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- 2021-05-13 发布
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高考数学考点归纳之 抛物线
一、基础知识
1.抛物线的定义
平面内与一个定点 F和一条定直线 l(点 F不在直线 l上)
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点 F叫做抛物
线的焦点,定直线 l叫做抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程和几何性质
标准 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
方程
图形
p的几何意义:焦点 F到准线 l的距离
顶点 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点
F
p
2
,0
F
-
p
2
,0
F
0,p
2 F
0,-
p
2
离心率 e=1
准线方程 x=-
p
2
x=p
2
y=-
p
2
y=p
2
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中
P(x0,y0))
|PF|=x0+
p
2
|PF|=-x0+
p
2
|PF|=y0+
p
2
|PF|=-y0+
p
2
二、常用结论
与抛物线焦点弦有关的几个常用结论
设 AB是过抛物线 y2=2px(p>0)焦点 F的弦,若 A(x1,y1),B(x2,y2),α为弦 AB的倾
斜角.则
(1)x1x2=
p2
4
,y1y2=-p2.
(2)|AF|= p
1-cos α
,|BF|= p
1+cos α
.
(3)弦长|AB|=x1+x2+p= 2p
sin2α
.
(4) 1
|AF|
+
1
|BF|
=
2
p
.
(5)以弦 AB为直径的圆与准线相切.
考点一 抛物线的定义及应用
[典例] (1)若抛物线 y2=4x上一点 P到其焦点 F的距离为 2,O为坐标原点,则△OFP
的面积为( )
A.1
2
B.1
C.3
2
D.2
(2)设 P是抛物线 y2=4x上的一个动点,若 B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为________.
[解析] (1)设 P(xP,yP),由题可得抛物线焦点为 F(1,0),准线方程为 x=-1.
又点 P到焦点 F的距离为 2,
∴由定义知点 P到准线的距离为 2.
∴xP+1=2,∴xP=1.
代入抛物线方程得|yP|=2,
∴△OFP的面积为 S=1
2
·|OF|·|yP|=1
2
×1×2=1.
(2)如图,过点 B作 BQ 垂直准线于点 Q,交抛物线于点 P1,则|P1Q|
=|P1F|.则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为
4.
[答案] (1)B (2)4
[变透练清]
1.若抛物线 y2=2px(p>0)上的点 A(x0, 2)到其焦点的距离是 A到 y轴距离的 3 倍,
则 p等于( )
A.1
2
B.1
C.3
2
D.2
解析:选 D 由抛物线 y2=2px知其准线方程为 x=-
p
2
.又点 A到准线的距离等于点 A
到焦点的距离,∴3x0=x0+p
2
,∴x0=p
4
,∴A
p
4
, 2
.∵点 A在抛物线 y2=2px上,∴
p2
2
=2.
∵p>0,∴p=2.故选 D.
2.变条件若将本例(2)中的 B点坐标改为(3,4),则|PB|+|PF|的最小值为________.
解析:由题意可知点(3,4)在抛物线的外部.
因为|PB|+|PF|的最小值即为 B,F两点间的距离,
所以|PB|+|PF|≥|BF|= 22+42= 4+16=2 5,
即|PB|+|PF|的最小值为 2 5.
答案:2 5
3.已知抛物线方程为 y2=4x,直线 l的方程为 x-y+5=0,在抛物线上有一动点 P到
y轴的距离为 d1,到直线 l的距离为 d2,则 d1+d2的最小值为________.
解析:由题意知,抛物线的焦点为 F(1,0).
点 P到 y轴的距离 d1=|PF|-1,
所以 d1+d2=d2+|PF|-1.
易知 d2+|PF|的最小值为点 F到直线 l的距离,
故 d2+|PF|的最小值为
|1+5|
12+-12
=3 2,
所以 d1+d2的最小值为 3 2-1.
答案:3 2-1
[解题技法] 与抛物线有关的最值问题的解题策略
该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关,实现由点到点的距离与点到直线的距离的
相互转化.
