高考数学试题分类汇编立体几何 65页

‎2009年高考数学试题分类汇编——立体几何 一、选择题 ‎1.(2009年广东卷文)给定下列四个命题： ‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行；21世纪教育网 ‎ ‎④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. ‎ 其中，为真命题的是 ‎ A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ ‎ ‎【答案】D ‎【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选D ‎2.（2009广东卷理）给定下列四个命题：‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ‎ ‎④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．‎ 其中，为真命题的是 ‎ A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④‎ ‎【解析】选D.‎ ‎3.（2009浙江卷理）在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 ( )‎ A． B． C． D． 21世纪教育网 ‎ 答案：C ‎ ‎【解析】取BC的中点E，则面，，因此与平面所成角即为，设，则，，即有．‎ ‎4.（2009浙江卷文）设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 ‎ C．若，则 D．若，则 ‎ ‎4．C 【命题意图】此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系，通过对平行和垂直的考查，充分调动了立体几何中的基本元素关系．‎ ‎【解析】对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的．21世纪教育网 ‎ ‎5.（2009北京卷文）若正四棱柱的底面边长为1，与底面ABCD成60°角，则到底面ABCD的距离为 ( )‎ A． B． ‎1 ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎.w【解析】.k本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. ‎ 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ 依题意，，如图，‎ ‎，故选D.‎ ‎6.（2009北京卷理）若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60°角，则到底面的距离为 （ ）‎ ‎ A． B．1 ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、‎ 直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. （第4题解答图）‎ 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ 依题意，，如图，‎ ‎，故选D.‎ ‎7. (2009山东卷理)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ 正(主)视图 ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ 侧(左)视图 ‎ 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面 边长为，高为，所以体积为 所以该几何体的体积为.‎ 答案:C ‎【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,‎ 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 俯视图 ‎ 计算出.几何体的体积.‎ ‎8. (2009山东卷理)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的 一条直线，则“”是“”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的 一条直线,,则,反过来则不一定.所以“”是“”的必要不充分条件. ‎ 答案:B.‎ ‎【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.‎ ‎9. (2009山东卷文)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线,,则,反过来则不一定.所以“”是“”的必要不充分条件 .‎ 答案:B.‎ ‎【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.‎ ‎10.（2009全国卷Ⅱ文） 已知正四棱柱中，=，为重点，则异面直线与所形成角的余弦值为 ‎（A） (B) (C) (D) ‎ 答案：C 解析：本题考查异面直线夹角求法，方法一：利用平移，CD’∥BA',因此求△EBA'中∠A'BE即可，易知EB=,A'E=1,A'B=,故由余弦定理求cos∠A'BE=，或由向量法可求。‎ ‎11.（2009全国卷Ⅱ文）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于，则球O的表面积等于 × ‎ ‎ 答案：8π 解析：本题考查立体几何球面知识，注意结合平面几何知识进行运算，由 ‎12.（2009全国卷Ⅰ理）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ D ）‎ ‎（A） （B） （C） (D) ‎ 解：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知.故选D ‎ ‎13.（2009全国卷Ⅰ理）已知二面角α-l-β为 ，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ C ）‎ ‎(A) (B)2 (C) (D)4 ‎ 解:如图分别作 ‎ ‎，连 ‎，‎ 又 当且仅当，即重合时取最小值。‎ 故答案选C。 ‎ ‎14.（2009江西卷文）如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为 ‎. . ∥截面 ‎ ‎. . 异面直线与所成的角为 答案：C ‎【解析】由∥，∥，⊥可得⊥，故正确；由∥可得∥截面，故正确； ‎ 异面直线与所成的角等于与所成的角，故正确；‎ 综上是错误的，故选.‎ ‎15.（2009江西卷理）如图，正四面体的顶点，，分别在两两垂直的三条射线，，上，则在下列命题中，错误的为 ‎ A．是正三棱锥 B．直线∥平面 C．直线与所成的角是 D．二面角为 21世纪教育网 ‎ 答案：B ‎【解析】将原图补为正方体不难得出B为错误，故选B ‎16.（2009四川卷文）如图，已知六棱锥的底面是正六边形，‎ 则下列结论正确的是 ‎ A. ‎ ‎ B. ‎ ‎ C. 直线∥‎ ‎ D. 直线所成的角为45°‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，所以也不成立；BC∥AD∥平面PAD, ∴直线∥也不成立。在中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°. ∴D正确 ‎17.（2009四川卷文）如图，在半径为3的球面上有三点，=90°，,‎ ‎ 球心O到平面的距离是，则两点的球面距离是 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.2‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵AC是小圆的直径。所以过球心O作小圆的垂线，垂足O’是AC的中点。‎ ‎ O’C＝，AC＝3，∴BC＝3，即BC＝OB＝OC。∴‎ ‎ ，则两点的球面距离＝‎ ‎18.（2009全国卷Ⅱ理）已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 ‎ A. B. C. D. ‎ 解：令则,连∥ 异面直线与所成的角即 与所成的角。在中由余弦定理易得。故选C ‎19.（2009辽宁卷理）正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为 ‎（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2‎ ‎【解析】由于G是PB的中点,故P－GAC的体积等于B－GAC的体积 ‎ 在底面正六边形ABCDER中A B C D E F H ‎ BH＝ABtan30°＝AB ‎ 而BD＝AB ‎ 故DH＝2BH ‎ 于是VD－GAC＝2VB－GAC＝2VP－GAC ‎【答案】C ‎20.（2009宁夏海南卷理） 如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是 ‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）三棱锥的体积为定值 ‎（D）异面直线所成的角为定值 解析：A正确，易证B显然正确，；C正确，可用等积法求得；D错误。选D.‎ ‎21.（2009宁夏海南卷理）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c）为 ‎（A）48+12 （B）48+24 （C）36+12 （D）36+24‎ 解析：选A.‎ ‎22.（2009湖北卷文）如图，在三棱柱ABC-A1B‎1C1中，∠ACB=900,∠ACC1=600,∠BCC1=450,侧棱CC1的长为1，则该三棱柱的高等于 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】过顶点A作底面ABC的垂线，由已知条件和立体几何线面关系易求得高的长.‎ ‎23.（2009湖南卷文）平面六面体中，既与共面也与共面的棱的条数为【 C 】‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6 ‎ 解:如图，用列举法知合要求的棱为：‎ ‎、、、、，‎ 故选C.