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  • 2021-05-13 发布

高考数学试题分类汇编立体几何

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‎2009年高考数学试题分类汇编——立体几何 一、选择题 ‎1.(2009年广东卷文)给定下列四个命题: ‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行;21世纪教育网 ‎ ‎④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. ‎ 其中,为真命题的是 ‎ A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④ ‎ ‎【答案】D ‎【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选D ‎2.(2009广东卷理)给定下列四个命题:‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ‎ ‎④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.‎ 其中,为真命题的是 ‎ A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④‎ ‎【解析】选D.‎ ‎3.(2009浙江卷理)在三棱柱中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点是侧面的中心,则与平面所成角的大小是 ( )‎ A. B. C. D. 21世纪教育网 ‎ 答案:C ‎ ‎【解析】取BC的中点E,则面,,因此与平面所成角即为,设,则,,即有.‎ ‎4.(2009浙江卷文)设是两个不同的平面,是一条直线,以下命题正确的是( )‎ A.若,则 B.若,则 ‎ C.若,则 D.若,则 ‎ ‎4.C 【命题意图】此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系,通过对平行和垂直的考查,充分调动了立体几何中的基本元素关系.‎ ‎【解析】对于A、B、D均可能出现,而对于C是正确的.21世纪教育网 ‎ ‎5.(2009北京卷文)若正四棱柱的底面边长为1,与底面ABCD成60°角,则到底面ABCD的距离为 ( )‎ A. B. ‎1 ‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎.w【解析】.k本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. ‎ 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ 依题意,,如图,‎ ‎,故选D.‎ ‎6.(2009北京卷理)若正四棱柱的底面边长为1,与底面成60°角,则到底面的距离为 ( )‎ ‎ A. B.1 ‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、‎ 直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. (第4题解答图)‎ 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ 依题意,,如图,‎ ‎,故选D.‎ ‎7. (2009山东卷理)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ 正(主)视图 ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ 侧(左)视图 ‎ 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面 边长为,高为,所以体积为 所以该几何体的体积为.‎ 答案:C ‎【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,‎ 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 俯视图 ‎ 计算出.几何体的体积.‎ ‎8. (2009山东卷理)已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的 一条直线,则“”是“”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的 一条直线,,则,反过来则不一定.所以“”是“”的必要不充分条件. ‎ 答案:B.‎ ‎【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.‎ ‎9. (2009山东卷文)已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“”是“”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线,,则,反过来则不一定.所以“”是“”的必要不充分条件 .‎ 答案:B.‎ ‎【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.‎ ‎10.(2009全国卷Ⅱ文) 已知正四棱柱中,=,为重点,则异面直线与所形成角的余弦值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 答案:C 解析:本题考查异面直线夹角求法,方法一:利用平移,CD’∥BA',因此求△EBA'中∠A'BE即可,易知EB=,A'E=1,A'B=,故由余弦定理求cos∠A'BE=,或由向量法可求。‎ ‎11.(2009全国卷Ⅱ文)设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于,则球O的表面积等于 × ‎ ‎ 答案:8π 解析:本题考查立体几何球面知识,注意结合平面几何知识进行运算,由 ‎12.(2009全国卷Ⅰ理)已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为( D )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 解:设的中点为D,连结D,AD,易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理,易知.故选D ‎ ‎13.(2009全国卷Ⅰ理)已知二面角α-l-β为 ,动点P、Q分别在面α、β内,P到β的距离为,Q到α的距离为,则P、Q两点之间距离的最小值为( C )‎ ‎(A) (B)2 (C) (D)4 ‎ 解:如图分别作 ‎ ‎,连 ‎,‎ 又 当且仅当,即重合时取最小值。‎ 故答案选C。 ‎ ‎14.(2009江西卷文)如图,在四面体中,截面是正方形,则在下列命题中,错误的为 ‎. . ∥截面 ‎ ‎. . 异面直线与所成的角为 答案:C ‎【解析】由∥,∥,⊥可得⊥,故正确;由∥可得∥截面,故正确; ‎ 异面直线与所成的角等于与所成的角,故正确;‎ 综上是错误的,故选.‎ ‎15.(2009江西卷理)如图,正四面体的顶点,,分别在两两垂直的三条射线,,上,则在下列命题中,错误的为 ‎ A.是正三棱锥 B.直线∥平面 C.直线与所成的角是 D.二面角为 21世纪教育网 ‎ 答案:B ‎【解析】将原图补为正方体不难得出B为错误,故选B ‎16.(2009四川卷文)如图,已知六棱锥的底面是正六边形,‎ 则下列结论正确的是 ‎ A. ‎ ‎ B. ‎ ‎ C. 直线∥‎ ‎ D. 直线所成的角为45°‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵AD与PB在平面的射影AB不垂直,所以A不成立,又,平面PAB⊥平面PAE,所以也不成立;BC∥AD∥平面PAD, ∴直线∥也不成立。在中,PA=AD=2AB,∴∠PDA=45°. ∴D正确 ‎17.(2009四川卷文)如图,在半径为3的球面上有三点,=90°,,‎ ‎ 球心O到平面的距离是,则两点的球面距离是 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.2‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵AC是小圆的直径。所以过球心O作小圆的垂线,垂足O’是AC的中点。‎ ‎ O’C=,AC=3,∴BC=3,即BC=OB=OC。∴‎ ‎ ,则两点的球面距离=‎ ‎18.(2009全国卷Ⅱ理)已知正四棱柱中,为中点,则异面直线与所成的角的余弦值为 ‎ A. B. C. D. ‎ 解:令则,连∥ 异面直线与所成的角即 与所成的角。在中由余弦定理易得。故选C ‎19.(2009辽宁卷理)正六棱锥P-ABCDEF中,G为PB的中点,则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为 ‎(A)1:1 (B) 1:2 (C) 2:1 (D) 3:2‎ ‎【解析】由于G是PB的中点,故P-GAC的体积等于B-GAC的体积 ‎ 在底面正六边形ABCDER中A B C D E F H ‎ BH=ABtan30°=AB ‎ 而BD=AB ‎ 故DH=2BH ‎ 于是VD-GAC=2VB-GAC=2VP-GAC ‎【答案】C ‎20.(2009宁夏海南卷理) 如图,正方体的棱线长为1,线段上有两个动点E,F,且,则下列结论中错误的是 ‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)三棱锥的体积为定值 ‎(D)异面直线所成的角为定值 解析:A正确,易证B显然正确,;C正确,可用等积法求得;D错误。