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最
短”,使问题得解;
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离,利用“与直线上所有点的连
线中,垂线段最短”解决.
考点二 抛物线的标准方程及性质
[典例] (1)顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过点 P(-4,-2)的抛物线的标准方程是
( )
A.y2=-x B.x2=-8y
C.y2=-8x或 x2=-y D.y2=-x或 x2=-8y
(2)(2018·北京高考)已知直线 l过点(1,0)且垂直于 x轴,若 l被抛物线 y2=4ax截得的线
段长为 4,则抛物线的焦点坐标为________.
[解析] (1)(待定系数法)设抛物线为 y2=mx,代入点 P(-4,-2),解得 m=-1,则抛
物线方程为 y2=-x;设抛物线为 x2=ny,代入点 P(-4,-2),解得 n=-8,则抛物线方
程为 x2=-8y.
(2)由题知直线 l的方程为 x=1,
则直线与抛物线的交点为(1,±2 a)(a>0).
又直线被抛物线截得的线段长为 4,
所以 4 a=4,即 a=1.
所以抛物线的焦点坐标为(1,0).
[答案] (1)D (2)(1,0)
[解题技法]
1.求抛物线标准方程的方法及注意点
(1)方法
求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法.若题目已给出抛物线的方程
(含有未知数 p),那么只需求出 p即可;若题目未给出抛物线的方程,对于焦点在 x轴上的
抛物线的标准方程可统一设为 y2=ax(a≠0),a的正负由题设来定;焦点在 y轴上的抛物线
的标准方程可设为 x2=ay(a≠0),这样就减少了不必要的讨论.
(2)注意点
①当坐标系已建立时,应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种;
②要掌握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系;
③要注意参数 p的几何意义是焦点到准线的距离,利用它的几何意义来解决问题.
2.抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时,关键是将抛物线方程化成标准方程.
(2)要结合图形分析,灵活运用平面图形的性质简化运算.
[题组训练]
1.(2019·哈尔滨模拟)过点F(40,3)且和直线 y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )
A.y2=12x B.y2=-12x
C.x2=-12y D.x2=12y
解析:选 D 由抛物线的定义知,过点 F(0,3)且和直线 y+3=0相切的动圆圆心的轨迹
是以点 F(0,3)为焦点,直线 y=-3为准线的抛物线,故其方程为 x2=12y.
2.若双曲线 C:2x2-y2=m(m>0)与抛物线 y2=16x的准线交于 A,B两点,且|AB|=
4 3,则 m的值是________.
解析:y2=16x的准线 l:x=-4,
因为 C与抛物线 y2=16x的准线 l:x=-4交于 A,B两点,|AB|=4 3,
设 A在 x轴上方,
所以 A(-4,2 3),B(-4,-2 3),
将 A点坐标代入双曲线方程得 2×(-4)2-(2 3)2=m,
所以 m=20.
答案:20
3.已知抛物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F,点 P为抛物线上的动点,点 M为其准线上的
动点,若△FPM为边长是 4的等边三角形,则此抛物线的方程为________________.
解析:由△FPM为等边三角形,得|PM|=|PF|,由抛物线的定义得 PM垂直于抛物线的
准线,设 P
m,m2
2p ,则点 M
m,-
p
2 ,因为焦点 F
0,p
2 ,△FPM 是等边三角形,所以
m2
2p
+
p
2
=4,
p
2
+
p
2 2+m2=4,
解得
m2=12,
p=2,
因此抛物线方程为 x2=4y.
答案:x2=4y
考点三 直线与抛物线的综合问题
考法(一) 直线与抛物线的交点问题
[典例] (2019·武汉部分学校调研)已知抛物线 C:x2=2py(p>0)和定点 M(0,1),设过点
M的动直线交抛物线 C于 A,B两点,抛物线 C在 A,B处的切线的交点为 N.若 N在以 AB
为直径的圆上,则 p的值为________.
