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- 2021-05-13 发布
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2013届广东高考数学(文科)模拟试题(一)
满分150分,考试用时120分钟。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、设复数满足,为虚数单位,则( )
A、 B、 C、 D、
2、集合,,则等于 ( )
A、 B、 C、 D、
3、已知向量满足,则与的夹角为 ( )
A、 B、 C、 D、
4、函数(其中)的图象如下面右图所示,则函数的图象是 ( )
5、已知,满足不等式组,则的最大值与最小值的比值为( )
i=1
S=0
WHILE i<=50
S=S+i
i=i+1
WEND
PRINT S
END
A、 B、2 C、 D、
6、右边程序执行后输出的结果是 ( )
A、1275 B、1250
C、1225 D、1326
32
7、已知、取值如下表:
0
1
4
5
6
8
1.3
1.8
5.6
6.1
7.4
9.3
从所得的散点图分析可知:与线性相关,且,则 ( )
A、 B、 C、 D、
8、已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
9、若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为( )
A、 B、6 C、 D、
10、如下图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有个点,相应的图案中总的点数记为,则( )
A、 B、 C、 D、
二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分。
(一)必做题(11-13题)
11、若,,成等比数列,则函数的图像与轴交点的个数为_______.
12、如图,一不规则区域内,有一边长为米的正方形,向区域
内随机地撒颗黄豆,数得落在正方形区域内(含边界)的
黄豆数为颗,以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形
的面积为 平方米.(用分数作答)
32
13、已知函数满足,且时,,则与的图象的交点个数为.
(二) 选做题(14(1)和14(2)题,考生只能从中选做一题,若两题都做,则只能计算14(1)题的得分)
14(1)、(坐标系与参数方程选做题)已知直线的参数方程为:(为参数),圆的极坐标方程为,则直线与圆的位置关系为
T
14(2)、(几何证明选讲选做题)如图所示,过外一点作一条直线与交于两点,己知弦,点到的切线长则
三、解答题:本大题共6小题,满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
15、(12分)已知向量,,函数
(1)求函数的最小正周期;
(2)在中,分别是角的对边,且,,,且,求的值.
32
16、(13分)某市为了了解今年高中毕业生的体能状况,从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试,成绩在7.95米及以上的为合格。把所得数据进行整理后,分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图),已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30 ,第6小组的频数是7.
(1)求这次铅球测试成绩合格的人数;
(2)若由直方图来估计这组数据的中位数,指出它在第几组内,并说明理由;
(3)若参加此次测试的学生中,有9人的成绩为优秀,现在要从成绩优秀的学生中,随机选出2人参加“毕业运动会”,已知、的成绩均为优秀,求两人至少有1人入选的概率.
32
17、(13分)如图,直三棱柱中, ,,,,
M、N分别是和的中点.
(1)求异面直线与所成的角的余弦;
(2)求三棱锥的体积.
18、(14分)已知椭圆的右顶点为抛物线的焦点,上顶点为,离心率为
(1)求椭圆的方程;
(2)过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点,若线段的中点横坐标是,求直线的方程。
32
19、(14分)已知
(1)若函数 与 的图像在 处的切线平行,求的值;
(2)求当曲线有公共切线时,实数的取值范围;并求此时函数在区间上的最值(用表示)。
20、(14分)已知数列是各项均不为0的等差数列,公差为d,为其前n项和,且满足,.数列满足,, 为数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式和数列的前n项和;
(2)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)是否存在正整数,使得成等比数列?若存在,求出所有的值;若不存在,请说明理由.
32
2013届广东高考数学(文科)模拟试题(一)参考答案
一、选择题: 1-10: DDCAB ABCDB
二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分。
(一)必做题(11-13题)
11、0 12、 13、4 14(1)相交 14(2) 2
三、解答题:本大题共6小题,满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
15、(12分)已知向量,,函数
(1)求函数的最小正周期;
(2)在中,分别是角的对边,且,,,且,求的值.
解:(1) ……2分
………4分
∴函数的最小周期 ………5分
(2)
是三角形内角,∴ 即: ………7分
∴ 即:. ………9分
将代入可得:,解之得:
∴, ………11分
,∴,. ………12分
16、(13分)某市为了了解今年高中毕业生的体能状况,从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试,成绩在7.95米及以上的为合格.把所得数据进行整理后,分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图),已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30 ,第6小组的频数是7.