选D.‎ ‎21.(2009宁夏海南卷理)一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:c)为 ‎(A)48+12 (B)48+24 (C)36+12 (D)36+24‎ 解析:选A.‎ ‎22.(2009湖北卷文)如图,在三棱柱ABC-A1B‎1C1中,∠ACB=900,∠ACC1=600,∠BCC1=450,侧棱CC1的长为1,则该三棱柱的高等于 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】过顶点A作底面ABC的垂线,由已知条件和立体几何线面关系易求得高的长.‎ ‎23.(2009湖南卷文)平面六面体中,既与共面也与共面的棱的条数为【 C 】‎ A.3 B.‎4 C.5 D.6 ‎ 解:如图,用列举法知合要求的棱为:‎ ‎、、、、,‎ 故选C.‎ ‎24.(2009辽宁卷文)如果把地球看成一个球体,则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为 ‎(A)0.8 (B)0.75 (C)0.5 (D)0.25‎ ‎【解析】设地球半径为R,则北纬纬线圆的半径为Rcos60°=R ‎ 而圆周长之比等于半径之比,故北纬纬线长和赤道长的比值为0.5.‎ ‎【答案】C ‎25.(2009全国卷Ⅰ文)已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角,基础题。(同理7)‎ 解:设的中点为D,连结D,AD,易知即为异面直线与所成的角 ‎,由三角余弦定理,易知.故选D ‎ ‎26.(2009四川卷文)如图,已知六棱锥的底面是正六边形,‎ 则下列结论正确的是 ‎ A. ‎ ‎ B. ‎ ‎ C. 直线∥‎ ‎ D. 直线所成的角为45°‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵AD与PB在平面的射影AB不垂直,所以A不成立,又,平面PAB⊥平面PAE,所以也不成立;BC∥AD∥平面PAD, ∴直线∥也不成立。在中,PA=AD=2AB,∴∠PDA=45°. ∴D正确 ‎27.(2009四川卷文)如图,在半径为3的球面上有三点,=90°,,‎ ‎ 球心O到平面的距离是,则两点的球面距离是 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.2‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵AC是小圆的直径。所以过球心O作小圆的垂线,垂足O’是AC的中点。‎ ‎ O’C=,AC=3,∴BC=3,即BC=OB=OC。∴,则两点的球面距离=‎ ‎28.(2009陕西卷文)若正方体的棱长为,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 ‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 答案:B.‎ ‎ 解析:由题意知 以 正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体(即两个同底同高同棱长的正四棱锥),所有棱长均为1,其中每个正四棱锥的高均为,故正八面体的体积为, 故选B.‎ ‎29.(2009宁夏海南卷文) 如图,正方体的棱线长为1,线段上有两个动点E,F,且,则下列结论中错误的是 ‎ ‎ (A) ‎ ‎(B)‎ ‎ (C)三棱锥的体积为定值 ‎ (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】可证故A正确,由∥平面ABCD,可知,B也正确;连结BD交AC于O,则AO为三棱锥的高,,三棱锥的体积为为定值,C正确;D错误。选D.‎ ‎30.(2009宁夏海南卷文)一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:)为 ‎ (A) (B)‎ ‎ (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】棱锥的直观图如右,则有PO=4,OD=3,由勾股定理,得PD=5,AB=6,全面积为:×6×6+2××6×5+×6×4=48+12,故选.A。‎ ‎31.(2009湖南卷理)正方体ABCD—的棱上到异面直线AB,C的距离相等的点的个数为(C)‎ A.2 B.‎3 ‎‎ C. 4 D. 5 ‎ ‎【答案】:C ‎【解析】解析如图示,则BC中点,点,点,点分别到两异面直线的距离相等。即满足条件的点有四个,故选C项。‎ ‎32.(2009四川卷理)如图,已知六棱锥的底面是正六边形,,则下列结论正确的是 A.   ‎ B.平面 ‎ C. 直线∥平面 D.‎ ‎【考点定位】本小题考查空间里的线线、线面关系,基础题。(同文6)‎ 解:由三垂线定理,因AD与AB不相互垂直,排除A;作于,‎ 因面面ABCDEF,而AG在面ABCDEF上的射影在AB上,而AB与BC不相互垂直,故排除B;由,而EF是平面PAE的斜线,故排除C,故选择D。‎ 解析2:设低面正六边形边长为,则,由平面可知,且,所以在中有直线与平面所成的角为,故应选D。‎ ‎33.(2009四川卷理)如图,在半径为3的球面上有三点,,球心到平面的距离是,则两点的球面距离是 A. B. C. D. ‎ ‎【考点定位】本小题考查球的截面圆性质、球面距,基础题。(同文9)‎ 解析:由知截面圆的半径 ‎,故,所以 两点的球面距离为,故选择B。‎ 解析2:过球心作平面的垂线交平面与,,则在直线上,由于,,所以,由为等腰直角三角形可得,所以为等边三角形,则两点的球面距离是。‎ ‎34.(2009重庆卷理)已知二面角的大小为,为空间中任意一点,则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数为( ) ‎ A.2 B.‎3 ‎ C.4 D.5 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】是度数为的二面角的一个平面角,的平分线,当过P的直线与平行时,满足条件,当过点p的直线与AD平行,也是满足条件直线,与AD直线类似,过点的直线与 BE平行也是满足条件得共有3条。‎ ‎35.(2009重庆卷文)在正四棱柱中,顶点到对角线和到平面的距离分别为和,则下列命题中正确的是( )‎ A.若侧棱的长小于底面的变长,则的取值范围为 B.若侧棱的长小于底面的变长,则的取值范围为 C.若侧棱的长大于底面的变长,则的取值范围为 D.若侧棱的长大于底面的变长,则的取值范围为 ‎【答案】C 解析设底面边长为1,侧棱长为,过作。‎ 在中,,由三角形面积关系得21世纪教育网 ‎ 设在正四棱柱中,由于,‎ 所以平面,于是,所以平面,故 为点到平面 的距离,在中,又由三角形面积关系得于是,于是当,所以,所以 二、填空题 ‎1.(2009浙江卷理)若某几何体的三视图(单位:)如图所示,则此几何体的体积是 .‎ 答案:18‎ ‎【解析】该几何体是由二个长方体组成,下面体积为,上面的长方体体积为,因此其几何体的体积为18‎ ‎2.(2009浙江卷理)如图,在长方形中,,,为的中点,为线段(端点除外)上一动点.现将沿折起,使平面平面.在平面内过点 作,为垂足.设,则的取值范围是 .‎ 答案: ‎ ‎ 【解析】此题的破解可采用二个极端位置法,即对于F位于DC的中点时,,随着F点到C点时,因平面,即有,对于,又,因此有,则有,因此 的取值范围是 21世纪教育网 ‎ ‎3.(2009浙江卷文)若某几何体的三视图(单位:)如图所示,则此几何体的体积是 .‎ ‎【命题意图】此题主要是考查了几何体的三视图,通过三视图的考查充分体现了几何体直观的考查要求,与表面积和体积结合的考查方法.‎ ‎【解析】该几何体是由二个长方体组成,下面体积为,上面的长方体体积为,因此其几何体的体积为18‎ ‎4.(2009江苏卷)在平面上,若两个正三角形的边长的比为1:2,则它们的面积比为1:4,类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为1:2,则它们的体积比为 . ‎ ‎【解析】 考查类比的方法。体积比为1:8 ‎ ‎5.(2009江苏卷)设和为不重合的两个平面,给出下列命题: ‎ ‎(1)若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线,则平行于;‎ ‎(2)若外一条直线与内的一条直线平行,则和平行;‎ ‎(3)设和相交于直线,若内有一条直线垂直于,则和垂直;‎ ‎(4)直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。‎ 上面命题中,真命题的序号 (写出所有真命题的序号). ‎ ‎【解析】 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。‎ 真命题的序号是(1)(2)‎ ‎6.(2009全国卷Ⅰ理)直三棱柱的各顶点都在同一球面上,若,,则此球的表面积等于 。 ‎ 解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为,球心为,在中,易得球半径,故此球的表面积为. ‎ ‎7.(2009安徽卷理)对于四面体ABCD,下列命题正确的是_________‎ ‎(写出所有正确命题的编号)。 ‎ 相对棱AB与CD所在的直线异面;‎ 由顶点A作四面体的高,其垂足是BCD的三条高线的交点;‎ 若分别作ABC和ABD的边AB上的高,则这两条高所在直线异面;‎ 分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点;‎ 最长棱必有某个端点,由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。