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- 2021-05-13 发布
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核心突破——直线与圆锥曲线的位置关系
山东 刘乃东
1.有关直线与圆锥曲线的交点个数问题
有关直线与圆锥曲线的交点个数问题,就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解的个数问题,特别地,对于直线与圆的交点的个数问题,则常利用初中所学有关知识解决;有关弦的中点问题,则应注意灵活运用“差分法”,设而不求,简化运算。
2.解析几何中的最值、定值问题
常用的方法和技巧有:利用二次函数的性质、三角函数的有界性、基本不等式、函数的单调性、函数的导数、数形结合等。
3.向量与解析几何的结合
运用向量的方法解决解析几何问题,有时可简化运算(平行、垂直与夹角);也可以把向量转化为坐标运算。
注:(1)关于圆锥曲线的参数取值范围和几何最值问题实属一类问题,其解题方法是统一的,往往都是代数、三角、几何多方面知识的渗透与综合,函数、方程、不等式、转化、化归、分类讨论等多种思想的交叉运用,换元、数形结合、三角代换等多种方法技巧的灵活运用。
(2)求范围与最值问题首先应在做题前弄清:①平面几何知识,如三角形三边不等关系,两点之间线段最短等;②涉及直线与圆锥曲线的公共点,判别式解出不等式;③圆锥曲线上点的坐标的范围;④题目已知条件,某一参数已知的取值范围。
(3)求范围与最值问题的解题方法主要有以下几种:①数形结合法;②函数法;③变量替换法;④不等式法。
例1 已知抛物线的弦经过点,且(为坐标原点),求弦的长。
分析:要求弦的长,只需求出、两点的坐标,为此设出、两点的坐标,利用的条件和、、三点共线的条件求解。
解析:由、两点在抛物线上,可设,
∵,∴。
由得,
∵,∴。 ①
∵点、与点在一条直线上,
∴,化简整理得,
将①代入得 ②
由①和②得,从而点的坐标为,点的坐标为,
∴。
点评:通过解方程组求得、两点的坐标,然后利用两点间的距离公式求解。
例2 给定双曲线。
(1)过点的直线与所给曲线交于两点、,如果点是弦的中点,求的方程;
(2)把点改为,具备上述性质的直线是否存在?如果存在,求出方程;如果不存在,请说明理由。
分析:该例综合性较强,要注意分类讨论思想的运用。
解析:(1)法1:设过点的弦的端点、,
则两式相减得,
故所求直线的方程为。
法2:设直线斜率为,
①不存在时,过的直线是,它与双曲线的交点是方程组,交点为不符合题意,舍去。
②当存在时,由消去得
①
设直线与双曲线的两个交点为、,则是方程①的两个根,则
解此方程组得,故所求直线的方程为。
(2)点坐标为,直线方程为不存在时,舍去)。
∴,消去得,
则
解得,但不满足条件。
故不存在适合题意的直线。
点评:以某一定点为弦的中点求弦的方程,也要结合韦达定理的中点坐标公式,或者用设点不求的技巧——差点法巧妙地求出斜率。
例3 已知直线与曲线恰有一个公共点,求实数的值。
分析:切莫先入为主,武断地届定为抛物线方程,因为参数在变化,当时,即变为,此时是一条直线。
解析:直线与抛物线组成方程组
当时,此方程组恰有一组解为
当时,消去得。若,即,方程变为,此时方程组有一组解;若时,即,由得,解得,此时直线与抛物线相切,只有一个公共点。
综上所述,当或或时,直线与曲线只有一个公共点。
点评:对于开放的曲线,仅是直线与圆锥曲线有一个公共点的充分但不必要条件,解题时应特别注意。
练习:
1.为过椭圆中心的弦,是椭圆的右焦点,则的面积的最大值是( )
. . . .
2.若椭圆经过点,则的最小值为( )
.12 .16 .18 .20
3.点在直线上,过作圆的两条切线,其中、是切点,那么四边形(是原点)面积的最小值是。
答案:
1.
2.
3.8