Sh ‎ P(A+B)=P(A)+P(B) 棱锥体积V=‎ 第Ⅰ卷(选择题 共50分)‎ 一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.‎ ‎(1)若A=,B=,则=‎ ‎ (A)(-1,+∞) (B)(-∞,3) (C)(-1,3) (D)(1,3)‎ 答案:C 解析:画数轴易知.‎ ‎(2)已知,则i()=‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ 答案:B 解析:直接计算.‎ ‎(3)设向量,,则下列结论中正确的是 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)与垂直 答案:D 解析:利用公式计算,采用排除法.‎ ‎(4)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 ‎(A)x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 (D)x+2y-1=0‎ 答案:A 解析:利用点斜式方程.‎ ‎(5)设数列{}的前n项和=,则的值为 ‎(A) 15 (B) 16 (C) 49 (D)64‎ 答案:A 解析:利用=S8-S7,即前8项和减去前7项和.‎ ‎(6)设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像可能是 答案:D 解析:利用开口方向a、对称轴的位置、y轴上的截距点c之间关系,结合abc>0产生矛盾,采用排除法易知.‎ ‎(7)设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是 ‎(A)a>c>b (B)a>b>c (C)c>a>b (D)b>c>a 答案:A 解析:利用构造幂函数比较a、c再利用构造指数函数比较b、c.‎ ‎(8)设x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值是 ‎(A)3 (B) 4 (C) 6 (D)8‎ 答案:C 解析:画出可行域易求.‎ ‎(9)一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积是 ‎(A)372 (C)292 ‎ ‎(B)360 (D)280‎ 答案:B 解析:可理解为长8、宽10、高2的长方体和长6、宽2、高8的长方体组合而成,注意2×6重合两次,应减去.‎ ‎ ‎ ‎(10)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ 答案:C 解析:所有可能有6×6,所得的两条直线相互垂直有5×2.‎ 数 学(文科)(安徽卷)‎ 第Ⅱ卷(非选择题共100分)‎ 二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置·‎ ‎(11)命题“存在x∈R,使得x2+2x+5=‎0”‎的否定是 ‎ 答案:对任何X∈R,都有X2+2X+5≠0 ‎ 解析:依据“存在”的否定为“任何、任意”,易知.‎ ‎(12)抛物线y2=8x的焦点坐标是 ‎ 答案:(2,0) 解析:利用定义易知.‎ ‎(13)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出值x= ‎ 答案:12 解析:运算时X顺序取值为: 1,2,4,5,6,8,9,10,12.‎ ‎(14)某地有居民100000户,其中普通家庭99 000户,高收入家庭1 000户.从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户,从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取l00户进行调查,发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房,其中普通家庭50户,高收人家庭70户.依据这些数据并结合所掌握的统计知识,你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是 .‎ 答案:5.7% 解析: ,,易知.‎ ‎(15)若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是 . (写出所有正确命题的编号).‎ ‎①ab≤1; ②+≤; ③a2+b2≥2; ④a3+b3≥3; ‎ 答案:①,③,⑤ 解析:①,⑤化简后相同,令a=b=1排除②、易知④ ,再利用易知③正确 三、解答题:本大题共6小题.共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.‎ (16) ‎△ABC的面积是30,内角A,B,C,所对边长分别为a,b,c,cosA=.‎ (1) 求 (2) 若c-b=1,求a的值.‎ ‎(本小题满分12分)本题考查同角三角形函数基本关系,三角形面积公式,向量的数量积,利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.‎ 解:由cosA=,得sinA= =.‎ 又bc sinA=30,∴bc=156. ‎ ‎(1)=bc cosA=156·=144.‎ ‎(2)a2=b2+c2-2bc cosA=(c-b)2+2bc(1-cosA)=1+2·156·(1-)=25,‎ ‎∴a=5‎ (17) 椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率.‎ (1) 求椭圆E的方程;‎ (2) 求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程.‎ ‎(本小题满分12分)本题考查椭圆的定义,椭圆的标准方程及简单几何性质,直线的点斜式方程与一般方程,点到直线的距离公式等基础知识,考查解析几何的基本思想和综合运算能力.‎ 解:(1)设椭圆E的方程为 由e=,得=,b2=a2-c2 =‎3c2. ∴ 将A(2,3)代入,有 ,解得:c=2, 椭圆E的方程为 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知F1(-2,0),F2(2,0),所以直线AF1的方程为 y=(X+2),‎ 即3x-4y+6=0. 