(1)求这次铅球测试成绩合格的人数;
(2)若由直方图来估计这组数据的中位数,指出它在第几组内,并说明理由;
(3)若参加此次测试的学生中,有9人的成绩为优秀,
32
现在要从成绩优秀的学生中,随机选出2人参加“毕业运动会”,已知、的成绩均为优秀,求两人至少有1人入选的概率.
解:(1)第6小组的频率为1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14,……1分
∴此次测试总人数为(人). ……2分
∴第4、5、6组成绩均合格,人数为(0.28+0.30+0.14)×50=36(人).………4分
(2)直方图中中位数两侧的面积相等,即频率相等, ……6分
而前三组的频率和为0.28,前四组的频率和为0.56,
∴中位数位于第4组内. ……8分
(3)设成绩优秀的9人分别为
则从中任意选出2人所有可能的情况为:
,共36种 ……10分
其中、至少有1人入选的情况有15种, ……12分
∴、两人至少有1人入选的概率为…………13分
17、(13分)如图,直三棱柱中, ,,,,M、N分别是和的中点.
(1)求异面直线与所成的角的余弦;
(2)求三棱锥的体积.
解:(1)过A作AQ∥交于Q,连结,
∠B1AQ为异面直线AB1与C1N所成的角(或其补角).……2分
根据四边形为矩形,N是中点,可知Q为中点
计算 ……3分
由已知条件和余弦定理
可得 ……5分
32
异面直线AB1与C1N所成的角的余弦为 …6分
(2)方法一:过作于H,面面于
面 ……9分
由条件易得: ……11分
……13分
方法二:取BC的中点P,连结MP、NP,则MP∥
平面ABC, ……9分
又,
又∵, ∴
∴平面 ……11分
,
……13分
18、(14分)已知椭圆的右顶点为抛物线的焦点,上顶点为,离心率为
(1)求椭圆的方程;
(2)过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点,若线段的中点横坐标是,求直线的方程
解:(1)抛物线的焦点为,依题意可知 …………2分
因为离心率,所以 …………3分
故 …………5分
32
所以椭圆的方程为: …………6分
(2)设直线
P
Q
M
x
y
由,
消去可得 ……8分
因为直线与椭圆相交于两点,
所以
解得 …………9分
又 ……10分
设,中点
因为线段的中点横坐标是
所以 ……12分
解得或 ……13分
因为,所以
因此所求直线 …………14分
19、(14分)已知
(1)若函数 与 的图像在 处的切线平行,求的值;
(2)求当曲线有公共切线时,实数的取值范围;并求此时函数在区间上的最值(用表示)。
32
解:(1)∵, ……2分
由题意知,即 ……3分
解得,或 ……4分
∵,∴ ……5分
x
m
0
(2)若曲线相切
且在交点处有公共切线
由(1)得切点横坐标为, ……6分
∴,∴
, ……8分
由数形结合可知,时,与有公共切线 ……9分
又 ……10分
则与在区间的变化如下表:
-
0
+
↘
极小值
↗
……12分
又
∴当时,,()
,() ……14分
20、(14分)已知数列是各项均不为0的等差数列,公差为d,为其前n项和,且满足,.数列满足,, 为数列的前n项和.
32
(1)求数列的通项公式和数列的前n项和;
(2)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)是否存在正整数,使得成等比数列?若存在,求出所有的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)在中,令,,
得 即 ……1分
解得,, ……2分
又时,满足,
, ……3分
. ……4分
(2)①当为偶数时,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立. ……5分
,等号在时取得.
此时 需满足 ……6分
②当为奇数时,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立. ……7分
是随的增大而增大, 时取得最小值.
此时 需满足. ……8分
综合①、②可得的取值范围是. ……9分
(3),
若成等比数列,则,……10分
即.
32
由,可得, ……12分
即,
. ……13分
又,且,所以,此时.
因此,当且仅当, 时,数列中的成等比数列. …14分
[另解] 因为,故,即,
,(以下同上 ).