‎ ‎[解析]①④⑤‎ ‎8.(2009安徽卷文)在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是________。‎ ‎【解析】设由可得故 ‎【答案】(0,-1,0) 21世纪教育网 ‎ ‎9.(2009安徽卷文)对于四面体ABCD,下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)。‎ ‎○11相对棱AB与CD所在的直线是异面直线;‎ ‎○22由顶点A作四面体的高,其垂足是BCD的三条高线的交点;‎ ‎○33若分别作ABC和ABD的边AB上的高,则这两条高的垂足重合;‎ ‎○44任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积;‎ ‎○55分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点。21世纪教育网 ‎ ‎【解析】由空间四面体棱,面关系可判断①④⑤正确,可举例说明②③错误.‎ ‎【答案】①④⑤‎ ‎10.(2009江西卷理)正三棱柱内接于半径为的球,若两点的球面距离为,则正三棱柱的体积为   .‎ 答案:‎ ‎【解析】由条件可得,所以,到平面的距离为,所以所求体积等于.‎ ‎11.(2009四川卷文)如图,已知正三棱柱的各条棱长都相等,是侧棱的中点,则异面直线所成的角的大小是 。 ‎ ‎【答案】90°‎ ‎【解析】作BC的中点N,连接AN,则AN⊥平面BCC1B1,‎ ‎ 连接B1N,则B1N是AB1在平面BCC1B1的射影,‎ ‎∵B1N⊥BM,∴AB1⊥BM.即异面直线所成的角的大小是90°‎ ‎12.(2009全国卷Ⅱ理)设是球的半径,是的中点,过且与成45°角的平面截球的表面得到圆。若圆的面积等于,则球的表面积等于 .‎ 解:设球半径为,圆的半径为,‎ ‎ 因为。由得.故球的表面积等于.‎ ‎13.(2009辽宁卷理)设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)。 ‎ ‎ 则该几何体的体积为 ‎ ‎【解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3, 体积等于×2×4×3=4‎ ‎【答案】4‎ ‎14.(2009全国卷Ⅰ文)已知为球的半径,过的中点且垂直于的平面截球面得到圆,若圆的面积为,则球的表面积等于__________________.‎ ‎【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积,基础题。‎ 解:设球半径为,圆M的半径为,则,即由题得,所以。‎ ‎15.(2009四川卷文)如图,已知正三棱柱的各条棱长都相等,是侧棱的中点,则异面直线所成的角的大小是 。 ‎ ‎【答案】90°‎ ‎【解析】作BC的中点N,连接AN,则AN⊥平面BCC1B1,连接B1N,则B1N是AB1在平面BCC1B1的射影,∵B1N⊥BM,∴AB1⊥BM.即异面直线所成的角的大小是90°‎ ‎16.(2009陕西卷文)如图球O的半径为2,圆是一小圆,,A、B是圆上两点,若=,则A,B两点间的球面距离为 .‎ 答案: ‎A B O1‎ O ‎ ‎ 解析:由,=2由勾股定理在中 则有, 又= 则 所以在,‎ ‎,则,那么 21世纪教育网 ‎ 由弧长公式得.‎ ‎17.(2009湖南卷理)在半径为13的球面上有A , B, C 三点,AB=6,BC=8,CA=10,则 ‎ ‎(1)球心到平面ABC的距离为 12 ;‎ ‎(2)过A,B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为(锐角)的正切值为 3 ‎ ‎【答案】:(1)12;(2)3‎ ‎【解析】(1)由的三边大小易知此三角形是直角三角形,所以过三点小圆的直径即为10,也即半径是5,设球心到小圆的距离是,则由,可得。(2)设过三点的截面圆的圆心是中点是点,球心是点,则连三角形,易知就是所求的二面角的一个平面角,,所以,即正切值是3。21世纪教育网 ‎ ‎18.(2009天津卷理)如图是一个几何体的三视图,若它的体积是,则_______‎ ‎【考点定位】本小题考查三视图、三棱柱的体积,基础题。‎ 解析:知此几何体是三棱柱,其高为3,底面是底边长为2,底边上的高为的等腰三角形,所以有。‎ ‎19.(2009四川卷理)如图,已知正三棱柱的各条棱长都相等,是侧 棱的中点,则异面直线所成的角的大小是 。 ‎ ‎【考点定位】本小题考查异面直线的夹角,基础题。‎ 解析:不妨设棱长为2,选择基向量,则 ‎,故填写。‎ 法2:取BC中点N,连结,则面,∴是在面上的射影,由几何知识知,由三垂线定理得,故填写。‎ ‎20.(2009福建卷文)如右图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为。则该集合体的俯视图可以是 解析 解法1 由题意可知当俯视图是A时,即每个视图是变边长为1的正方形,那么此几何体是立方体,显然体积是1,注意到题目体积是,知其是立方体的一半,可知选C.‎ ‎ 解法2 当俯视图是A时,正方体的体积是1;当俯视图是B时,该几何体是圆柱,底面积是,高为1,则体积是;当俯视是C时,该几何是直三棱柱,故体积是,当俯视图是D时,该几何是圆柱切割而成,其体积是.故选C.‎ ‎20.(2009年上海卷理)如图,若正四棱柱的底面连长为2,高 为4,则异面直线与AD所成角的大小是______________(结果用反三角函数表示).‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】因为AD∥A1D1,异面直线BD1与AD所成角就是BD1与A1D1所在角,即∠A1D1B,‎ 由勾股定理,得A1B=2,tan∠A1D1B=,所以,∠A1D1B=。‎ ‎21.(2009年上海卷理)已知三个球的半径,,满足,则它们的表面积,,,满足的等量关系是___________. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,,同理:,即R1=,R2=,R3=,由得 二、填空题 ‎1.(2009年广东卷文)(本小题满分13分)‎ 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.‎ ‎(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图;‎ ‎(2)求该安全标识墩的体积 ‎(3)证明:直线BD平面PEG ‎【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.‎ ‎   (2)该安全标识墩的体积为:‎ ‎     ‎ ‎   (3)如图,连结EG,HF及 BD,EG与HF相交于O,连结PO.‎ ‎ 由正四棱锥的性质可知,平面EFGH , ‎ ‎ 又 平面PEG ‎ 又 平面PEG;21世纪教育网 ‎ ‎2.(2009广东卷理)(本小题满分14分)‎ z y x E1‎ G1‎ 如图6,已知正方体的棱长为2,点是正方形的中心,点、分别是棱的中点.设点分别是点,在平面内的正投影.‎ ‎(1)求以为顶点,以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积;‎ ‎(2)证明:直线平面;‎ ‎(3)求异面直线所成角的正弦值.‎ 解:(1)依题作点、在平面内的正投影、,则、分别为、的中点,连结、、、,则所求为四棱锥的体积,其底面面积为 ‎ ,‎ 又面,,∴.‎ ‎(2)以为坐标原点,、、所在直线分别作轴,轴,轴,得、,又,,,则,,,‎ ‎∴,,即,,‎ 又,∴平面.‎ ‎(3),,则,设异面直线所成角为,则.‎ ‎3.(2009浙江卷理)(本题满分15分)如图,平面平面,‎ 是以为斜边的等腰直角三角形,分别为,‎ ‎,的中点,,.‎ ‎ (I)设是的中点,证明:平面;‎ ‎ (II)证明:在内存在一点,使平面,并求点到,的距离.‎ 证明:(I)如图,连结OP,以O为坐标原点,分别以OB、OC、OP所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系O,21世纪教育网 ‎ 则,由题意得,因,因此平面BOE的法向量为,得,又直线不在平面内,因此有平面 ‎(II)设点M的坐标为,则,因为平面BOE,所以有,因此有,即点M的坐标为,在平面直角坐标系中,的内部区域满足不等式组,经检验,点M的坐标满足上述不等式组,所以在内存在一点,使平面,由点M的坐标得点到,的距离为.21世纪教育网 ‎ ‎4.(2009浙江卷文)(本题满分14分)如图,平面,,,,分别为的中点.(I)证明:平面;(II)求与平面所成角的正弦值.‎ ‎(Ⅰ)证明:连接, 在中,分别是的中点,所以, 又,所以,又平面ACD ,DC平面ACD, 所以平面ACD ‎(Ⅱ)在中,,所以 ‎ 而DC平面ABC,,所以平面ABC ‎ 而平面ABE, 所以平面ABE平面ABC, 所以平面ABE 由(Ⅰ)知四边形DCQP是平行四边形,所以 ‎ 所以平面ABE, 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP,‎ ‎ 所以直线AD与平面ABE所成角是 ‎ 在中, ,‎ 所以 ‎5.(2009北京卷文)(本小题共14分)‎ 如图,四棱锥的底面是正方形,,点E在棱PB上.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面; ‎ ‎(Ⅱ)当且E为PB的中点时,求AE与 平面PDB所成的角的大小.‎ ‎【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.