‎ ‎24.（2009辽宁卷文）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为 ‎（A）0.8 （B）0.75 （C）0.5 （D）0.25‎ ‎【解析】设地球半径为R,则北纬纬线圆的半径为Rcos60°＝R ‎ 而圆周长之比等于半径之比,故北纬纬线长和赤道长的比值为0.5.‎ ‎【答案】C ‎25.（2009全国卷Ⅰ文）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角，基础题。（同理7）‎ 解：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角 ‎,由三角余弦定理，易知.故选D ‎ ‎26.（2009四川卷文）如图，已知六棱锥的底面是正六边形，‎ 则下列结论正确的是 ‎ A. ‎ ‎ B. ‎ ‎ C. 直线∥‎ ‎ D. 直线所成的角为45°‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，所以也不成立；BC∥AD∥平面PAD, ∴直线∥也不成立。在中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°. ∴D正确 ‎27.（2009四川卷文）如图，在半径为3的球面上有三点，=90°，,‎ ‎ 球心O到平面的距离是，则两点的球面距离是 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.2‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵AC是小圆的直径。所以过球心O作小圆的垂线，垂足O’是AC的中点。‎ ‎ O’C＝，AC＝3，∴BC＝3，即BC＝OB＝OC。∴，则两点的球面距离＝‎ ‎28.（2009陕西卷文）若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 ‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 答案:B.‎ ‎ 解析:由题意知 以 正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体（即两个同底同高同棱长的正四棱锥），所有棱长均为1，其中每个正四棱锥的高均为，故正八面体的体积为, 故选B.‎ ‎29.（2009宁夏海南卷文） 如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是 ‎ ‎ （A） ‎ ‎（B）‎ ‎ （C）三棱锥的体积为定值 ‎ （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】可证故A正确，由∥平面ABCD，可知，B也正确；连结BD交AC于O，则AO为三棱锥的高，，三棱锥的体积为为定值，C正确；D错误。选D.‎ ‎30.（2009宁夏海南卷文）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：）为 ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】棱锥的直观图如右，则有PO＝4，OD＝3，由勾股定理，得PD＝5，AB＝6，全面积为：×6×6＋2××6×5＋×6×4＝48＋12，故选.A。‎ ‎31.(2009湖南卷理)正方体ABCD—的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为（C）‎ A．2 B．‎3 ‎‎ C. 4 D. 5 ‎ ‎【答案】：C ‎【解析】解析如图示，则BC中点，点，点，点分别到两异面直线的距离相等。即满足条件的点有四个，故选C项。‎ ‎32.（2009四川卷理）如图，已知六棱锥的底面是正六边形，，则下列结论正确的是 Ａ.　　 ‎ Ｂ.平面 ‎ C. 直线∥平面 Ｄ.‎ ‎【考点定位】本小题考查空间里的线线、线面关系，基础题。（同文6）‎ 解：由三垂线定理，因AD与AB不相互垂直，排除A；作于，‎ 因面面ABCDEF，而AG在面ABCDEF上的射影在AB上，而AB与BC不相互垂直，故排除B；由，而EF是平面PAE的斜线，故排除C，故选择D。‎ 解析2：设低面正六边形边长为，则，由平面可知，且，所以在中有直线与平面所成的角为，故应选D。‎ ‎33.（2009四川卷理）如图，在半径为3的球面上有三点，，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是 A. B. C. D. ‎ ‎【考点定位】本小题考查球的截面圆性质、球面距，基础题。（同文9）‎ 解析：由知截面圆的半径 ‎，故，所以 两点的球面距离为，故选择B。‎ 解析2：过球心作平面的垂线交平面与，，则在直线上，由于，，所以，由为等腰直角三角形可得，所以为等边三角形，则两点的球面距离是。‎ ‎34.（2009重庆卷理）已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数为（ ） ‎ A．2 B．‎3 ‎ C．4 D．5 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】是度数为的二面角的一个平面角，的平分线，当过P的直线与平行时，满足条件，当过点p的直线与AD平行，也是满足条件直线，与AD直线类似，过点的直线与 BE平行也是满足条件得共有3条。‎ ‎35.（2009重庆卷文）在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是（ ）‎ A．若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为 B．若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为 C．若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为 D．若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为 ‎【答案】C 解析设底面边长为1，侧棱长为，过作。‎ 在中，，由三角形面积关系得21世纪教育网 ‎ 设在正四棱柱中，由于，‎ 所以平面，于是，所以平面，故 为点到平面 的距离，在中，又由三角形面积关系得于是，于是当，所以，所以 二、填空题 ‎1.（2009浙江卷理）若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 ．‎ 答案：18‎ ‎【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为18‎ ‎2.（2009浙江卷理）如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点 作，为垂足．设，则的取值范围是 ．‎ 答案： ‎ ‎ 【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，，随着F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此 的取值范围是 21世纪教育网 ‎ ‎3.（2009浙江卷文）若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 ．‎ ‎【命题意图】此题主要是考查了几何体的三视图，通过三视图的考查充分体现了几何体直观的考查要求，与表面积和体积结合的考查方法．‎ ‎【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为18‎ ‎4.（2009江苏卷）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 . ‎ ‎【解析】 考查类比的方法。体积比为1：8 ‎ ‎5.（2009江苏卷）设和为不重合的两个平面，给出下列命题： ‎ ‎（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；‎ ‎（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；‎ ‎（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；‎ ‎（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。‎ 上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）. ‎ ‎【解析】 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。‎ 真命题的序号是(1)(2)‎ ‎6.（2009全国卷Ⅰ理）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。 ‎ 解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为. ‎ ‎7.（2009安徽卷理）对于四面体ABCD，下列命题正确的是_________‎ ‎（写出所有正确命题的编号）。 ‎ 相对棱AB与CD所在的直线异面；‎ 由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点；‎ 若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；‎ 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点;‎ 最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。‎ ‎[解析]①④⑤‎ ‎8.（2009安徽卷文）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________。‎ ‎【解析】设由可得故 ‎【答案】(0,-1，0) 21世纪教育网 ‎ ‎9.（2009安徽卷文）对于四面体ABCD，下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）。