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- 2021-05-13 发布
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不等式选讲综合测试
海南 李传牛
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若,则下列不等式中正确的是( ).
A. B. C. D.
1.D .
2.设, ,则的大小关系是( ).
A. B. C. D.
2.B ,即.
通过放大分母使得分母一样,整个分式值变小
3.设命题甲:,命题乙:,则甲是乙的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. A 命题甲:,或,甲可推出乙.
4.已知为非零实数,则最小值为( ) .
A. B. C. D.
4.B ,
∴所求最小值为.
5.正数满足,,则有( ).
A. B. C. D.与大小不定
5.C 特殊值:正数,满足,得.
或由得,
∴,(1)
由得,(2)
将(1)代入(2)得,即,∴.
6.如果关于的不等式的非负整数解是,那么实数的取值
范围是( ).
A. B. C. D.
6.A ,得,而正整数解是,则.
7.设,则的最小值为( ).
A. B. C. D.
7.C ,
.
8.已知的解集与的解集相同,则( ).
A. B. C. D.
8.B 由解得,因为的解集与
的解集相同,那么或为方程的解,则分别代入该方程,得.
9.已知不等式对任意正实数恒成立,则正实数的最小值为( ).
A. B. C. D.
9.B ∵,∴,∴.
10.设,则的最大值为( ).
A. B. C. D.
10.C 由排序不等式,所以.
11.已知,当时,恒为正,则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
11.B ,,即,
得,即.
12.用数学归纳法证明不等式的过程中,由逆推到时的不等式左边( ).
A. 增加了项 B.增加了“”,又减少了“”
C.增加了项 D.增加了,减少了
12.B 注意分母是连续正整数.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上.
13.不等式的解集为 .
13. ∵,∴,即,∴,,
∴原不等式的解集为.
14.已知函数,且,那么的取值范围是 .
14. ,,而,即.
15.函数的最小值为_____________.
15. .
16.若,且,则的最大值是 .
16. .
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
求证:.
17.证明:∵,
∴,
即.
18.(本小题满分10分)
无论取任何非零实数,试证明等式总不成立.
18.证明:设存在非零实数,使得等式成立,
则,
∴,即,
但是,即,从而得出矛盾.
故原命题成立.
19.(本小题满分12分)
已知,,为的三边,求证:.
19.证明:由余弦定理得,,
,
三式相加得,
而,且三者至多一个可等于,
即,
所以.
20.(本小题满分12分)
已知都是正数,求证:.
20.证明:要证,
只需证,即,
移项得,
∵都是正数,
∴,
∴原不等式成立.
21.(本小题满分12分)
某单位决定投资元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米造价元,两侧墙砌砖,每米造价元,顶部每平方米造价元,试问:(1)仓库面积的最大允许值是多少?(2)为使达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?
21.解:如图,设铁栅长为米,一堵砖墙长为米,则有,
由题意得,
应用二元均值不等式,
得
∴,即,
∵,∴,∴.
因此,的最大允许值是平方米,取得此最大值的条件是,
而,求得,即铁栅的长应是米.
22.(本小题满分12分)
已知是定义在上的单调递增函数,对于任意的满足
,且,满足.
(1)求;
(2)若,解不等式;
(3)求证:.
22.解:(1)因为任意的满足,
令,则,得;
(2),
而,
得,而是定义在上的单调递增函数,
,得不等式的解集为;
(3)∵,在上的单调递增,
∴时,,时,.
又,或,
∵,则,∴,
∴,
∴,得.
∵,且,,,
∴,∴,
得,∴,
即,而,
∴,又,
∴.
答案与解析:
备用题:
1.已知,,则下列命题中正确的是( ).
A. B. C. D.
1.D 令,可验证知D成立,
事实上我们有①,②,①﹢②可得.
2.已知,.设命题甲:满足;命题乙:且,那么甲是乙的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分条件也不必要条件
2.B ,,则,而,
即;命题甲:不能推出命题乙:且.
3.证明 ,假设时成立,当时,左端增加的项数是( ).
A.项 B.项 C.项 D.项
3.D 从增加的项数是.
4.如果恒成立,则的取值范围是 .
4. ,而恒成立,则,即.
5.已知函数在区间上的最大值比最小值大,则实数 .
5. 显然,而,则,
得是函数的递减区间,
,,
即,得,
,而,则.
6.要制作如图所示的铝合金窗架,当窗户采光面积为
一常数时(中间横梁面积忽略不计),要使所用的铝合
金材料最省,窗户的宽与高的比应为 .
6. 设宽为,高为,则,所用的铝合金材料为,
,此时,.
7.若,试比较与的大小.
7.解:,
即,而,则,
得,即,所以.
8.已知,设:函数在上单调递减,:不等式的解集
为.如果和有且仅有一个正确,求的取值范围.
8.解:∵在上单调递减,∴,
又∵的最小值是,
∴,即,
由题设,当为真为假时,有,且,
∴;
当为假为真时,有且,∴.
故的取值范围是.
作 者 李传牛 工作单位 海南省海口市第十四中学 邮政编码 570311
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