‎ ‎(Ⅰ)∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,‎ ‎∵,‎ ‎∴PD⊥AC,∴AC⊥平面PDB,‎ ‎∴平面.‎ ‎(Ⅱ)设AC∩BD=O,连接OE,‎ ‎ 由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O,‎ ‎ ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角,‎ ‎ ∴O,E分别为DB、PB的中点,‎ ‎ ∴OE//PD,,又∵,‎ ‎ ∴OE⊥底面ABCD,OE⊥AO,‎ ‎ 在Rt△AOE中,,‎ ‎ ∴,即AE与平面PDB所成的角的大小为.‎ ‎【解法2】如图,以D为原点建立空间直角坐标系,‎ ‎ 设 则,‎ ‎(Ⅰ)∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴AC⊥DP,AC⊥DB,∴AC⊥平面PDB,‎ ‎∴平面.‎ ‎(Ⅱ)当且E为PB的中点时,,‎ ‎ 设AC∩BD=O,连接OE, ‎ ‎ 由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O,‎ ‎ ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角,‎ ‎ ∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,即AE与平面PDB所成的角的大小为.‎ ‎6.(2009北京卷理)(本小题共14分)‎ ‎ 如图,在三棱锥中,底面,‎ 点,分别在棱上,且 ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)当为的中点时,求与平面所成的角的大小;‎ ‎(Ⅲ)是否存在点使得二面角 为直二面角?并说明理由.‎ ‎【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.‎ ‎(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.‎ 又,∴AC⊥BC.‎ ‎∴BC⊥平面PAC.‎ ‎(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,‎ ‎∴,‎ 又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,‎ ‎∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.‎ ‎∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,‎ ‎∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,‎ ‎∴△ABP为等腰直角三角形,∴,‎ ‎∴在Rt△ABC中,,∴.‎ ‎∴在Rt△ADE中,,‎ ‎∴与平面所成的角的大小.‎ ‎(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,‎ 又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,‎ ‎∴∠AEP为二面角的平面角,‎ ‎∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴.‎ ‎∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,这时,‎ 故存在点E使得二面角是直二面角.‎ ‎【解法2】如图,以A为原煤点建立空间直角坐标系,‎ ‎ 设,由已知可得 ‎ .‎ ‎ (Ⅰ)∵,‎ ‎∴,∴BC⊥AP.‎ 又∵,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.‎ ‎(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴E为PC的中点,‎ ‎∴,‎ ‎∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.‎ ‎∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴与平面所成的角的大小.‎ ‎(Ⅲ)同解法1.‎ ‎7.(2009山东卷理)(本小题满分12分)‎ E ‎ A ‎ B ‎ C ‎ F ‎ E1 ‎ A1 ‎ B1 ‎ C1 ‎ D1 ‎ D ‎ ‎ 如图,在直四棱柱ABCD-ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。‎ (1) 证明:直线EE//平面FCC;‎ (2) 求二面角B-FC-C的余弦值。 ‎ 解法一:(1)在直四棱柱ABCD-ABCD中,取A1B1的中点F1,‎ E ‎ A ‎ B ‎ C ‎ F ‎ E1 ‎ A1 ‎ B1 ‎ C1 ‎ D1 ‎ D ‎ F1 ‎ O ‎ P ‎ 连接A1D,C‎1F1,CF1,因为AB=4, CD=2,且AB//CD,‎ 所以CDA1F1,A1F1CD为平行四边形,所以CF1//A1D,‎ 又因为E、E分别是棱AD、AA的中点,所以EE1//A1D,‎ 所以CF1//EE1,又因为平面FCC,平面FCC,‎ 所以直线EE//平面FCC.‎ ‎(2)因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在△BCF为正三角形中,,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,‎ ‎∵∴, ‎ 在Rt△OPF中,,,所以二面角B-FC-C的余弦值为.‎ E ‎ A ‎ B ‎ C ‎ F ‎ E1 ‎ A1 ‎ B1 ‎ C1 ‎ D1 ‎ D ‎ x ‎ y ‎ z ‎ M ‎ 解法二:(1)因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,‎ 所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为 等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,‎ 连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,‎ 以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,‎ ‎,则D(0,0,0),A(,-1,0),F(,1,0),C(0,2,0),‎ C1(0,2,2),E(,,0),E1(,-1,1),所以,,设平面CC‎1F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE//平面FCC. ‎ ‎(2),设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则,‎ ‎,, ‎ 所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为. ‎ ‎【命题立意】:本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空间想象能力和推理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力.‎ ‎8.(2009全国卷Ⅱ文)(本小题满分12分)21世纪教育网 ‎ 如图,直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B‎1C的中点,DE⊥平面BCC1‎ ‎(Ⅰ)证明:AB=AC ‎ ‎(Ⅱ)设二面角A-BD-C为60°,求B‎1C与平面BCD所成的角的大小 解析:本题考查线面垂直证明线面夹角的求法,第一问可取BC中点F,通过证明AF⊥平面BCC1,再证AF为BC的垂直平分线,第二问先作出线面夹角,即证四边形AFED是正方形可证平面DEF⊥平面BDC,从而找到线面夹角求解。此题两问也可建立空间直角坐标系利用向量法求解。‎ 解法一:(Ⅰ)取BC中点F,连接EF,则EF,从而EFDA。‎ A C B A1‎ B1‎ C1‎ D E 连接AF,则ADEF为平行四边形,从而AF//DE。又DE⊥平面,故AF⊥平面,从而AF⊥BC,即AF为BC的垂直平分线,所以AB=AC。‎ ‎(Ⅱ)作AG⊥BD,垂足为G,连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD,故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知,∠AGC=600..‎ ‎ 设AC=2,则AG=。又AB=2,BC=,故AF=。‎ 由得2AD=,解得AD=。‎ 故AD=AF。又AD⊥AF,所以四边形ADEF为正方形。‎ 因为BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故BC⊥平面DEF,因此平面BCD⊥平面DEF。‎ 连接AE、DF,设AE∩DF=H,则EH⊥DF,EH⊥平面BCD。‎ 连接CH,则∠ECH为与平面BCD所成的角。21世纪教育网 ‎ 因ADEF为正方形,AD=,故EH=1,又EC==2,‎ 所以∠ECH=300,即与平面BCD所成的角为300.‎ 解法二:‎ ‎(Ⅰ)以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系A—xyz。‎ 设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则(1,0,‎2c),E(,,c).‎ 于是=(,,0),=(-1,b,0).