32
2013届高三广东六校第二次联考
(文科)数学试题
参考学校:惠州一中 广州二中 东莞中学 中山纪中 深圳实验 珠海一中
本试题共4页,20小题,满分150分,考试用时120分钟
一.选择题:本大题共10小题;每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的
1. 函数的定义域为 ( )
A. B. C. D.
2.复数为虚数单位)在复平面上对应的点的坐标是 ( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
4.的值为 ( )
A. B. C. D.
5.下图为函数,,在同一直角坐标系下的部分图象,则下列结论正确的是 ( )
A .
B.
C.
D.
6.若是定义在上的偶函数,则的值为 ( )
A. B. C. D.无法确定
32
7.在和之间顺次插入三个数,使成一个等比数列,则这个数之积为 ( )
A. B. C. D.
8.若函数在区间(是整数,且)上有一个零点,则的值为 ( )
A. B. C. D.
F
E
P
G
O
Q
H
9.如右图所示的方格纸中有定点,则 ( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图,将等比数列的前6项填入一个三角形的顶点及各边中点的位置,且在图中每个三角形的顶点所填的三项也成等比数列,数列的前2013项和则满足的的值为 ( )
A. B. C. D.
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分
11.已知函数,则
12.已知分别是的三个内角所对的边,若,则
13.已知,,,则与夹角为
14.已知定义在上的函数对任意实数均有,且在区间上有表达式,则函数在区间上的表达式为 _______________
32
三.解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分12分)
已知函数
(1)求的最大值和最小正周期;
(2)设,,求的值
16. (本小题满分12分)
已知、
(1)若,求的值;
(2)若, 的三个内角对应的三条边分别为、、,且,,,求。
32
17. (本小题满分14分)
在等比数列中,公比,且满足,是与的等差中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,且数列的前的和为,求数列的前的和
18. (本小题满分14分)
已知数列,满足,,且(),数列满足
(1)求和的值,
(2)求证:数列 为等差数列,并求出数列的通项公式
(3)设数列的前和为,求证:
32
19. (本小题满分14分)
已知函数,,其中为实数
(1)若在区间为单调函数,求实数的取值范围
(2)当时,讨论函数在定义域内的单调性
20. (本小题满分14分)
已知三次函数为奇函数,且在点的切线方程为
(1)求函数的表达式.
(2)已知数列的各项都是正数,且对于,都有,求数列的首项和通项公式
(3)在(2)的条件下,若数列满足,求数列的最小值.
2013届高三六校第二次联考(文科)数学试题
32
参考答案及评分标准
第Ⅰ卷选择题(满分50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.
1.(C) 2.(B) 3.(A) 4.(A) 5.(C)
6.(B) 7.(C) 8.(D) 9.(A) 10.(B)
第Ⅱ卷非选择题(满分100分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
11. 12. 13. 14.
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分12分)
解:(1)…………………1分
………………………4分
且的最大值为…………………………5分
最小正周期……………………………………6分
(2)…………………7分
, …………………8分
又,…………………9分
…………………10分
…………………11分
又
…………………12分
16. (本小题满分12分)
解:(1)…………………3分
…………………6分
(2)…………………7分
32
…………………8分
…………………10分
由余弦定理可知:…………………11分
…………………12分(其它方法酌情给分)
17. (本小题满分14分)
解(1)由题可知:…………………1分
,…………………3分
或(舍去)…………5分
…………………7分
(2),…………………9分
所以数列是以为首项1为公差的等差数列,…………………11分
…………………12分
所以数列是以6为首项,为公差的等差数列,所以…………………14分
18. (本小题满分14分)
解(1)…………………1分
32
…………………2分
…………………3分
…………………4分
(2)证明:因为,
……………6分
,即数列 以为首项,2为公差的等差数列……………7分
…………………8分
(3)…………………10分
解法一:
因为,…………………12分
所以
…………………14分
解法二:
因为…………………12分
所以
…………………13分
…………………14分
32
19. (本小题满分14分)
解:(1)的对称轴为,…………………2分
开口向上,所以当时,函数在单调递增,…………………4分
当时函数在单调递减,…………………6分
所以若在区间为单调函数,则实数的取值范围或……………7分
(2)的定义域为……………8分
,……………9分
令,,
所以在的正负情况与在的正负情况一致
①当时,即时,则在恒成立,所以在恒成立,所以函数在上为单调递增函数……………10分
②当时,即时,令方程的两根为,且
……………11分
(i)当时,不等式解集为,解集为,所以的单调增区间为;单调减区间为……………12分
(ii) 当时,不等式解集为,解集为,所以的单调增区间为;单调减区间为……………13分
32
综上所述:当时,函数在上为单调递增函数
当时,的单调增区间为;
单调减区间为
当时,的单调增区间为;
单调减区间为……………14分
20. (本小题满分14分)
解:(1)为奇函数, ,即
…………2分
,又因为在点的切线方程为
,…………4分
(2)由题意可知:
所以…….. …....①
由①式可得………….5分
当,………②
由①-②可得:
为正数数列…..③…………..6分
………..④
由③-④可得:
32
,,是以首项为1,公差为1的等差数列,…………..8分
…………9分
(注意:学生可能通过列举然后猜测出,扣2分,即得7分)
(3) ,
令,…………10分
(1)当时,数列的最小值为当时,……….11分
(2)当时
①若时, 数列的最小值为当时,
②若时, 数列的最小值为, 当时或
③若时, 数列的最小值为,当时,
④若时,数列的最小值为,当时
…………14分
32
广东省2013年高考文科数学仿真模拟试题(三)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分).