‎ ‎○11相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；‎ ‎○22由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点；‎ ‎○33若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；‎ ‎○44任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；‎ ‎○55分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点。21世纪教育网 ‎ ‎【解析】由空间四面体棱,面关系可判断①④⑤正确,可举例说明②③错误.‎ ‎【答案】①④⑤‎ ‎10.（2009江西卷理）正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为 　　．‎ 答案：‎ ‎【解析】由条件可得，所以，到平面的距离为，所以所求体积等于．‎ ‎11.（2009四川卷文）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。 ‎ ‎【答案】90°‎ ‎【解析】作BC的中点N，连接AN，则AN⊥平面BCC1B1，‎ ‎ 连接B1N，则B1N是AB1在平面BCC1B1的射影，‎ ‎∵B1N⊥BM，∴AB1⊥BM.即异面直线所成的角的大小是90°‎ ‎12.（2009全国卷Ⅱ理）设是球的半径，是的中点，过且与成45°角的平面截球的表面得到圆。若圆的面积等于，则球的表面积等于 .‎ 解：设球半径为，圆的半径为，‎ ‎ 因为。由得.故球的表面积等于.‎ ‎13.（2009辽宁卷理）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。 ‎ ‎ 则该几何体的体积为 ‎ ‎【解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3, 体积等于×2×4×3＝4‎ ‎【答案】4‎ ‎14.（2009全国卷Ⅰ文）已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于__________________.‎ ‎【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。‎ 解：设球半径为，圆M的半径为，则，即由题得，所以。‎ ‎15.（2009四川卷文）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。 ‎ ‎【答案】90°‎ ‎【解析】作BC的中点N，连接AN，则AN⊥平面BCC1B1，连接B1N，则B1N是AB1在平面BCC1B1的射影，∵B1N⊥BM，∴AB1⊥BM.即异面直线所成的角的大小是90°‎ ‎16.（2009陕西卷文）如图球O的半径为2，圆是一小圆，，A、B是圆上两点，若=，则A,B两点间的球面距离为 .‎ 答案: ‎A B O1‎ O ‎ ‎ 解析:由,=2由勾股定理在中 则有, 又= 则 所以在，‎ ‎，则，那么 21世纪教育网 ‎ 由弧长公式得.‎ ‎17.(2009湖南卷理)在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则 ‎ ‎（1）球心到平面ABC的距离为 12 ；‎ ‎（2）过Ａ，B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为 3 ‎ ‎【答案】：（1）12；（2）3‎ ‎【解析】（1）由的三边大小易知此三角形是直角三角形，所以过三点小圆的直径即为10，也即半径是5，设球心到小圆的距离是，则由，可得。（2）设过三点的截面圆的圆心是中点是点，球心是点，则连三角形，易知就是所求的二面角的一个平面角，，所以，即正切值是3。21世纪教育网 ‎ ‎18.（2009天津卷理）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则_______‎ ‎【考点定位】本小题考查三视图、三棱柱的体积，基础题。‎ 解析：知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2，底边上的高为的等腰三角形，所以有。‎ ‎19.（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧 棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。 ‎ ‎【考点定位】本小题考查异面直线的夹角，基础题。‎ 解析：不妨设棱长为2，选择基向量，则 ‎，故填写。‎ 法2：取BC中点N，连结，则面，∴是在面上的射影，由几何知识知，由三垂线定理得，故填写。‎ ‎20.（2009福建卷文）如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该集合体的俯视图可以是 解析 解法1 由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选C.‎ ‎ 解法2 当俯视图是A时，正方体的体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是，高为1，则体积是；当俯视是C时，该几何是直三棱柱，故体积是，当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成，其体积是.故选C.‎ ‎20.（2009年上海卷理）如图，若正四棱柱的底面连长为2，高 为4，则异面直线与AD所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】因为AD∥A1D1，异面直线BD1与AD所成角就是BD1与A1D1所在角，即∠A1D1B，‎ 由勾股定理，得A1B＝2，tan∠A1D1B＝，所以，∠A1D1B＝。‎ ‎21.（2009年上海卷理）已知三个球的半径，，满足，则它们的表面积，，，满足的等量关系是___________. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，同理：，即R1＝，R2＝，R3＝，由得 二、填空题 ‎1.(2009年广东卷文)（本小题满分13分）‎ 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.‎ ‎（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;‎ ‎（2）求该安全标识墩的体积 ‎（3）证明:直线BD平面PEG ‎【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.‎ ‎　　　（２）该安全标识墩的体积为：‎ ‎　　　　　‎ ‎　　　（３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO.‎ ‎ 由正四棱锥的性质可知,平面EFGH , ‎ ‎ 又 平面PEG ‎ 又 平面PEG；21世纪教育网 ‎ ‎2.（2009广东卷理）（本小题满分14分）‎ z y x E1‎ G1‎ 如图6，已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点、分别是棱的中点．设点分别是点，在平面内的正投影．‎ ‎（1）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；‎ ‎（2）证明：直线平面；‎ ‎（3）求异面直线所成角的正弦值.‎ 解：（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、、、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为 ‎ ，‎ 又面，，∴.‎ ‎（2）以为坐标原点，、、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，，，则，，，‎ ‎∴，，即，，‎ 又，∴平面.‎ ‎（3），，则，设异面直线所成角为，则.‎ ‎3.（2009浙江卷理）（本题满分15分）如图，平面平面，‎ 是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，‎ ‎，的中点，，．‎ ‎ （I）设是的中点，证明：平面；‎ ‎ （II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．‎ 证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，21世纪教育网 ‎ 则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面 ‎（II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为．21世纪教育网 ‎ ‎4.（2009浙江卷文）（本题满分14分）如图，平面，，，，分别为的中点．（I）证明：平面；（II）求与平面所成角的正弦值．‎ ‎（Ⅰ）证明：连接， 在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD ‎（Ⅱ）在中，，所以 ‎ 而DC平面ABC，，所以平面ABC ‎ 而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE 由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以 ‎ 所以平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP，‎ ‎ 所以直线AD与平面ABE所成角是 ‎ 在中， ，‎ 所以 ‎5.（2009北京卷文）（本小题共14分）‎ 如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面； ‎ ‎（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与 平面PDB所成的角的大小.‎ ‎【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．