由DE⊥平面知DE⊥BC, =0,求得b=1,所以 AB=AC。‎ ‎(Ⅱ)设平面BCD的法向量则 又=(-1,1, 0),‎ ‎=(-1,0,c),故 ‎ 令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ).‎ 又平面的法向量=(0,1,0)‎ 由二面角为60°知,=60°,‎ 故 °,求得 ‎ 于是 , ‎ ‎,‎ ‎ °‎ 所以与平面所成的角为30°‎ ‎9.(2009江苏卷)(本小题满分14分) ‎ 如图,在直三棱柱中,、分别是、的中点,点在上,。 ‎ 求证:(1)EF∥平面ABC; ‎ ‎(2)平面平面.‎ ‎【解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系,考查空间想象能力、推理论证能力。满分14分。‎ ‎10.(2009全国卷Ⅰ理)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)‎ 如图,四棱锥中,底面为矩形,底面, ,点M在侧棱上,=60°‎ ‎(I)证明:M在侧棱的中点 ‎(II)求二面角的大小。‎ ‎(I)解法一:作∥交于N,作交于E,‎ 连ME、NB,则面,,‎ 设,则,‎ 在中,。‎ 在中由 解得,从而 M为侧棱的中点M. ‎ 解法二:过作的平行线.‎ 解法三:利用向量处理. 详细可见09年高考参考答案. ‎ ‎(II)分析一:‎ 利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。‎ 过作∥交于,作交于,作交于,则∥,面,面面,面即为所求二面角的补角.‎ 分析二:利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点,则点为AM的中点,取SA的中点G,连GF,易证,则即为所求二面角.‎ 分析三:利用空间向量求。在两个半平面内分别与交线AM垂直的两个向量的夹角即可。‎ 另外:利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等,这些方法也能奏效。‎ 总之在目前,立体几何中的两种主要的处理方法:传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。‎ ‎11.(2009安徽卷理)(本小题满分13分)‎ 如图,四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形,其对角线AC=2,BD=,AE、CF都与平面ABCD垂直,AE=1,CF=2.‎ ‎(I)求二面角B-AF-D的大小;‎ ‎(II)求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积.‎ 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识,考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分13分。‎ 解:(I)(综合法)连接AC、BD交于菱形的中心O,过O作OGAF,‎ G为垂足。连接BG、DG。由BDAC,BDCF得BD平面ACF,故BDAF。 ‎ 于是AF平面BGD,所以BGAF,DGAF,BGD为二面角B-AF-D 的平面角。‎ 由, ,得, ‎ 由,得 ‎(向量法)以A为坐标原点,、、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)‎ 设平面ABF的法向量,则由得 令,得,‎ 同理,可求得平面ADF的法向量。 ‎ 由知,平面ABF与平面ADF垂直,‎ 二面角B-AF-D的大小等于。‎ ‎(II)连EB、EC、ED,设直线AF与直线CE相交于点H,则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。‎ 过H作HP⊥平面ABCD,P为垂足。‎ 因为EA⊥平面ABCD,FC⊥平面ABCD,,所以平面ACFE⊥平面ABCD,从而 由得。‎ 又因为 ‎ 故四棱锥H-ABCD的体积 ‎13.(2009安徽卷文)(本小题满分13分)‎ 如图,ABCD的边长为2的正方形,直线l与平面ABCD平行,g和F式l上的两个不同点,且EA=ED,FB=FC, 和是平面ABCD内的两点,和都与平面ABCD垂直,‎ ‎(Ⅰ)证明:直线垂直且平分线段AD:21世纪教育网 ‎ ‎(Ⅱ)若∠EAD=∠EAB=60°,EF=2,求多面 体ABCDEF的体积。‎ ‎【思路】根据空间线面关系可证线线垂直,由分割法可求得多面体体积,体现的是一种部分与整体的基本思想。‎ ‎【解析】(1)由于EA=ED且 点E在线段AD的垂直平分线上,同理点F在线段BC的垂直平分线上.‎ 又ABCD是四方形 线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线 即点EF都居线段AD的垂直平分线上. 21世纪教育网 ‎ 所以,直线EF垂直平分线段AD.‎ ‎(2)连接EB、EC由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥E—ABCD和正四面体E—BCF两部分.设AD中点为M,在Rt△MEE中,由于ME=1, .‎ ‎—ABCD 又—BCF=VC-BEF=VC-BEA=VE-ABC 多面体ABCDEF的体积为VE—ABCD+VE—BCF=‎ ‎14.(2009江西卷文)(本小题满分12分)‎ 如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,,.以的中点为球心、为直径的球面交于点.‎ ‎(1)求证:平面⊥平面;‎ ‎(2)求直线与平面所成的角;‎ ‎(3)求点到平面的距离.‎ 解:方法(一):‎ ‎(1)证:依题设,M在以BD为直径的球面上,则BM⊥PD.‎ 因为PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB,又AB⊥AD,‎ 所以AB⊥平面PAD,则AB⊥PD,因此有PD⊥平面ABM,所以平面ABM⊥平面PCD.‎ ‎(2)设平面ABM与PC交于点N,因为AB∥CD,所以AB∥平面PCD,则AB∥MN∥CD,‎ 由(1)知,PD⊥‎ 平面ABM,则MN是PN在平面ABM上的射影,‎ 所以 就是与平面所成的角,‎ 且 ‎ ‎ 所求角为 ‎(3)因为O是BD的中点,则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半,由(1)知,PD⊥平面ABM于M,则|DM|就是D点到平面ABM距离.‎ 因为在Rt△PAD中,,,所以为中点,,则O点到平面ABM的距离等于。‎ 方法二:‎ ‎(1)同方法一;‎ ‎(2)如图所示,建立空间直角坐标系,则,,, ,,,‎ 设平面的一个法向量,由可得:,令,则,即.设所求角为,则,‎ 所求角的大小为. ‎ ‎(3)设所求距离为,由,得:‎ ‎15.(2009江西卷理)(本小题满分12分)‎ 在四棱锥中,底面是矩形,平面,,. 以的中点为球心、为直径的球面交于点,交于点.‎ ‎(1)求证:平面⊥平面; ‎ ‎(2)求直线与平面所成的角的大小;‎ ‎(3)求点到平面的距离.‎ 解:‎ 方法一:(1)依题设知,AC是所作球面的直径,则AM⊥MC。‎ 又因为P A⊥平面ABCD,则PA⊥CD,又CD⊥AD,‎ 所以CD⊥平面PAD,则CD⊥AM,所以A M⊥平面PCD,‎ 所以平面ABM⊥平面PCD。‎ ‎(2)由(1)知,,又,则是的中点可得 ‎,‎ 则 设D到平面ACM的距离为,由即,‎ 可求得,‎ 设所求角为,则,。‎ (1) 可求得PC=6。因为AN⊥NC,由,得PN。所以。‎ 故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的。‎ 又因为M是PD的中点,则P、D到平面ACM的距离相等,由(2)可知所求距离为。‎ 方法二:‎ ‎(1)同方法一;‎ ‎(2)如图所示,建立空间直角坐标系,则,,, ,,;设平面的一个法向量,由可得:,令,则 ‎。设所求角为,则,‎ ‎ 所以所求角的大小为。‎ ‎(3)由条件可得,.在中,,所以,则, ,所以所求距离等于点到平面距离的,设点到平面距离为则,所以所求距离为。‎ ‎16.(2009湖北卷理)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)‎ ‎ 如图,四棱锥S—ABCD的底面是正方形,SD平面ABCD,SD=‎2a,点E是SD上的点,且 ‎(Ⅰ)求证:对任意的,都有 ‎(Ⅱ)设二面角C—AE—D的大小为,直线BE与平面ABCD所成的角为,若,求的值 ‎ ‎18.(Ⅰ)证法1:如图1,连接BE、BD,由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD。‎ ‎ SD⊥平面ABCD,BD是BE在平面ABCD上的射影,AC⊥BE ‎(Ⅱ)解法1:如图1,由SD⊥平面ABCD知,∠DBE= ,‎ ‎ SD⊥平面ABCD,CD平面ABCD, SD⊥CD。‎ ‎ 又底面ABCD是正方形, CD⊥AD,而SD AD=D,CD⊥平面SAD.‎ 连接AE、CE,过点D在平面SAD内作DE⊥AE于F,连接CF,则CF⊥AE,‎ 故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角,即∠CDF=。‎ 在Rt△BDE中,BD=‎2a,DE=‎ 在Rt△ADE中, ‎ 从而 在中,. ‎ 由,得.‎ 由,解得,即为所求.‎ (I) 证法2:以D为原点,的方向分别作为x,y,z轴的正方向建立如 ‎ 图2所示的空间直角坐标系,则 ‎ D(0,0,0),A(,0,0),B(,,0),C(0,,0),E(0,0),‎ ‎ ‎ ‎ , ‎ ‎ 即。‎ (II) 解法2:‎ 由(I)得.