1. 若集合,,则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内,与复数对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. “” 是“垂直”的
A. 充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 ( )
A. B. C. D.
5.已知长方形ABCD中,AB=4,BC=1,M为AB的中点,则在此长方形内随机取一点P,P与M的距离小于1的概率为( )
A. B.1 C. D.
开始
输出
结束
是
否
输入
6.若变量满足,则的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 阅读右面程序框图,如果输出的函数值在区间内,
则输入的实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 已知为锐角,向量,,
若,则函数的一条对称轴是( )
A. B. C. D.
32
9.已知的顶点B、C在椭圆上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另一个焦点在BC边上,则的周长是( )
A. B. C.8 D.16
10.设等差数列的前项和为,已知,,则下列结论正确的是( )
A., B.,
C., D.,
2
1
1
正(主)视图
侧(左)视图
俯视图
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分).
11.已知,,如果,则实数= .
12.一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,
则这个四棱锥的体积 .
13.同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,
则按此规律第个图案中需用黑色瓷砖___________块.
【选做题】(请在下列两题中任选一题作答)
14.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程为,则曲线C上的点到直线为参数)的距离的最小值为 .
15.(几何证明选讲选做题)如图,半径为2的⊙O中,,
为的中点,的延长线交⊙O于点,则线段的长为 .
32
二、解答题(本大题共6小题,共80分).
16.(本小题满分12分)
在中,、、分别是三内角A、B、C的对应的三边,已知.
(Ⅰ)求角A的大小:
(Ⅱ)若,判断的形状.
32
17.(本小题满分12分)
某班主任对全班 50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如下表所示:
积极参加班级工作
不太主动参加班级工作
合计
学习积极性高
18
7
25
学习积极性一般
6
19
25
合计
24
26
50
(1)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少?
(2)试运用独立性检验的思想方法分析:学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系?并说明理由.
附:独立性检验的随机变量的计算公式:,其中为样本容量.独立性检验的随机变量临界值参考表如下:
0.4
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
32
18. (本小题满分14分)
如图,矩形中,,.,分别在线段和上,∥,将矩形沿折起.记折起后的矩形为,且平面平面.
(Ⅰ)求证:∥平面;
(Ⅱ)若,求证:;
(Ⅲ)求四面体体积的最大值.
32
19.(本小题满分14分)
已知函数. Ks5u
(Ⅰ) 若曲线在和处的切线互相平行,求的值;
(Ⅱ) 求的单调区间;
(Ⅲ) 设,若对任意,均存在,使得,求的取值范围.
32
20. (本小题满分14分)
已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切,分别是椭圆的左右两个顶点, 为椭圆上的动点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若与均不重合,设直线与的斜率分别为,证明:为定值;
(Ⅲ)为过且垂直于轴的直线上的点,若,求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
32
21. (本小题满分14分)
已知函数,为函数的导函数.
(Ⅰ)若数列满足,且,求数列的通项公式;
(Ⅱ)若数列满足,.
(ⅰ)是否存在实数b,使得数列是等差数列?若存在,求出b的值;若不存在,请说明理由;
(ⅱ)若b>0,求证:.