‎ ‎（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，‎ ‎∵，‎ ‎∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，‎ ‎∴平面.‎ ‎（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，‎ ‎ 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，‎ ‎ ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，‎ ‎ ∴O，E分别为DB、PB的中点，‎ ‎ ∴OE//PD，，又∵，‎ ‎ ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，‎ ‎ 在Rt△AOE中，，‎ ‎ ∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.‎ ‎【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，‎ ‎ 设 则，‎ ‎（Ⅰ）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，‎ ‎∴平面.‎ ‎（Ⅱ）当且E为PB的中点时，，‎ ‎ 设AC∩BD=O，连接OE， ‎ ‎ 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，‎ ‎ ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，‎ ‎ ∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.‎ ‎6.（2009北京卷理）（本小题共14分）‎ ‎ 如图，在三棱锥中，底面，‎ 点，分别在棱上，且 ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；‎ ‎（Ⅲ）是否存在点使得二面角 为直二面角？并说明理由.‎ ‎【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．‎ ‎（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.‎ 又，∴AC⊥BC.‎ ‎∴BC⊥平面PAC.‎ ‎（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，‎ ‎∴，‎ 又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，‎ ‎∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.‎ ‎∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，‎ ‎∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，‎ ‎∴△ABP为等腰直角三角形，∴，‎ ‎∴在Rt△ABC中，，∴.‎ ‎∴在Rt△ADE中，，‎ ‎∴与平面所成的角的大小.‎ ‎（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，‎ 又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，‎ ‎∴∠AEP为二面角的平面角，‎ ‎∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.‎ ‎∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，‎ 故存在点E使得二面角是直二面角.‎ ‎【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，‎ ‎ 设，由已知可得 ‎ .‎ ‎ （Ⅰ）∵，‎ ‎∴，∴BC⊥AP.‎ 又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.‎ ‎（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.‎ ‎∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴与平面所成的角的大小.‎ ‎（Ⅲ）同解法1.‎ ‎7.(2009山东卷理)（本小题满分12分）‎ E ‎ A ‎ B ‎ C ‎ F ‎ E1 ‎ A1 ‎ B1 ‎ C1 ‎ D1 ‎ D ‎ ‎ 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。‎ （1） 证明：直线EE//平面FCC；‎ （2） 求二面角B-FC-C的余弦值。 ‎ 解法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，‎ E ‎ A ‎ B ‎ C ‎ F ‎ E1 ‎ A1 ‎ B1 ‎ C1 ‎ D1 ‎ D ‎ F1 ‎ O ‎ P ‎ 连接A1D，C‎1F1，CF1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD，‎ 所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D，‎ 又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1//A1D，‎ 所以CF1//EE1，又因为平面FCC，平面FCC，‎ 所以直线EE//平面FCC.‎ ‎（2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在△BCF为正三角形中,,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,‎ ‎∵∴, ‎ 在Rt△OPF中,,,所以二面角B-FC-C的余弦值为.‎ E ‎ A ‎ B ‎ C ‎ F ‎ E1 ‎ A1 ‎ B1 ‎ C1 ‎ D1 ‎ D ‎ x ‎ y ‎ z ‎ M ‎ 解法二:（1）因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,‎ 所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为 等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,‎ 连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,‎ 以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,‎ ‎,则D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,‎ C1（0,2,2）,E（,,0）,E1（,-1,1）,所以,,设平面CC‎1F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE//平面FCC. ‎ ‎（2）,设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则,‎ ‎,, ‎ 所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为. ‎ ‎【命题立意】:本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空间想象能力和推理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力.‎ ‎8.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）21世纪教育网 ‎ 如图，直三棱柱ABC-A1B‎1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B‎1C的中点，DE⊥平面BCC1‎ ‎（Ⅰ）证明：AB=AC ‎ ‎（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B‎1C与平面BCD所成的角的大小 解析：本题考查线面垂直证明线面夹角的求法，第一问可取BC中点F，通过证明AF⊥平面BCC1,再证AF为BC的垂直平分线，第二问先作出线面夹角，即证四边形AFED是正方形可证平面DEF⊥平面BDC，从而找到线面夹角求解。此题两问也可建立空间直角坐标系利用向量法求解。‎ 解法一：（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF，从而EFDA。‎ A C B A1‎ B1‎ C1‎ D E 连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE⊥平面，故AF⊥平面，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。‎ ‎（Ⅱ）作AG⊥BD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，∠AGC=600..‎ ‎ 设AC=2，则AG=。又AB=2，BC=，故AF=。‎ 由得2AD=，解得AD=。‎ 故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。‎ 因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。‎ 连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。‎ 连接CH，则∠ECH为与平面BCD所成的角。21世纪教育网 ‎ 因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又EC==2，‎ 所以∠ECH=300，即与平面BCD所成的角为300.‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。‎ 设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，‎2c）,E（，，c）.‎ 于是=（，，0），=（-1，b,0）.