‎ 设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则由得 ‎。‎ ‎ 易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为.‎ ‎ . ‎ ‎ 0<,,‎ ‎ .‎ ‎ 由于,解得,即为所求。‎ ‎19.(2009四川卷文)(本小题满分12分)‎ 如图,正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直,△是等腰直角三角形,‎ ‎(I)求证:;‎ ‎(II)设线段、的中点分别为、,求证: ∥‎ ‎(III)求二面角的大小。‎ ‎【解析】解法一:‎ 因为平面ABEF⊥平面ABCD,BC平面ABCD,BC⊥AB,平面ABEF∩平面ABCD=AB,‎ 所以BC⊥平面ABEF.‎ 所以BC⊥EF.‎ 因为⊿ABE为等腰直角三角形,AB=AE,‎ 所以∠AEB=45°,‎ 又因为∠AEF=45,‎ 所以∠FEB=90°,即EF⊥BE.‎ 因为BC平面ABCD, BE平面BCE,‎ BC∩BE=B 所以 ‎ …………………………………………6分 ‎(II)取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC ‎∴ PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.‎ ‎∵ CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,‎ ‎∴ PM∥平面BCE. …………………………………………8分 ‎(III)由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.‎ 作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,‎ 作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.‎ ‎∴ ∠FHG为二面角F-BD-A的平面角.‎ ‎∵ FA=FE,∠AEF=45°,‎ ‎∠AEF=90°, ∠FAG=45°.‎ 设AB=1,则AE=1,AF=,则 在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,‎ ‎, ‎ 在Rt⊿FGH中, ,‎ ‎∴ 二面角的大小为 ‎ …………………………………………12分 ‎ 解法二: 因等腰直角三角形,,所以 又因为平面,所以⊥平面,‎ 所以 即两两垂直;如图建立空间直角坐标系,‎ ‎ (I) 设,则,‎ ‎∵,∴,‎ 从而 ‎ ‎,‎ 于是,‎ ‎ ∴⊥,⊥‎ ‎ ∵平面,平面,‎ ‎ ∴‎ ‎(II),从而 ‎ 于是 ‎ ∴⊥,又⊥平面,直线不在平面内,‎ ‎ 故∥平面 ‎(III)设平面的一个法向量为,并设=(‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 取,则,,从而=(1,1,3)‎ ‎ 取平面D的一个法向量为 ‎ ‎ 故二面角的大小为 ‎20.(2009全国卷Ⅱ理)(本小题满分12分)‎ ‎ 如图,直三棱柱中,、‎ 分别为、的中点,平面 ‎ ‎(I)证明:‎ ‎(II)设二面角为60°,求与平面所成的角的大小。‎ ‎(I)分析一:连结BE,为直三棱柱, ‎ 为的中点,。又平面,‎ ‎(射影相等的两条斜线段相等)而平面,‎ ‎(相等的斜线段的射影相等)。‎ 分析二:取的中点,证四边形为平行四边形,进而证∥,,得也可。‎ 分析三:利用空间向量的方法。具体解法略。‎ ‎(II)分析一:求与平面所成的线面角,只需求点到面的距离即可。‎ 作于,连,则,为二面角的平面角,.不妨设,则.在中,由,易得.‎ ‎ 设点到面的距离为,与平面所成的角为。利用,可求得,又可求得 ‎ 即与平面所成的角为 分析二:作出与平面所成的角再行求解。如图可证得,所以面。由分析一易知:四边形为正方形,连,并设交点为,则,为在面内的射影。。以下略。‎ 分析三:利用空间向量的方法求出面的法向量,则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。‎ 总之在目前,立体几何中的两种主要的处理方法:传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。‎ ‎21.(2009辽宁卷理)(本小题满分12分)‎ 如图,已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点 。‎ ‎(I)若平面ABCD ⊥平面DCEF,求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦;‎ ‎(II)用反证法证明:直线ME 与 BN 是两条异面直线。 ‎ ‎(18)(I)解法一:‎ 取CD的中点G,连接MG,NG。‎ 设正方形ABCD,DCEF的边长为2, ‎ 则MG⊥CD,MG=2,NG=.‎ 因为平面ABCD⊥平面DCED,‎ 所以MG⊥平面DCEF,‎ 可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角。因为MN=,所以sin∠MNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值 ……6分 解法二:‎ ‎ 设正方形ABCD,DCEF的边长为2,以D为坐标原点,分别以射线DC,DF,DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.‎ 则M(1,0,2),N(0,1,0),可得=(-1,1,2). ‎ 又=(0,0,2)为平面DCEF的法向量,‎ 可得cos(,)=· ‎ 所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为 cos· ……6分 ‎(Ⅱ)假设直线ME与BN共面, ……8分 则AB平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN 由已知,两正方形不共面,故AB平面DCEF。‎ 又AB//CD,所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,‎ 所以AB//EN。‎ 又AB//CD//EF,‎ 所以EN//EF,这与EN∩EF=E矛盾,故假设不成立。‎ 所以ME与BN不共面,它们是异面直线. ……12分 ‎22.(2009宁夏海南卷理)(本小题满分12分)‎ 如图,四棱锥S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的倍,P为侧棱SD上的点。 ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅰ)求证:AC⊥SD; ‎ ‎(Ⅱ)若SD⊥平面PAC,求二面角P-AC-D的大小 ‎(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E, 使得BE∥平面PAC。若存在,求SE:EC的值;若不存在,试说明理由。‎ 解法一:‎ ‎ (Ⅰ)连BD,设AC交BD于O,由题意。在正方形ABCD中,,所以,得.‎ ‎ (Ⅱ)设正方形边长,则。‎ 又,所以,‎ ‎ 连,由(Ⅰ)知,所以, ‎ 且,所以是二面角的平面角。‎ 由,知,所以,‎ 即二面角的大小为。‎ ‎ (Ⅲ)在棱SC上存在一点E,使 由(Ⅱ)可得,故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知,又由于,故平面,得,由于,故.‎ 解法二:‎ ‎ (Ⅰ);连,设交于于,由题意知.以O为坐标原点,分别为轴、轴、轴正方向,建立坐标系如图。‎ ‎ 设底面边长为,则高。‎ ‎ 于是 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故 ‎ 从而 ‎ ‎ (Ⅱ)由题设知,平面的一个法向量,平面的一个法向量,设所求二面角为,则,所求二面角的大小为 ‎ (Ⅲ)在棱上存在一点使.‎ ‎ 由(Ⅱ)知是平面的一个法向量,‎ ‎ 且 ‎ 设 ‎ 则 ‎ 而 ‎ 即当时, ‎ 而不在平面内,故 ‎23.(2009湖北卷文)(本小题满分12分)‎ ‎ 如图,四棱锥S=ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=AD=a,点E是SD上的点,且DE=a(0<≦1). ‎ ‎(Ⅰ)求证:对任意的(0、1),都有AC⊥BE:‎ ‎(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为‎600C,求的值。‎ 本小题主要考察空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。(满分12分)‎ ‎ (Ⅰ)证发1:连接BD,由底面是正方形可得ACBD。‎ ‎ SD平面ABCD,BD是BE在平面ABCD上的射影,‎ 由三垂线定理得ACBE.‎ ‎(II)解法1:SD平面ABCD,CD平面ABCD, SDCD. ‎ 又底面ABCD是正方形, CDAD,又SDAD=D,CD平面SAD。‎ 过点D在平面SAD内做DFAE于F,连接CF,则CFAE, ‎ 故CFD是二面角C-AE-D 的平面角,即CFD=60°‎ 在Rt△ADE中,AD=, DE= , AE= 。‎ 于是,DF=‎ 在Rt△CDF中,由cot60°=‎ 得, 即=3 ‎ ‎, 解得=‎ ‎22.(2009湖南卷文)(本小题满分12分)‎ ‎ 如图3,在正三棱柱中,AB=4, ,点D是BC的中点,点E在AC上,且DEE.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面平面; ‎ ‎(Ⅱ)求直线AD和平面所成角的正弦值。