高考十七大题 包含三角函数不等式向量正余弦定理等 10页

十七大题 (包含三角函数，不等式，向量，正余弦定理等)‎ ‎1已知向量=（sinB，1－cosB），且与向量=（2，0）的夹角为，其中A, B, C是ABC的内角．（I）求角Ｂ的大小； （II）求sinA+sinC的取值范围 解：（1）∵=（sinB，1-cosB） , 且与向量（2，0）所成角为 ‎∴∴tan 第一问：另解：∵ , 且与向量所成角为 ‎∴ ，∴，又，∴ ，即 ‎ ‎（2）：由（1）可得∴∵∴∴‎ 当且仅当 ‎2．已知、、三点的坐标分别为、、，，‎ ‎（I）若，求角的值；（II）若，求的值 解：（1）‎ ‎， 由得 又 ‎ ‎（2）由，得 ‎ 又=‎ 所以，=。‎ ‎3设向量，其中.‎ ‎（I）求的取值范围；（II）若函数的大小.‎ 解：（I）∵ ∴，∵，∴∴，∴。 ‎ ‎（II）∵，‎ ‎，‎ ‎∴， ∵，∴，∴，‎ ‎∴。 ‎ ‎4 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2‎ ‎ (I)求角A的大小； (II) 若a=，b+c=3，求b和c的值 解： （I）在△ABC中有B+C=π－A，由条件可得：4[1－cos(B+C)] －4cos‎2A+2=7‎ 又∵cos(B+C)= －cosA∴4cos‎2A－4cosA+1=0 解得 ‎ ‎（II）由 ‎ ‎5已知向量 () 和=()，∈［π，2π］．‎ 求的最大值；(2)当=时，求的值 解：(1) ‎ ‎=== ∵θ∈［π，2π］，∴，∴‎ ‎≤1 max=2． ‎ (2) 由已知,得 又 ‎ ‎∴ ∵θ∈［π，2π］∴，∴‎ ‎6 （本小题满分12分）已知△ABC的面积S满足, 且, 与的夹角为 ‎ ‎(I) 求的取值范围;(II)求函数的最小值 ‎ ‎ 解:(1)由题意知,,①‎ ‎,②‎ 由②÷①, 得, 即由得, 即 ‎ 又为与的夹角, ∴, ∴ ‎ ‎(2)‎ ‎∵, ∴‎ ‎∴, 即时, 的最小值为3 ‎ ‎7．(本题满分12分)已知向量，定义函数，求函数的最小正周期、单调递增区间 ‎ 解：因为所以 故 ‎ 令，则的单调递增的正值区间是 ，‎ 单调递减的正值区间是 当时，函数的单调递增区间为 当时，函数的单调递增区间为 ‎8已知sinα是方程的根，求的值.‎ 提示： ＝ ‎ ‎9已知 求：⑴；⑵‎ 解：⑴由，解得或= ∵ ∴ ⑵原式= ‎ ‎∴原式=‎ ‎10已知为锐角，且。　　（1）求的值；　　（2）求的值。 解（1）∵x为锐角∴ 　 ‎ ‎　　 ‎ ‎ ‎ ‎11、已知向量.①若点A、B、C不能构成三角形，求实数m应满足的条件；②若△ABC为直角三角形，求实数m的值.‎ 解①已知向量若点A、B、C不能构成三角形，则这三点共线， 故知 ∴实数时，满足的条件 ‎②若△ABC为直角三角形，且（1）∠A为直角，则， 解得 ‎12设两个向量ｅ１ 、ｅ２ ，满足｜ｅ１ ｜＝２，｜ｅ2 ｜＝１，ｅ１ ，ｅ2 的夹角为60°，若向量2ｔｅ１ ＋７ｅ2 与向量ｅ１ ＋ｔｅ2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.‎ 解：ｅ１２＝４，ｅ2２＝１，ｅ１·ｅ2＝２×１cos６０°＝１ ‎ ‎∴(2ｔｅ１＋7ｅ2)·(ｅ１＋ｔｅ2)＝２ｔｅ１２＋（２ｔ２＋７）ｅ１·ｅ2＋７ｔｅ２２＝２ｔ２＋１５ｔ＋７ ‎ ‎∴２ｔ２＋１５ｔ＋７＜０ ∴－７＜ｔ＜－ 设２ｔｅ１＋７ｅ2＝λ（ｅ１＋ｔｅ2）(λ＜０＝‎ ‎∴ｔ＝－时，２ｔｅ１＋７ｅ2与ｅ１＋ｔｅ2的夹角为π ∴ｔ的取值范围是（－７，－）∪（－，－） ‎ ‎13知向量=（2，2），向量与向量的夹角为，且·=－2，（1）求向量；（2）若，其中A、C是△ABC的内角，若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，试求|+|的取值范围.‎ 解：（1）设=（x,y），则∴解得 ‎（2） ∴∴‎ ‎∴ ∴‎ ‎14函数的图象如图所示.（Ⅰ）求函数f (x)的解析式；（Ⅱ）令 解：（Ⅰ）由图象可知，‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎15知平面上三个向量、、的模均为1，它们相互之间的夹角均为.(Ⅰ)求证：(Ⅱ)若，求的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）∵，且、、之间的夹角均为，∴ ‎ ‎（Ⅱ）∵， ∴ ∴，， ∵，∴，∴‎ ‎16 如果三内角满足：，求证：‎ 证：由 ∴ ，，‎ 代入得 ‎∴ 即 ‎∴ C为锐角 ∴ 即 ‎17（）‎ 解：原不等式 ‎① 当时，原不等式，此时，故原不等式的解集 ‎② 当时，原不等式<1> 若，则，则上式 ‎<2> 若，则，上式<3> 若，则，原不等式 ‎18‎ 解：原不等式① 当时，原不等式 ‎<1> 若，则或解集<2> 若，则原不等式，解集<3> 若，则解集 ‎② 当，即时，原不等式此时，解集 ‎19）‎ 解：原不等式同解于 ‎① 或②在①中，‎ 以此为讨论依据 ‎<1> 若，则①式，即而②式无解，故此式原不等式解为 ‎<2> 若，则原式无解 ‎<3> 若，则①式即而②式即 由①得，由②式得综上，当时，不等式解为 当时，不等式无解，当时，不等式解为 ‎20设函数，实数满足，求证：‎ 证明： ‎ 由已知 则 故 ‎21解不等式 ‎ 解：原不等式 另解：由，令，则原不等式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22）解：① 当时，原不等式 ‎② 当时，原不等式若，则上式若，则上式 由，故，从而 因此 ‎③ 当时，原不等式 由，故，则 故