32
广东省2013年高考文科数学仿真模拟试题(三)答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分).
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
D
C
C
B
D
D
A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分).
11. 12. 13. 14. ; 15. .
三、解答题(本大题共6小题,共80分).
16.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)在中,,又
∴ ……………………………5分
(Ⅱ)∵,∴ ……………………7分
∴,∴,
∴,∴,
∵,∴ , ∴为等边三角形.……………………12分
17.(本小题满分12分)
解:(1)由表可知,积极参加班级工作的学生有24人,而总人数为50人,则抽到积极参加班级工作的学生的概率; ……………………5分
(2)由公式;………………10分
所以有的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系,
即有的把握认为学习积极性高的学生积极参加班级工作.……………………12分
18.(本小题满分14分)
95
解:(Ⅰ)证明:因为四边形,都是矩形,
所以 ∥∥,.
所以 四边形是平行四边形,所以 ∥, ………………3分
因为 平面,所以 ∥平面. ………………4分
(Ⅱ)证明:连接,设.
因为平面平面,且,
所以 平面,所以 . ………………6分
又 , 所以四边形为正方形,所以 . ………………7分
所以 平面,所以 .………………9分
(Ⅲ)解:设,则,其中.由(Ⅰ)得平面,
所以四面体的体积为. ………………11分
所以 . ………………13分
当且仅当,即时,四面体的体积最大. ………………14分
19.(本小题满分14分)
解:(Ⅰ),,解得. ……………3分
(Ⅱ). ……………………5分
①当时,,, 在区间上,;在区间上,
故的单调递增区间是,单调递减区间是. ……………………6分
②当时,, 在区间和上,;在区间上,
故的单调递增区间是和,单调递减区间是. …………………7分Ks5u
③当时,, 故的单调递增区间是. ……………………8分
95
④当时,, 在区间和上,;在区间上,
故的单调递增区间是和,单调递减区间是.……………………9分
(Ⅲ)由已知,在上有.……………………10分
由已知,,由(Ⅱ)可知,
①当时,在上单调递增,
故,
所以,,解得,故.……………………11分
②当时,在上单调递增,在上单调递减,
故.
由可知,,,
所以,,, ……………………13分
综上所述,. ……………………14分
20.(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)由题意可得圆的方程为,
∵直线与圆相切,∴,即,
又,即,,解得,,
所以椭圆方程为. ……………………3分
(Ⅱ)设, ,,
则,即, 则,,Ks5u
95
即, ∴为定值. ……………………6分
(Ⅲ)设,其中.
由已知及点在椭圆上可得,
整理得,其中.……………………8分
①当时,化简得,
所以点的轨迹方程为,轨迹是两条平行于轴的线段;
②当时,方程变形为,其中,
当时,点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分;
当时,点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分;
当时,点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆.……………………14分
21.(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)因为 , 所以 .所以 ,
所以 ,且,
所以数列是首项为2,公比为的等比数列.
所以 , 即. ……………………4分
(Ⅱ)(ⅰ)假设存在实数,使数列为等差数列,则必有,
且,,.
所以 ,
95
解得 或.
当时,,,所以数列为等差数列;
当时,,,,,显然不是等差数列.
所以,当时,数列为等差数列. ……………………9分
(ⅱ),,则;
所以 ;所以 .
因为 ,所以 ;
所以 .……………………14分
茂名市201 3年第一次高考模拟考试
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数学试卷(文科)
第一部分选择题(共50分)
一、选择题(本大题共1 0小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知,,则( )
A. B. C. D.
2.气象台预报“茂名市明天降雨的概率是80%”,下列理解正确的是( )。
A.茂名市明天将有80%的地区降雨 B.茂名市明天将有80%的时间降雨
C.明天出行不带雨具肯定要淋雨 D.明天出行不带雨具淋雨的可能性很大
3.计算:( )
A.-2 B.2 C.2i D.-2i
4.已知双曲线的右焦点F(3,o),则此双曲线的离心率为( )
A.6 B. C. D.