‎ 解:(Ⅰ)如图所示,由正三棱柱的性质知平面.‎ 又DE平面ABC,所以DE.而DEE,,‎ 所以DE⊥平面.又DE 平面,‎ 故平面⊥平面.‎ ‎ (Ⅱ)解法 1: 过点A作AF垂直于点,‎ 连接DF.由(Ⅰ)知,平面⊥平面,‎ 所以AF平面,故是直线AD和 平面所成的角。 因为DE,‎ 所以DEAC.而ABC是边长为4的正三角形,‎ 于是AD=,AE=4-CE=4-=3.‎ 又因为,所以E= = 4, ‎ ‎ , .‎ 即直线AD和平面所成角的正弦值为 .‎ 解法2 : 如图所示,设O是AC的中点,以O为原点建立空间直角坐标系,‎ 则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,), (2,0,), D(-1, ,0), E(-1,0,0).‎ 易知=(-3,,-),=(0,-,0),=(-3,,0).‎ 设是平面的一个法向量,则 解得.‎ 故可取.于是 ‎ ‎= . ‎ 由此即知,直线AD和平面所成角的正弦值为 .‎ ‎24.(2009辽宁卷文)(本小题满分12分)‎ 如图,已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点。‎ ‎(I)若CD=2,平面ABCD ⊥平面DCEF,求直线MN的长;‎ ‎(II)用反证法证明:直线ME 与 BN 是两条异面直线。 ‎ ‎(19)解 ‎ (Ⅰ)取CD的中点G连结MG,NG.‎ ‎ 因为ABCD,DCEF为正方形,且边长为2,‎ ‎ 所以MG⊥CD,MG=2,.‎ ‎ 因为平面ABCD⊥平面DCEF,‎ ‎ 所以MG⊥平面DCEF,可得MG⊥NG.‎ ‎ 所以 ……6分 ‎(Ⅱ)假设直线ME与BN共面, …..8分 则平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN,‎ 由已知,两正方形不共面,故平面DCEF.‎ 又AB∥CD,所以AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,‎ 所以AB∥EN.‎ 又AB∥CD∥EF,‎ 所以EN∥EF,这与矛盾,故假设不成立。 ‎ 所以ME与BN不共面,它们是异面直线。 ……..12分 ‎25.(2009全国卷Ⅰ文)(本小题满分12分)(注决:在试题卷上作答无效)‎ ‎ 如图,四棱锥中,底面为矩形,底面,,‎ ‎,点在侧棱上,。 ‎ ‎(I)证明:是侧棱的中点;‎ 求二面角的大小。(同理18) ‎ ‎【解析】本小题考查空间里的线线关系、二面角,综合题。‎ ‎(I)解法一:作∥交于N,作交于E,‎ 连ME、NB,则面,,‎ 设,则,‎ 在中,。‎ 在中由 解得,从而 M为侧棱的中点M. ‎ 解法二:过作的平行线.‎ ‎(II)分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。‎ 过作∥交于,作交于,作交于,则∥,面,面面,面即为所求二面角的补角.‎ 法二:利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点,则点为AM的中点,取SA的中点G,连GF,易证,则即为所求二面角.‎ 解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D—xyz,则 ‎。‎ S A B C D M z x y ‎(Ⅰ)设,则 ‎,‎ ‎,由题得 ‎,即 解之个方程组得即 所以是侧棱的中点。 ‎ 法2:设,则 又 故,即 ‎,解得,‎ 所以是侧棱的中点。‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得,又,,‎ 设分别是平面、的法向量,则 且,即且 分别令得,即 ‎,‎ ‎∴ ‎ 二面角的大小。‎ ‎26.(2009四川卷文)(本小题满分12分)‎ 如图,正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直,△是等腰直角三角形,‎ ‎(I)求证:;‎ ‎(II)设线段、的中点分别为、,‎ 求证: ∥‎ ‎(III)求二面角的大小。‎ ‎【解析】解法一:‎ 因为平面ABEF⊥平面ABCD,BC平面ABCD,BC⊥AB,平面ABEF∩平面ABCD=AB,‎ 所以BC⊥平面ABEF.‎ 所以BC⊥EF.‎ 因为⊿ABE为等腰直角三角形,AB=AE,‎ 所以∠AEB=45°,‎ 又因为∠AEF=45,‎ 所以∠FEB=90°,即EF⊥BE.‎ 因为BC平面ABCD, BE平面BCE,‎ BC∩BE=B 所以 ‎ …………………………………………6分 ‎(II)取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC ‎∴ PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.‎ ‎∵ CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,‎ ‎∴ PM∥平面BCE. …………………………………………8分 ‎(III)由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.‎ 作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,‎ 作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.‎ ‎∴ ∠FHG为二面角F-BD-A的平面角.‎ ‎∵ FA=FE,∠AEF=45°,‎ ‎∠AEF=90°, ∠FAG=45°.‎ 设AB=1,则AE=1,AF=,则 在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,‎ ‎, ‎ 在Rt⊿FGH中, ,‎ ‎∴ 二面角的大小为 ‎ …………………………………………12分 ‎ 解法二: 因等腰直角三角形,,所以 又因为平面,所以⊥平面,所以 即两两垂直;如图建立空间直角坐标系,‎ ‎ (I) 设,则,‎ ‎∵,∴,‎ 从而 ‎ ‎,‎ 于是,‎ ‎ ∴⊥,⊥‎ ‎ ∵平面,平面,‎ ‎ ∴‎ ‎(II),从而 ‎ 于是 ‎ ∴⊥,又⊥平面,直线不在平面内,‎ ‎ 故∥平面 ‎(III)设平面的一个法向量为,并设=(‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 取,则,,从而=(1,1,3)‎ ‎ 取平面D的一个法向量为 ‎ ‎ 故二面角的大小为 ‎27.(2009陕西卷文)(本小题满分12分) ‎ 如图,直三棱柱中, AB=1,C B A C1‎ B1‎ A1‎ ,∠ABC=60.‎ ‎(Ⅰ)证明:;‎ ‎(Ⅱ)求二面角A——B的大小。 ‎ 解析:解答1(Ⅰ)‎ 因为三棱柱为直三棱柱所以 在中 由正弦定理得所以 即,所以又因为所以 ‎(Ⅱ)如图所示,作交于,连,由三垂线定理可得 所以为所求角,在中,,在中, ,所以 所以所成角是 ‎28.(2009宁夏海南卷文)(本小题满分12分)‎ 如图,在三棱锥中,⊿是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90 º ‎(Ⅰ)证明:AB⊥PC ‎(Ⅱ)若,且平面⊥平面, ‎ 求三棱锥体积。‎ ‎(18)解:‎ ‎(Ⅰ)因为是等边三角形,,‎ 所以,可得。‎ 如图,取中点,连结,,‎ 则,,‎ 所以平面,‎ 所以。 ......6分 ‎ ‎(Ⅱ)作,垂足为,连结.‎ 因为,‎ 所以,.‎ 由已知,平面平面,故.        ......8分 因为,所以都是等腰直角三角形。‎ 由已知,得, 的面积.‎ 因为平面,‎ 所以三角锥的体积 ‎ .......12分 ‎29.(2009湖南卷理)(本小题满分12分)‎ 如图4,在正三棱柱中,‎ D是的中点,点E在上,且。‎ (I) 证明平面平面 (II) 求直线和平面所成角的正弦值。 ‎ 解 (I) 如图所示,由正三棱柱的性质知平面 又DE平面ABC,所以DEAA.‎ 而DEAE。AAAE=A 所以DE平面AC CA,又DE平面ADE,故平面ADE平面AC CA。‎ ‎(2)解法1 如图所示,设F使AB的中点,连接DF、DC、CF,由正三棱柱ABC- ABC的性质及D是AB的中点知ABCD, ABDF ‎ 又CDDF=D,所以AB平面CDF,‎ 而AB∥AB,所以 AB平面CDF,又AB平面ABC,故 平面AB C平面CDF。‎ 过点D做DH垂直CF于点H,则DH平面AB C。 ‎ 连接AH,则HAD是AD和平面ABC所成的角。‎ 由已知AB=A A,不妨设A A=,则AB=2,DF=,D C=,‎ CF=,AD==,DH==—,‎ 所以 sinHAD==。‎ 即直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。‎ 解法2 如图所示,设O使AC的中点,以O为原点建立空间直角坐标系,不妨设 A A=,则AB=2,相关各点的坐标分别是 A(0,-1,0), B(,0,0), C(0,1,), D(,-,)。‎ 易知=(,1,0), =(0,2,), =(,-,) ‎ 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则有 解得x=-y, z=-,‎ 故可取n=(1,-,)。‎ 所以,(n·)===。‎ 由此即知,直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。‎ ‎30.