直线AF2的方程为x=2. 由椭圆E的图形知,‎ ‎∠F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数.‎ 设P(x,y)为∠F1AF2的角平分线所在直线上任一点,‎ 则有 若3x-4y+6=5x-10,得x+2y-8=0,其斜率为负,不合题意,舍去.‎ 于是3x-4y+6=-5x+10,即2x-y-1=0.‎ 所以∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为2x-y-1=0.‎ ‎18、(本小题满分13分)‎ ‎ 某市‎2010年4月1日—‎4月30日对空气污染指数的检测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物):‎ ‎ 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,‎ ‎ 77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45,‎ ‎(Ⅰ) 完成频率分布表;‎ ‎(Ⅱ)作出频率分布直方图;‎ ‎(Ⅲ)根据国家标准,污染指数在0~50之间时,空气质量为优:在51~100之间时,为良;在101~150之间时,为轻微污染;在151~200之间时,为轻度污染。‎ 请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简短评价.‎ ‎(本小题满分13分)本题考查频数,频数及频率分布直方图,考查运用统计知识解决简单实际问题的能力,数据处理能力和应用意识.‎ 解:(Ⅰ) 频率分布表:‎ 分 组 频 数 频 率 ‎[41,51)‎ ‎2‎ ‎[51,61)‎ ‎1‎ ‎[61,71)‎ ‎4‎ ‎[71,81)‎ ‎6‎ ‎[81,91)‎ ‎10‎ ‎[91,101)‎ ‎5‎ ‎[101,111)‎ ‎2‎ 空气污染指数 ‎4151 61 71 81 91 101 111‎ 频率 组距 ‎ (Ⅱ)频率分布直方图:‎ ‎(Ⅲ)答对下述两条中的一条即可:‎ ‎(i)该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平,占当月天数的. 有26天处于良好的水平,占当月天数的. 处于优或良的天数共有28天,占当月天数的. 说明该市空气质量基本良好.‎ ‎(ii)轻微污染有2天,占当月天数的. 污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天,加上处于轻微污染的天数,共有17天,占当月天数的,超过50%. 说明该市空气质量有待进一步改善.‎ (19) ‎(本小题满分13分)‎ 如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点,‎ ‎(Ⅰ)求证:FH∥平面EDB;‎ ‎(Ⅱ)求证:AC⊥平面EDB; ‎ ‎(Ⅲ)求四面体B—DEF的体积;‎ ‎(本小题满分13分)本题考查空间线面平行,线面垂直,面面垂直,体积的计算等基础知识,同时考查空间想象能力与推理论证能力.‎ ‎(Ⅰ) 证:设AC与BD交于点G,则G为AC的中点. 连EG,GH,由于H为BC的中点,故GH∥AB且 GH=AB 又EF∥AB且 EF=AB ‎∴EF∥GH. 且 EF=GH ∴四边形EFHG为平行四边形.‎ ‎∴EG∥FH,而EG 平面EDB,∴FH∥平面EDB.‎ ‎(Ⅱ)证:由四边形ABCD为正方形,有AB⊥BC.‎ 又EF∥AB,∴ EF⊥BC. 而EF⊥FB,∴ EF⊥平面BFC,∴ EF⊥FH.‎ ‎∴ AB⊥FH.又BF=FC H为BC的中点,FH⊥BC.∴ FH⊥平面ABCD.‎ ‎∴ FH⊥AC. 又FH∥EG,∴ AC⊥EG. 又AC⊥BD,EG∩BD=G,‎ ‎∴ AC⊥平面EDB.‎ ‎(Ⅲ)解:∵ EF⊥FB,∠BFC=90°,∴ BF⊥平面CDEF.‎ ‎∴ BF为四面体B-DEF的高. 又BC=AB=2, ∴ BF=FC= ‎ ‎(20)(本小题满分12分)‎ ‎ 设函数f(x)=sinx-cosx+x+1, 0﹤x﹤2 ,求函数f(x)的单调区间与极值.‎ ‎(本小题满分12分)本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性与极值的方法,考查综合运用数学知识解决问题的能力.‎ 解:由f(x)=sinx-cosx+x+1,0﹤x﹤2,‎ 知=cosx+sinx+1,‎ 于是=1+sin(x+ ).‎ 令=0,从而sin(x+ )=-,得x= ,或x=.‎ 当x变化时,,f(x)变化情况如下表:‎ X ‎(0, )‎ ‎(,)‎ ‎(,2 )‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ 单调递增↗‎ ‎+2‎ 单调递减↘‎ 单调递增↗‎ 因此,由上表知f(x)的单调递增区间是(0, )与(,2 ),单调递减区间是(,),极小值为f()=,极大值为f()= +2.‎ ‎(21)(本小题满分13分)‎ 设,...,,…是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在x轴的正半轴上,且都与直线y=x相切,对每一个正整数n,圆都与圆相互外切,以表示的半径,已知为递增数列.‎ ‎(Ⅰ)证明:为等比数列;‎ ‎(Ⅱ)设=1,求数列的前n项和. ‎ ‎(本小题满分13分)本题考查等比数列的基本知识,利用错位相减法求和等基本方法,考查抽象能力以及推理论证能力.‎ 解:(Ⅰ)将直线y=x的倾斜角记为 , 则有tan = ,sin =.‎ 设Cn的圆心为(,0),则由题意知= sin = ,得 = 2 ;同理,题意知将 = 2代入,解得 rn+1=3rn.‎ 故{ rn }为公比q=3的等比数列.‎ ‎(Ⅱ)由于r1=1,q=3,故rn=3n-1,从而 =n·,‎ 记Sn=, 则有 Sn=1+2·3-1+3·3-2+………+n·. ①‎ ‎=1·3-1+2·3-2+………+(n-1) ·+n·. ② ①-②,得 ‎=1+3-1 +3-2+………+-n· =- n·= –(n+)· ‎ Sn= – (n+)·.‎