由DE⊥平面知DE⊥BC， =0，求得b=1，所以 AB=AC。‎ ‎（Ⅱ）设平面BCD的法向量则 又=（-1，1， 0），‎ ‎=（-1，0，c）,故 ‎ 令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ).‎ 又平面的法向量=（0，1，0）‎ 由二面角为60°知，=60°，‎ 故 °，求得 ‎ 于是 ， ‎ ‎，‎ ‎ °‎ 所以与平面所成的角为30°‎ ‎9.（2009江苏卷）（本小题满分14分） ‎ 如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。 ‎ 求证：（1）EF∥平面ABC； ‎ ‎（2）平面平面.‎ ‎【解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。满分14分。‎ ‎10.（2009全国卷Ⅰ理）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面， ，点M在侧棱上，=60°‎ ‎（I）证明：M在侧棱的中点 ‎（II）求二面角的大小。‎ ‎（I）解法一：作∥交于N，作交于E，‎ 连ME、NB，则面，,‎ 设，则,‎ 在中，。‎ 在中由 解得，从而 M为侧棱的中点M. ‎ 解法二:过作的平行线.‎ 解法三:利用向量处理. 详细可见09年高考参考答案. ‎ ‎（II）分析一:‎ 利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。‎ 过作∥交于,作交于,作交于,则∥,面,面面,面即为所求二面角的补角.‎ 分析二：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证，则即为所求二面角.‎ 分析三：利用空间向量求。在两个半平面内分别与交线AM垂直的两个向量的夹角即可。‎ 另外：利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等，这些方法也能奏效。‎ 总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。‎ ‎11.（2009安徽卷理）（本小题满分13分）‎ 如图，四棱锥F－ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.‎ ‎（I）求二面角B－AF－D的大小；‎ ‎（II）求四棱锥E－ABCD与四棱锥F－ABCD公共部分的体积.‎ 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分13分。‎ 解：（I）（综合法）连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OGAF，‎ G为垂足。连接BG、DG。由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF。 ‎ 于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD为二面角B－AF－D 的平面角。‎ 由， ，得， ‎ 由，得 ‎（向量法）以A为坐标原点，、、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）‎ 设平面ABF的法向量，则由得 令，得，‎ 同理，可求得平面ADF的法向量。 ‎ 由知，平面ABF与平面ADF垂直，‎ 二面角B-AF-D的大小等于。‎ ‎（II）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。‎ 过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足。‎ 因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，，所以平面ACFE⊥平面ABCD，从而 由得。‎ 又因为 ‎ 故四棱锥H-ABCD的体积 ‎13.（2009安徽卷文）（本小题满分13分）‎ 如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，g和F式l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC， 和是平面ABCD内的两点，和都与平面ABCD垂直，‎ ‎（Ⅰ）证明：直线垂直且平分线段AD：21世纪教育网 ‎ ‎（Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面 体ABCDEF的体积。‎ ‎【思路】根据空间线面关系可证线线垂直，由分割法可求得多面体体积，体现的是一种部分与整体的基本思想。‎ ‎【解析】(1)由于EA=ED且 点E在线段AD的垂直平分线上,同理点F在线段BC的垂直平分线上.‎ 又ABCD是四方形 线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线 即点EF都居线段AD的垂直平分线上. 21世纪教育网 ‎ 所以,直线EF垂直平分线段AD.‎ ‎(2)连接EB、EC由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥E—ABCD和正四面体E—BCF两部分.设AD中点为M,在Rt△MEE中,由于ME=1, .‎ ‎—ABCD 又—BCF=VC－BEF=VC－BEA=VE－ABC 多面体ABCDEF的体积为VE—ABCD＋VE—BCF=‎ ‎14.（2009江西卷文）（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，．以的中点为球心、为直径的球面交于点．‎ ‎（1）求证：平面⊥平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成的角；‎ ‎（3）求点到平面的距离．‎ 解：方法（一）：‎ ‎（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.‎ 因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，‎ 所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.‎ ‎（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，‎ 由（1）知，ＰＤ⊥‎ 平面ＡＢＭ，则MN是PN在平面ABM上的射影，‎ 所以 就是与平面所成的角，‎ 且 ‎ ‎ 所求角为 ‎（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离.‎ 因为在Rt△PAD中，，，所以为中点，，则O点到平面ABM的距离等于。‎ 方法二：‎ ‎（1）同方法一；‎ ‎（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，， ，，，‎ 设平面的一个法向量，由可得：，令，则，即.设所求角为，则，‎ 所求角的大小为. ‎ ‎（3）设所求距离为，由，得：‎ ‎15.（2009江西卷理）（本小题满分12分）‎ 在四棱锥中，底面是矩形，平面，，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.‎ ‎（1）求证：平面⊥平面； ‎ ‎（2）求直线与平面所成的角的大小；‎ ‎（3）求点到平面的距离.‎ 解：‎ 方法一：（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC。‎ 又因为P A⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，‎ 所以CD⊥平面ＰＡＤ，则CD⊥AM，所以A M⊥平面PCD，‎ 所以平面ABM⊥平面PCD。‎ ‎（2）由（1）知，，又，则是的中点可得 ‎，‎ 则 设D到平面ACM的距离为，由即，‎ 可求得，‎ 设所求角为，则，。‎ （1） 可求得PC=6。因为AN⊥NC，由，得PN。所以。‎ 故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的。‎ 又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由（2）可知所求距离为。‎ 方法二：‎ ‎（1）同方法一；‎ ‎（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，， ，，；设平面的一个法向量，由可得：，令，则 ‎。设所求角为，则，‎ ‎ 所以所求角的大小为。‎ ‎（3）由条件可得，.在中，,所以,则, ，所以所求距离等于点到平面距离的，设点到平面距离为则，所以所求距离为。‎ ‎16.(2009湖北卷理)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎ 如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=‎2a，点E是SD上的点，且 ‎（Ⅰ）求证：对任意的，都有 ‎（Ⅱ）设二面角C—AE—D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值 ‎ ‎18.（Ⅰ）证法1：如图1，连接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD。‎ ‎ SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，AC⊥BE ‎（Ⅱ）解法1：如图1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE= ,‎ ‎ SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD, SD⊥CD。‎ ‎ 又底面ABCD是正方形， CD⊥AD，而SD AD=D，CD⊥平面SAD.‎ 连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DE⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，‎ 故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角，即∠CDF=。