(2009天津卷理)(本小题满分12分)‎ 如图,在五面体ABCDEF中,FA 平面ABCD, AD//BC//FE,ABAD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=AD ‎ ‎(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小;‎ ‎(II) 证明平面AMD平面CDE;‎ ‎(III)求二面角A-CD-E的余弦值。 ‎ 本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分12分.‎ 方法一:(Ⅰ)解:由题设知,BF//CE,所以∠CED(或其补角)为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点,连结EP,PC。因为FEAP,所以FAEP,同理ABPC。又FA⊥平面ABCD,所以EP⊥平面ABCD。而PC,AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC,EP⊥AD。由AB⊥AD,可得PC⊥AD设FA=a,则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=,故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60° ‎ ‎(II)证明:因为 ‎(III)‎ 由(I)可得,‎ ‎ ‎ 方法二:如图所示,建立空间直角坐标系,‎ 点为坐标原点。设依题意得 ‎ ‎(I) ‎ 所以异面直线与所成的角的大小为.‎ ‎(II)证明: ,‎ ‎ ‎ ‎(III) ‎ 又由题设,平面的一个法向量为 ‎ ‎ ‎31.(2009四川卷理)(本小题满分12分)如图,正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直,△是等腰直角三角形,‎ ‎(I)求证:;‎ ‎(II)设线段的中点为,在直线上是否存在一点,使得 ‎?若存在,请指出点的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由;‎ ‎(III)求二面角的大小。‎ 本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角 等基础知识,考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识,考察应用向量知识解决数学问题的能力。‎ 解法一:‎ ‎(Ⅰ)因为平面⊥平面,平面,‎ 平面平面,‎ 所以⊥平面 所以⊥.‎ 因为为等腰直角三角形, ,‎ 所以 又因为,‎ 所以,‎ 即⊥,‎ 所以⊥平面。 ……………………………………4分 ‎ (Ⅱ)存在点,当为线段AE的中点时,PM∥平面 ‎ 取BE的中点N,连接AN,MN,则MN∥=∥=PC ‎ 所以PMNC为平行四边形,所以PM∥CN ‎ 因为CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,‎ ‎ 所以PM∥平面BCE ……………………………………8分 ‎ (Ⅲ)由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知,EA⊥平面ABCD 作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA。从而,FG⊥平面ABCD 作GH⊥BD于G,连结FH,则由三垂线定理知,BD⊥FH 因此,∠AEF为二面角F-BD-A的平面角 因为FA=FE, ∠AEF=45°,‎ 所以∠AFE=90°,∠FAG=45°.‎ 设AB=1,则AE=1,AF=. ‎ FG=AF·sinFAG=‎ 在Rt△FGH中,∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,‎ GH=BG·sinGBH=·=‎ 在Rt△FGH中,tanFHG= = ‎ 故二面角F-BD-A的大小为arctan. ………………………………12分 解法二:‎ ‎(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,‎ 所以AE⊥AB.‎ 又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,‎ 平面ABEF∩平面ABCD=AB,‎ 所以AE⊥平面ABCD.‎ 所以AE⊥AD.‎ 因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.‎ 设AB=1,则AE=1,B(0,1,0),D (1, 0, 0 ) ,‎ E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).‎ 因为FA=FE, ∠AEF = 45°,‎ 所以∠AFE= 90°.‎ 从而,.‎ 所以,,.‎ ‎,.‎ 所以EF⊥BE, EF⊥BC.‎ 因为BE平面BCE,BC∩BE=B ,‎ 所以EF⊥平面BCE.‎ ‎ (Ⅱ) M(0,0,).P(1, ,0).‎ 从而=(,).‎ 于是 所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE,直线PM不在平面BCE内,‎ 故PM∥平面BCE. ………………………………8分 ‎(Ⅲ) 设平面BDF的一个法向量为,并设=(x,y,z)‎ ‎=(1,1,0),‎ ‎ 即 去y=1,则x=1,z=3,从=(0,0,3)‎ 取平面ABD的一个法向量为=(0,0,1)‎ 故二面角F-BD-A的大小为. ……………………………………12分 ‎32.(2009福建卷文)(本小题满分12分)‎ 如图,平行四边形中,,将 沿折起到的位置,使平面平面 ‎ (I)求证: ‎ ‎ (Ⅱ)求三棱锥的侧面积。‎ ‎(I)证明:在中,‎ ‎ ‎ ‎ 又平面平面 ‎ 平面平面平面 ‎ 平面 ‎ 平面 ‎(Ⅱ)解:由(I)知从而 ‎ 在中,‎ ‎ ‎ ‎ 又平面平面 ‎ ‎ ‎ 平面平面,平面 ‎ 而平面 ‎ 综上,三棱锥的侧面积,‎ ‎33.(2009年上海卷理)(本题满分14分)‎ 如图,在直三棱柱中,,‎ ‎,求二面角的大小。 ‎ ‎19,【解】如图,建立空间直角坐标系 则A(2,0,0)、 C(0,2,0) A1(2,0,2),21世纪教育网 ‎ B1(0,0,2) 、C1(0,2,2) ……2分 设AC的中点为M,∵BM⊥AC, BM⊥CC1;‎ ‎∴BM⊥平面A‎1C1C,即=(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量。……5分 设平面的一个法向量是 =(x,y,z),‎ ‎ =(-2,2,-2), =(-2,0,0) ……7分 ‎ ‎ 设法向量的夹角为,二面角的大小为,显然为锐角 ‎…………………….14分 ‎34.(2009重庆卷理)(本小题满分12分,(Ⅰ)问5分,(Ⅱ)问7分)‎ 如题(19)图,在四棱锥中,且;平面平面,;为的中点,.求:‎ ‎(Ⅰ)点到平面的距离;‎ ‎(Ⅱ)二面角的大小. 21世纪教育网 ‎ ‎(19)(本小题12分)‎ 解法一:‎ ‎(Ⅰ)因为AD//BC,且所以从而A点到平面的距离等于D点到平面的距离。‎ 因为平面故,从而,由AD//BC,得,又由知,从而为点A到平面的距离,因此在中 ‎(Ⅱ)如答(19)图1,过E电作交于点G,又过G点作,交AB于H,故为二面角的平面角,记为,过E点作EF//BC,交于点F,连结GF,因平面,故.‎ 由于E为BS边中点,故,在中,‎ ‎,因,又 故由三垂线定理的逆定理得,从而又可得 因此而在中,‎ ‎ 21世纪教育网 ‎ 在中,可得,故所求二面角的大小为 解法二:‎ ‎(Ⅰ)如答(19)图2,以S(O)为坐标原点,射线OD,OC分别为x轴,y轴正向,建立空间坐标系,设,因平面 即点A在xoz平面上,因此 又 因AD//BC,故BC⊥平面CSD,即BCS与平面 yOx重合,从而点A到平面BCS的距离为.‎ ‎(Ⅱ)易知C(0,2,0),D(,0,0). 因E为BS的中点.‎ ΔBCS为直角三角形 ,‎ 知 ‎ 设B(0,2, ),>0,则=2,故B(0,2,2),所以E(0,1,1) .‎ 在CD上取点G,设G(),使GE⊥CD . 21世纪教育网 ‎ 由故 ‎ ① ‎ 又点G在直线CD上,即,由=(),则有 ②‎ 联立①、②,解得G= ,‎ 故=.又由AD⊥CD,所以二面角E-CD-A的平面角为向量与向量所成的角,记此角为 .‎ 因为=,,所以21世纪教育网 ‎ ‎ ‎ 故所求的二面角的大小为 .‎ ‎35.(2009重庆卷文)(本小题满分13分,(Ⅰ)问7分,(Ⅱ)问6分)‎ 如题(18)图,在五面体中,∥,,,四边形为平行四边形,平面,.求:‎ ‎(Ⅰ)直线到平面的距离;‎ ‎(Ⅱ)二面角的平面角的正切值.‎ 解法一:‎ ‎(Ⅰ)平面, AB到面的距离等于点A到面的距离,过点A作于G,因∥,故;又平面,由三垂线定理可知,,故,知,所以AG为所求直线AB到面的距离。‎ 在中,‎ 由平面,得AD,从而在中,‎ ‎。即直线到平面的距离为。‎ ‎(Ⅱ)由己知,平面,得AD,又由,知,故平面ABFE ‎,所以,为二面角的平面角,记为.‎ 在中, ,由得,,从而 在中, ,故 所以二面角的平面角的正切值为.‎ 解法二: ‎ ‎(Ⅰ)如图以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,则 A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设可得,由 ‎.即,解得 ∥,‎ 面,所以直线AB到面的距离等于点A到面的距离。设A点在平面上的射影点为,则 因且,而 ‎,此即 解得 ① ,知G点在面上,故G点在FD上.‎ ‎,故有 ② 联立①,②解得, 21世纪教育网 ‎ 为直线AB到面的距离. 而 所以 ‎(Ⅱ)因四边形为平行四边形,则可设, .由 得,解得.即.故 由,因,,故为二面角的平面角,又,,,所以 21世纪教育网 ‎