5.已知向量,则的充要条件是( )
A. B. C. D.=0
6.函数的零点个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
7.某程序框图如图所示,该程序运行后,
输出的x值为31,则a等于( )
A.0 B.1
C.2 D.3
8.若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方
95
形,且其体积为,则该几何体的俯视图可以是( )
9.函数的图象是( )
10.设向量,,定义一运算:
已知,。点Q在的图像上运动,且满足 (其中O为坐标原点),则的最大值及最小正周期分别是( )
A. B. C. D.
第二部分 非选择题(共100分)
二、填空题(本大题共5小题,第14、15小题任选一道作答,多选的按第14小题给分,共20分)
(一)必做题:第1 1至1 3题为必做题,每道试题考生都必须作答。
11.在区间上任意取一个数x,则的概率为 。
12.已知函数,则 。
13.目标函数在约束条件下取得的最大值是 。
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(二)选做题(14 -15题,考生只能从中选做一题;两题全答的,只计第一题的分)。
14.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为 (θ为参数),则曲线C上的点到直线3x-4y+4=0的距离的最大值为 。
15.(几何证明选讲选做题)如图,⊙O的直径AB=6cm,P是AB
延长线上的一点,过P点作⊙O的切线,切点为C,连接AC,
若∠CPA=30°,PC=_____________
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明,
证明过程或演算步骤)
16.(本小题满分12分)
如图所示,角为钝角,且,点、分别在角
的两边上.
(1)已知=5,AQ =2,求PQ的长;
(2)设的值.
17.(本小题满分1 2分)
某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩,按成绩共分成 五组:第1组,第2组,第3组,第4组,第5组
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, 得到的频率分布直方图如图所示,同时规定成绩在9()分以上(含90分)的学生为“优秀”, 成绩小于90分的学生为“良好”,且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格。
(1)求“优秀”和“良好”学生的人数:
(2)如果用分层抽样的方法从“优秀”和
“良好”的学生中选出10人,求“优
秀”和“良好” 的学生分别选出几人?
(3)若甲是在(2)选出的 “优秀”学生中
的一个,则从选出的“优秀”学生中再
选2人参加某专项测试,求甲被选中的
概率是多少?
18.(本小题满分14分)
在如图所示的多面体ABCDE中,平面ACD,平面ACD,
95
,,AD=DE=2,G为AD的中点。
(1)求证:;
(2)在线段CE上找一点F,使得BF//平面ACD并证明;
(3)求三棱锥的体积。
19.(本小题满分14分)
已知数列的前n项和为,且是与2的等差中项,而数列的首项为1,
.
(1)求和的值; (2)求数列,的通项和;
(3)设,求数列的前n项和。
20.(本小题满分14分)
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已知椭圆: ()过点且它的离心率为。
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左焦点为,右焦点为,直线过点且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于点,线段的垂直平分线交于点M,求点M的轨迹的方程;
(3)已知动直线过点,交轨迹于R、S两点,是否存在垂直于轴的直线被以RQ为直径的圆所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出的方程;如果说不存在说明理由.
21.(本小题满分14分)
已知函数,函数是函数的导函数.
(1)若,求的单调减区间;
(2)当时,若存在一个与有关的负数M,使得对任意时,恒成立,求M的最小值及相应的值。
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湛江市2013年普通高考模拟试题(一)
数学(文科)
一、填空题(50分)
1、已知集合A={1,2,3,4},集合B={2,3,4,5,6},则A∪B=
A、{1,2,3,4} C、{1,2,3,4,5,6}
C、{2,3,4,5,6} D、{3,4}
2、复数z满足z+1=2+i(i为虚数单位),则z(1-i)=
A、2 B、0 C、1+i D、i
3、在等比数列{}或,已知=25,则=
A、5 B、5或-5 C、-5 D、25
4、“=0”是“函数是增函数”的
A、充要条件 B、充分而不必要条件
C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
5、在△ABC中,∠A=,AB=2,且△ABC的面积为,则边AC的长为
A、1 B、 C、2 D、1
6、在线段AB上任取一点P,以P为顶点,B为焦点作抛物线,则该抛物线的准线与线段AB有交点的概率是
A、 B、 C、 D、
7、一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图都是边长为2的正三角形,俯视图为圆,那么该几何体的表面积为
A、6 B、4 C、3 D、2
8、函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内的零点个数为
A、0 B、1 C、2 D、3
9、已知函数,其中的值由如图的程序框图产生,运行该程序所得的函数中,定义域为R的有
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