‎ 在Rt△BDE中，BD=‎2a，DE=‎ 在Rt△ADE中, ‎ 从而 在中，. ‎ 由，得.‎ 由，解得，即为所求.‎ （I） 证法2：以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如 ‎ 图2所示的空间直角坐标系，则 ‎ D（0，0，0），A（，0，0），B（，，0），C（0，，0），E（0，0），‎ ‎ ‎ ‎ ， ‎ ‎ 即。‎ （II） 解法2：‎ 由（I）得.‎ 设平面ACE的法向量为n=(x，y，z)，则由得 ‎。‎ ‎ 易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为.‎ ‎ . ‎ ‎ 0<，，‎ ‎ .‎ ‎ 由于，解得，即为所求。‎ ‎19.（2009四川卷文）（本小题满分12分）‎ 如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）设线段、的中点分别为、，求证： ∥‎ ‎（III）求二面角的大小。‎ ‎【解析】解法一：‎ 因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，‎ 所以BC⊥平面ABEF.‎ 所以BC⊥EF.‎ 因为⊿ABE为等腰直角三角形，AB=AE，‎ 所以∠AEB=45°，‎ 又因为∠AEF=45,‎ 所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.‎ 因为BC平面ABCD, BE平面BCE,‎ BC∩BE=B 所以 ‎ …………………………………………6分 ‎（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC ‎∴ PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.‎ ‎∵ CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,‎ ‎∴ PM∥平面BCE. …………………………………………8分 ‎（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.‎ 作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,‎ 作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.‎ ‎∴ ∠FHG为二面角F-BD-A的平面角.‎ ‎∵ FA=FE,∠AEF=45°,‎ ‎∠AEF=90°, ∠FAG=45°.‎ 设AB=1,则AE=1,AF=,则 在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,‎ ‎, ‎ 在Rt⊿FGH中, ,‎ ‎∴ 二面角的大小为 ‎ …………………………………………12分 ‎ 解法二: 因等腰直角三角形，，所以 又因为平面，所以⊥平面，‎ 所以 即两两垂直；如图建立空间直角坐标系,‎ ‎ (I) 设，则，‎ ‎∵，∴，‎ 从而 ‎ ‎，‎ 于是，‎ ‎ ∴⊥,⊥‎ ‎ ∵平面，平面，‎ ‎ ∴‎ ‎（II），从而 ‎ 于是 ‎ ∴⊥，又⊥平面，直线不在平面内，‎ ‎ 故∥平面 ‎（III）设平面的一个法向量为，并设＝（‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 取，则，，从而＝（1，1，3）‎ ‎ 取平面D的一个法向量为 ‎ ‎ 故二面角的大小为 ‎20.（2009全国卷Ⅱ理）（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，直三棱柱中，、‎ 分别为、的中点，平面 ‎ ‎（I）证明：‎ ‎（II）设二面角为60°，求与平面所成的角的大小。‎ ‎（I）分析一：连结BE，为直三棱柱， ‎ 为的中点，。又平面，‎ ‎（射影相等的两条斜线段相等）而平面，‎ ‎（相等的斜线段的射影相等）。‎ 分析二：取的中点，证四边形为平行四边形，进而证∥，，得也可。‎ 分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。‎ ‎（II）分析一：求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。‎ 作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则.在中，由，易得.‎ ‎ 设点到面的距离为，与平面所成的角为。利用，可求得，又可求得 ‎ 即与平面所成的角为 分析二：作出与平面所成的角再行求解。如图可证得，所以面。由分析一易知：四边形为正方形，连，并设交点为，则，为在面内的射影。。以下略。‎ 分析三：利用空间向量的方法求出面的法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。‎ 总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。‎ ‎21.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）‎ 如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点 。‎ ‎（I）若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；‎ ‎（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。 ‎ ‎（18）（I）解法一：‎ 取CD的中点G，连接MG，NG。‎ 设正方形ABCD，DCEF的边长为2， ‎ 则MG⊥CD，MG=2，NG=.‎ 因为平面ABCD⊥平面DCED，‎ 所以MG⊥平面DCEF，‎ 可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角。因为MN=，所以sin∠MNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值 ……6分 解法二：‎ ‎ 设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.‎ 则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得=(－1,1,2). ‎ 又=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，‎ 可得cos(,)=· ‎ 所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为 cos· ……6分 ‎(Ⅱ)假设直线ME与BN共面， ……8分 则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN 由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。‎ 又AB//CD，所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，‎ 所以AB//EN。‎ 又AB//CD//EF，‎ 所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立。‎ 所以ME与BN不共面，它们是异面直线. ……12分 ‎22.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。 ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥SD； ‎ ‎（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小 ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E， 使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。‎ 解法一：‎ ‎ （Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，，所以,得.‎ ‎ (Ⅱ)设正方形边长，则。‎ 又，所以,‎ ‎ 连，由（Ⅰ）知,所以, ‎ 且,所以是二面角的平面角。‎ 由,知,所以,‎ 即二面角的大小为。‎ ‎ （Ⅲ）在棱SC上存在一点E，使 由（Ⅱ）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.‎ 解法二：‎ ‎ （Ⅰ）；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。‎ ‎ 设底面边长为，则高。‎ ‎ 于是 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故 ‎ 从而 ‎ ‎ (Ⅱ)由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为 ‎ （Ⅲ）在棱上存在一点使.‎ ‎ 由（Ⅱ）知是平面的一个法向量，‎ ‎ 且 ‎ 设 ‎ 则 ‎ 而 ‎ 即当时， ‎ 而不在平面内，故 ‎23.（2009湖北卷文）（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，四棱锥S＝ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝a(0<≦1). ‎ ‎(Ⅰ)求证：对任意的（0、1），都有AC⊥BE:‎ ‎(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为‎600C，求的值。‎ 本小题主要考察空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。（满分12分）‎ ‎ （Ⅰ）证发1：连接BD，由底面是正方形可得ACBD。‎ ‎ SD平面ＡＢＣＤ，BD是BE在平面ABCD上的射影，‎ 由三垂线定理得ACBE.‎ ‎(II)解法1：SD平面ABCD，ＣＤ平面ＡＢＣＤ， SDCD. ‎ 又底面ＡＢＣＤ是正方形， ＣDＡD，又ＳＤAD=D，CD平面SAD。‎ 过点D在平面SAD内做DFAE于F，连接CF，则CFAE， ‎ 故CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即CFD=60°‎ 在Rt△ADE中，AD=, DE= ， AE= 。‎ 于是，DF=‎ 在Rt△CDF中，由cot60°=‎ 得， 即=3 ‎ ‎， 解得=‎ ‎22.（2009湖南卷文）（本小题满分12分）‎ ‎ 如图3，在正三棱柱中，AB=4, ,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面; ‎ ‎（Ⅱ）求直线AD和平面所成角的正弦值。‎ 解:（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱的性质知平面.‎ 又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,‎ 所以DE⊥平面.又DE 平面，‎ 故平面⊥平面.‎ ‎ （Ⅱ）解法 1: 过点A作AF垂直于点,‎ 连接DF.由（Ⅰ）知，平面⊥平面，‎ 所以AF平面,故是直线AD和 平面所成的角。 因为DE，‎ 所以DEAC.而ABC是边长为4的正三角形，‎ 于是AD=，AE=4-CE=4-=3.‎ 又因为，所以E= = 4, ‎ ‎ , .‎ 即直线AD和平面所成角的正弦值为 .‎ 解法2 : 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，‎ 则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,), (2,0,), D(-1, ,0), E(-1,0,0).‎ 易知=（-3，，-），=（0，-，0），=（-3，，0）.‎ 设是平面的一个法向量，则 解得.‎ 故可取.于是 ‎ ‎= . ‎ 由此即知，直线AD和平面所成角的正弦值为 .‎ ‎24.（2009辽宁卷文）（本小题满分12分）‎ 如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。‎ ‎（I）若CD＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN的长；‎ ‎（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。 ‎ ‎（19）解 ‎ （Ⅰ）取CD的中点G连结MG，NG.‎ ‎ 因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，‎ ‎ 所以MG⊥CD，MG＝2，.‎ ‎ 因为平面ABCD⊥平面DCEF，‎ ‎ 所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG.‎ ‎ 所以 ……6分 ‎（Ⅱ）假设直线ME与BN共面， …..8分 则平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN，‎ 由已知，两正方形不共面，故平面DCEF.‎ 又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，‎ 所以AB∥EN.‎ 又AB∥CD∥EF,‎ 所以EN∥EF，这与矛盾，故假设不成立。 ‎ 所以ME与BN不共面，它们是异面直线。 ……..12分 ‎25.（2009全国卷Ⅰ文）(本小题满分12分)（注决：在试题卷上作答无效）‎ ‎ 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，‎ ‎，点在侧棱上，。 ‎ ‎（I）证明：是侧棱的中点；‎ 求二面角的大小。（同理18） ‎ ‎【解析】本小题考查空间里的线线关系、二面角，综合题。‎ ‎（I）解法一：作∥交于N，作交于E，‎ 连ME、NB，则面，,‎ 设，则,‎ 在中，。‎ 在中由 解得，从而 M为侧棱的中点M. ‎ 解法二:过作的平行线.‎ ‎（II）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。‎ 过作∥交于,作交于,作交于,则∥,面,面面,面即为所求二面角的补角.‎ 法二：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证，则即为所求二面角.‎ 解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D—xyz，则 ‎。‎ S A B C D M z x y ‎（Ⅰ）设，则 ‎，‎ ‎，由题得 ‎，即 解之个方程组得即 所以是侧棱的中点。 ‎ 法2：设，则 又 故，即 ‎，解得，‎ 所以是侧棱的中点。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，‎ 设分别是平面、的法向量，则 且，即且 分别令得，即 ‎，‎ ‎∴ ‎ 二面角的大小。‎ ‎26.（2009四川卷文）（本小题满分12分）‎ 如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）设线段、的中点分别为、，‎ 求证： ∥‎ ‎（III）求二面角的大小。‎ ‎【解析】解法一：‎ 因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，‎ 所以BC⊥平面ABEF.‎ 所以BC⊥EF.‎ 因为⊿ABE为等腰直角三角形，AB=AE，‎ 所以∠AEB=45°，‎ 又因为∠AEF=45,‎ 所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.‎ 因为BC平面ABCD, BE平面BCE,‎ BC∩BE=B 所以 ‎ …………………………………………6分 ‎（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC ‎∴ PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.‎ ‎∵ CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,‎ ‎∴ PM∥平面BCE. …………………………………………8分 ‎（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.‎ 作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,‎ 作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.‎ ‎∴ ∠FHG为二面角F-BD-A的平面角.‎ ‎∵ FA=FE,∠AEF=45°,‎ ‎∠AEF=90°, ∠FAG=45°.‎ 设AB=1,则AE=1,AF=,则 在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,‎ ‎, ‎ 在Rt⊿FGH中, ,‎ ‎∴ 二面角的大小为 ‎ …………………………………………12分 ‎ 解法二: 因等腰直角三角形，，所以 又因为平面，所以⊥平面，所以 即两两垂直；如图建立空间直角坐标系,‎ ‎ (I) 设，则，‎ ‎∵，∴，‎ 从而 ‎ ‎，‎ 于是，‎ ‎ ∴⊥,⊥‎ ‎ ∵平面，平面，‎ ‎ ∴‎ ‎（II），从而 ‎ 于是 ‎ ∴⊥，又⊥平面，直线不在平面内，‎ ‎ 故∥平面 ‎（III）设平面的一个法向量为，并设＝（‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 取，则，，从而＝（1，1，3）‎ ‎ 取平面D的一个法向量为 ‎ ‎ 故二面角的大小为 ‎27.（2009陕西卷文）(本小题满分12分) ‎ 如图，直三棱柱中， AB=1，C B A C1‎ B1‎ A1‎ ，∠ABC=60.‎ ‎(Ⅰ)证明：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A——B的大小。 ‎ 解析：解答1（Ⅰ）‎ 因为三棱柱为直三棱柱所以 在中 由正弦定理得所以 即，所以又因为所以 ‎（Ⅱ）如图所示，作交于，连，由三垂线定理可得 所以为所求角，在中，，在中， ，所以 所以所成角是 ‎28.（2009宁夏海南卷文）（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º ‎（Ⅰ）证明：AB⊥PC ‎（Ⅱ）若，且平面⊥平面， ‎ 求三棱锥体积。‎ ‎（18）解：‎ ‎（Ⅰ）因为是等边三角形，,‎ 所以,可得。‎ 如图，取中点，连结,,‎ 则,,‎ 所以平面,‎ 所以。 ．．．．．．6分 ‎ ‎（Ⅱ）作，垂足为，连结．‎ 因为，‎ 所以，．‎ 由已知，平面平面，故．　　　　　　　　．．．．．．8分 因为，所以都是等腰直角三角形。‎ 由已知，得， 的面积．‎ 因为平面，‎ 所以三角锥的体积 ‎ ．．．．．．．12分 ‎29.(2009湖南卷理)（本小题满分12分）‎ 如图4，在正三棱柱中，‎ D是的中点，点E在上，且。‎ （I） 证明平面平面 （II） 求直线和平面所成角的正弦值。 ‎ 解 （I） 如图所示，由正三棱柱的性质知平面 又DE平面ABC，所以DEAA.‎ 而DEAE。AAAE=A 所以DE平面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。‎ ‎（2）解法1 如图所示，设F使AB的中点，连接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC- ABC的性质及D是AB的中点知ABCD， ABDF ‎ 又CDDF=D，所以AB平面CDF，‎ 而AB∥AB，所以 AB平面CDF，又AB平面ABC，故 平面AB C平面CDF。‎ 过点D做DH垂直CF于点H，则DH平面AB C。 ‎ 连接AH，则HAD是AD和平面ABC所成的角。‎ 由已知AB=A A，不妨设A A=，则AB=2，DF=，D C=，‎ CF=，AD==，DH==—，‎ 所以 sinHAD==。‎ 即直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。‎ 解法2 如图所示，设O使AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设 A A=，则AB=2，相关各点的坐标分别是 A(0,-1,0)， B（，0，0）， C（0，1，）， D（，-，）。‎ 易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，） ‎ 设平面ABC的法向量为n=（x，y，z）,则有 解得x=-y， z=-，‎ 故可取n=(1，-，)。