10、椭圆=1的左、右焦点分别为F1、F2,
P是椭圆上任一点则的取值范围是
A、(0,4] B、(0,3]
C、[3,4) D、[3,4]
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二、填空题(20分)
(一)必做题
11、已知向量m=(x,1),n=(1,2),且m∥n,则x=___
12、设变量x,y满足约束条件,则其目标函数z=2x+y的最大值为___
13、下列四个论述:
(1)线性回归方程
(2)已知命题则命题
(3)函数在实数R上是增函数;
(4)函数的最小值是4
其中,正确的是_____(把所有正确的序号都填上)。
(二)选做题
14、在极坐标系中,直线与圆相交的弦长为____
15、如图圆上的劣弧所对的弦长CD=,弦AB是线段CD的垂直平分线,AB=2,则线段AC的长度为____
三、解答题(80分)
16、(本小题满分12分)
已知函数的部分图象如图所示。
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)若,求的值。
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17、(本小题满分13分)
某学校对学生的考试成绩作抽样调查,得到成绩的频率分布直方图如图所示,其中[70,80)对应的数值被污损,记为x。
(1)求x的值;
(2)记[90,100]为A组,[80,90)为B组,[70,80)为C组,用分层抽样的办法从[90,100],[80,90),[70,80)三个分数段的学生中抽出6人参加比赛,从中任选3人为正选队员,求正选队员中有A组学生的概率。
18、(本小题满分13分)
如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD的交点为G,AD⊥平面ABE,AE⊥EB,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥CE。
(1)求证:AE⊥平面BCE;
(2)求证:AE∥平面BFD;
(3)求三棱锥C-GBF的体积。
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19、(本小题满分14分)
设函数,其中e是自然对数的底,a为实数。
(1)若a=1,求f(x)的单调区间;
(2)当a≠1时,f(x)≥-x恒成立,求实数a的取值范围。
20、(本小题满分14分)
已知双曲线的右焦点为F(c,0)。
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程;
(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为-,求双曲线的离心率。
21、(本小题满分14分)
已知数列{}的前n项和为。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)若,则称i是一个变号数,求数列{}的变号数的个数;
(3)根据笛卡尔符号法则,有:
若关于实数x的方程的所有素数均为实数,
则该方程的正根的个数等于{}的变号数的个数或比变号数的个数多2的倍数,
动用以上结论证明:方程没有比3大的实数根。
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珠海市高三摸底考试
文科数学试题
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.1.设全集,集合则集合=
A. B. C. D.
2. 已知实数满足的最大值为
A.—3 B.—2 C.1 D.2
3.函数,,其中,则
.均为偶函数 .均为奇函数
. 为偶函数 ,为奇函数 . 为奇函数 ,为偶函数
4. 如图是某几何体的三视图,则此几何体的体积是
A.36 B.108
C.72 D.180
5.已知为不重合的两个平面,直线那么“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.设A、B是x轴上的两点,点P的横坐标为2且,若直线PA的方程为,则直线PB的方程是
A. B. C. D.
7. 已知均为单位向量,它们的夹角为60°,那么,等于
A. B. C. D. 4
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8. 要得到函数的图象,只要将函数的图象
A.向左平移单位 B.向右平移单位
C.向左平移单位 D.向右平移单位
9.对100只小白鼠进行某种激素试验,其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况统计得到如下列联表
雄性
雌性
总计
敏感
50
25
75
不敏感
10
15
25
总计
60
40
100
由
附表:
则下列说法正确的是:
A.在犯错误的概率不超过的前提下认为“对激素敏感与性别有关”;
B.在犯错误的概率不超过的前提下认为“对激素敏感与性别无关”;
C.有以上的把握认为“对激素敏感与性别有关”;
D.有以上的把握认为“对激素敏感与性别无关”;
10.设为全集,对集合,定义运算“”,满足,则对于任意集合,则
A. B.
C. D.
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,满分20分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置.
11.在△ABC中,,则 .
12. 已知双曲线的离心率为,它的一个焦点与抛物线
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的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为______;渐近线方程为_______.
13. 不等式的解集是 .
14.(坐标系与参数方程选做题)
A
B
C
D
E
F
在极坐标系中,圆的圆心到直线的距离是_____________.