‎ 所以，(n·)===。‎ 由此即知，直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。‎ ‎30.（2009天津卷理）（本小题满分12分）‎ 如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD ‎ ‎(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；‎ ‎(II) 证明平面AMD平面CDE；‎ ‎（III）求二面角A-CD-E的余弦值。 ‎ 本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分12分.‎ 方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60° ‎ ‎（II）证明：因为 ‎（III）‎ 由（I）可得，‎ ‎ ‎ 方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，‎ 点为坐标原点。设依题意得 ‎ ‎（I） ‎ 所以异面直线与所成的角的大小为.‎ ‎（II）证明： ，‎ ‎ ‎ ‎（III） ‎ 又由题设，平面的一个法向量为 ‎ ‎ ‎31.（2009四川卷理）（本小题满分12分）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得 ‎？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；‎ ‎（III）求二面角的大小。‎ 本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角 等基础知识，考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考察应用向量知识解决数学问题的能力。‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）因为平面⊥平面,平面，‎ 平面平面，‎ 所以⊥平面 所以⊥.‎ 因为为等腰直角三角形， ，‎ 所以 又因为，‎ 所以，‎ 即⊥,‎ 所以⊥平面。 ……………………………………4分 ‎ （Ⅱ）存在点,当为线段AE的中点时，PM∥平面 ‎ 取BE的中点N，连接AN,MN，则MN∥＝∥＝PC ‎ 所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN ‎ 因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，‎ ‎ 所以PM∥平面BCE ……………………………………8分 ‎ （Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD 作FG⊥AB,交BA的延长线于G，则FG∥EA。从而，FG⊥平面ABCD 作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH 因此，∠AEF为二面角F-BD-A的平面角 因为FA=FE, ∠AEF=45°,‎ 所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.‎ 设AB=1,则AE=1,AF=. ‎ FG=AF·sinFAG=‎ 在Rt△FGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,‎ GH=BG·sinGBH=·=‎ 在Rt△FGH中，tanFHG= = ‎ 故二面角F-BD-A的大小为arctan. ………………………………12分 解法二:‎ ‎(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,‎ 所以AE⊥AB.‎ 又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,‎ 平面ABEF∩平面ABCD=AB,‎ 所以AE⊥平面ABCD.‎ 所以AE⊥AD.‎ 因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.‎ 设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,‎ E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).‎ 因为FA=FE, ∠AEF = 45°,‎ 所以∠AFE= 90°.‎ 从而，.‎ 所以,,.‎ ‎,.‎ 所以EF⊥BE, EF⊥BC.‎ 因为BE平面BCE,BC∩BE=B ,‎ 所以EF⊥平面BCE.‎ ‎ (Ⅱ) M（0，0，）.P（1, ,0）.‎ 从而=（，）.‎ 于是 所以PM⊥FE，又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，‎ 故PM∥平面BCE. ………………………………8分 ‎(Ⅲ) 设平面BDF的一个法向量为，并设=（x，y，z）‎ ‎=(1，1，0)，‎ ‎ 即 去y=1，则x=1，z=3，从=（0，0，3）‎ 取平面ABD的一个法向量为=（0，0，1）‎ 故二面角F-BD-A的大小为. ……………………………………12分 ‎32.（2009福建卷文）（本小题满分12分）‎ 如图，平行四边形中，，将 沿折起到的位置，使平面平面 ‎ （I）求证： ‎ ‎ （Ⅱ）求三棱锥的侧面积。‎ ‎（I）证明：在中，‎ ‎ ‎ ‎ 又平面平面 ‎ 平面平面平面 ‎ 平面 ‎ 平面 ‎（Ⅱ）解：由（I）知从而 ‎ 在中，‎ ‎ ‎ ‎ 又平面平面 ‎ ‎ ‎ 平面平面，平面 ‎ 而平面 ‎ 综上，三棱锥的侧面积，‎ ‎33.（2009年上海卷理）（本题满分14分）‎ 如图，在直三棱柱中，,‎ ‎,求二面角的大小。 ‎ ‎19，【解】如图，建立空间直角坐标系 则A（2，0，0）、 C（0，2，0） A1（2，0，2），21世纪教育网 ‎ B1（0，0，2） 、C1（0，2，2） ……2分 设AC的中点为M，∵BM⊥AC, BM⊥CC1;‎ ‎∴BM⊥平面A‎1C1C,即=(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量。……5分 设平面的一个法向量是 =（x，y，z），‎ ‎ =（-2，2，-2）， =（-2，0，0） ……7分 ‎ ‎ 设法向量的夹角为，二面角的大小为，显然为锐角 ‎…………………….14分 ‎34.（2009重庆卷理）（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）‎ 如题（19）图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，．求：‎ ‎（Ⅰ）点到平面的距离；‎ ‎（Ⅱ）二面角的大小． 21世纪教育网 ‎ ‎（19）（本小题12分）‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）因为AD//BC,且所以从而A点到平面的距离等于D点到平面的距离。‎ 因为平面故,从而，由AD//BC，得,又由知，从而为点A到平面的距离，因此在中 ‎(Ⅱ)如答（19）图1，过E电作交于点G，又过G点作,交AB于H，故为二面角的平面角，记为，过E点作EF//BC,交于点F,连结GF,因平面,故.‎ 由于E为BS边中点，故,在中，‎ ‎,因，又 故由三垂线定理的逆定理得,从而又可得 因此而在中，‎ ‎ 21世纪教育网 ‎ 在中，可得，故所求二面角的大小为 解法二：‎ ‎（Ⅰ）如答（19）图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设，因平面 即点A在xoz平面上，因此 又 因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS与平面 yOx重合，从而点A到平面BCS的距离为.‎ ‎(Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E为BS的中点.‎ ΔBCS为直角三角形 ,‎ 知 ‎ 设B(0,2, )，＞0，则＝2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1） .‎ 在CD上取点G，设G（），使GE⊥CD . 21世纪教育网 ‎ 由故 ‎ ①　‎ 又点G在直线CD上，即，由=（），则有　②‎ 联立①、②，解得G＝　,‎ 故=.又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角为向量与向量所成的角，记此角为 .‎ 因为=，,所以21世纪教育网 ‎ ‎ ‎ 故所求的二面角的大小为 .‎ ‎35.（2009重庆卷文）（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）‎ 如题（18）图，在五面体中，∥，，，四边形为平行四边形，平面，．求：‎ ‎（Ⅰ）直线到平面的距离；‎ ‎（Ⅱ）二面角的平面角的正切值．‎ 解法一:‎ ‎（Ⅰ）平面, AB到面的距离等于点A到面的距离，过点A作于G，因∥，故；又平面，由三垂线定理可知，，故，知，所以AG为所求直线AB到面的距离。‎ 在中，‎ 由平面，得AD，从而在中，‎ ‎。即直线到平面的距离为。‎ ‎（Ⅱ）由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE ‎，所以，为二面角的平面角，记为.‎ 在中, ,由得,,从而 在中, ,故 所以二面角的平面角的正切值为.‎ 解法二: ‎ ‎（Ⅰ）如图以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,则 A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设可得,由 ‎.即,解得 ∥，‎ 面,所以直线AB到面的距离等于点A到面的距离。设A点在平面上的射影点为,则 因且,而 ‎,此即 解得　①　,知G点在面上,故G点在FD上.‎ ‎,故有 ② 联立①,②解得, 21世纪教育网 ‎ 为直线AB到面的距离. 而 所以 ‎（Ⅱ）因四边形为平行四边形,则可设, .由 得,解得.即.故 由,因,,故为二面角的平面角，又,,,所以 21世纪教育网 ‎