15.(几何证明选讲选做题)
如图,在△ABC中,D是AC的中点,E是BD的中点,AE交BC于F,则 . 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)已知函数.
(1)求的定义域;(2)设是第二象限的角,且tan=,求的值.
17.(本小题满分12分)
一个盒子中装有标号为1,2,3,4的4张标签,随机地选取两张标签,根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率:
(1) 标签的选取是无放回的; (2) 标签的选取是有放回的.
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18.(本小题满分14分)
如图1,在直角梯形中,,,.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.
A
B
C
D
图2
B
A
C
D
图1
(1) 求证:平面;(2) 求几何体的体积.
19.(本小题满分14分)
已知,圆C:,直线:.
(1) 当a为何值时,直线与圆C相切;
(2) 当直线与圆C相交于A、B两点,且时,求直线的方程.
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20.(本小题满分14分)
对于函数
(1)判断函数的单调性并证明; (2)是否存在实数a使函数f (x)为奇函数?并说明理由。
21.(本小题满分14分)
已知,点在函数的图象上,其中
(1)证明:数列是等比数列;
(2)设数列的前项积为,求及数列的通项公式;
(3)已知是与的等差中项,数列的前项和为,求证:.
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珠海市高三摸底考试文科数学试题参考答案
1-10:BCCBA BCDCD
11. 1/5
12. 13.(-1,3)
14. 1 15.
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知函数。
(1)求的定义域;(2)设是第二象限的角,且tan=,求的值.
16.解:(1)由得(k∈Z), …3分
故的定义域为{|x|,k∈Z}…5分
(2)由=,得,而
且α是第二象限的角, 解得=,=,…9分
故= = = =.…12分
17.(本小题满分12分)
一个盒子中装有标号为1,2,3,4的4张标签,随机地选取两张标签,根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率:
(1) 标签的选取是无放回的;
(2) 标签的选取是有放回的.
17.解: (1) 无放回地从4张标签随机地选取两张标签的基本事件有{1,2},{1,3},{1,4}, {2,3},{2,4}, {3,4},总数为2×6个 ……3分
两张标签上的数字为相邻整数基本事件为{1,2},{2,3},{3,4}总数为2×3个 ……5分
∴P=; ……6分
(2) 有放回地从4张标签随机地选取两张标签的基本事件有{1,2},{1,3},{1,4}, {2,3},{2,4}, {3,4},和(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),总数为2×6+4=16个……9分
两张标签上的数字为相邻整数基本事件为{1,2},{2,3},{3,4}总数为2×3个 ……11分
P= ……12分
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18.(本小题满分14分)
如图1,在直角梯形中,,,.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.
A
B
C
D
图2
(1) 求证:平面;
B
A
C
D
图1
(2) 求几何体的体积.
18. 解:(Ⅰ)在图1中,可得,从而,故
取中点连结,则,又面面,
面面,面,从而平面, ……4分
∴
又,,
∴平面 ……8分
另解:在图1中,可得,从而,故
∵面ACD面,面ACD面,面,从而平面
(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知为三棱锥的高. , ……11分
所以 ……13分
由等积性可知几何体的体积为 ……14分
19.(本小题满分14分)
已知,圆C:,直线:.
(1) 当a为何值时,直线与圆C相切;
(2) 当直线与圆C相交于A、B两点,且时,求直线的方程.
19.解:将圆C的方程配方得标准方程为,则此圆的圆心为(0 , 4),半径为2. ……………………………2分
(1) 若直线与圆C相切,则有. ……………………………………………4分
解得. ……………………………………………………………………………………………………6分
(2) 解法一:过圆心C作CD⊥AB, ………7分
则根据题意和圆的性质,得
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……………………………………………………………………………10分
解得. ………………………………………………………………………………………………12分
(解法二:联立方程并消去,得
.
设此方程的两根分别为、,则用即可求出a.)
∴直线的方程是和. ………………………………………14分
20.(本小题满分14分)
对于函数
(1)判断函数的单调性并证明;
(2)是否存在实数a使函数f (x)为奇函数?并说明理由。
20.解:(1)函数f (x)的定义域是R ……2分
证明:设x1 < x2 ;
f (x1) – f (x2) = a--( a-)=
当 x1