[解析] 设直线 AB:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线 AB的方程代入抛物线 C的方程得 x2-2pkx-2p=0,
则 x1+x2=2pk,x1x2=-2p.
由 x2=2py得 y′=
x
p
,
则 A,B处的切线斜率的乘积为
x1x2
p2
=-
2
p
,
∵点 N在以 AB为直径的圆上,∴AN⊥BN,
∴-
2
p
=-1,∴p=2.
[答案] 2
[解题技法] 直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)求交点问题,通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组.
(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决.
考法(二) 抛物线的焦点弦问题
[典例] (2018·全国卷Ⅱ)设抛物线 C:y2=4x的焦点为 F,过 F且斜率为 k(k>0)的直线 l
与 C交于 A,B两点,|AB|=8.
(1)求 l的方程;
(2)求过点 A,B且与 C的准线相切的圆的方程.
解:(1)由题意得 F(1,0),l的方程为 y=k(x-1)(k>0).
设 A(x1,y1),B(x2,y2),
由
y=kx-1,
y2=4x
得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>0,故 x1+x2=
2k2+4
k2
.
所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4
k2
.
由题设知
4k2+4
k2
=8,解得 k=1或 k=-1(舍去).
因此 l的方程为 y=x-1.
(2)由(1)得 AB的中点坐标为(3,2),
所以 AB的垂直平分线方程为 y-2=-(x-3),
即 y=-x+5.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),
则
y0=-x0+5,
x0+12=y0-x0+12
2
+16.
解得
x0=3,
y0=2
或
x0=11,
y0=-6.
因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
[解题技法]
解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法
(1)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦
点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设
而不求”、“整体代入”等解法.
[提醒] 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
[题组训练]
1.(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线 C:y2=4x的焦点为 F,过点(-2,0)且斜率为
2
3
的直线与 C
交于 M,N两点,则 FM
―→
· FN
―→
=( )
A.5 B.6
C.7 D.8
解析:选 D 由题意知直线 MN的方程为 y=2
3
(x+2),
联立
y=2
3
x+2,
y2=4x,
解得
x=1,
y=2
或
x=4,
y=4.
不妨设 M(1,2),N(4,4).
又∵抛物线焦点为 F(1,0),
∴ FM
―→
=(0,2), FN
―→
=(3,4).
∴ FM
―→
· FN
―→
=0×3+2×4=8.
2.已知抛物线 y2=16x的焦点为 F,过 F作一条直线交抛物线于 A,B两点,若|AF|=6,
则|BF|=________.
解析:不妨设 A(x1,y1),B(x2,y2)(A在 B上方),根据焦半径公式|AF|=x1+p
2
=x1+4=
6,所以 x1=2,y1=4 2,所以直线 AB的斜率为 k= 4 2
2-4
=-2 2,所以直线方程为 y=-
2 2(x-4),与抛物线方程联立得 x2-10x+16=0,即(x-2)(x-8)=0,所以 x2=8,故|BF|
=8+4=12.
答案:12
[课时跟踪检测]
A级
1.(2018·永州三模)已知抛物线 y=px2(其中 p为常数)过点 A(1,3),则抛物线的焦点到准
线的距离等于( )
A.9
2
B.3
2
C. 1
18
D.1
6
解析:选 D 由抛物线 y=px2(其中 p为常数)过点 A(1,3),可得 p=3,则抛物线的标准
方程为 x2=1
3
y,则抛物线的焦点到准线的距离等于
1
6
.故选 D.
2.过点 P(-2,3)的抛物线的标准方程是( )
A.y2=-
9
2
x或 x2=4
3
y
B.y2=9
2
x或 x2=4
3
y
C.y2=9
2
x或 x2=-
4
3
y
D.y2=-
9
2
x或 x2=-
4
3
y
解析:选 A 设抛物线的标准方程为 y2=kx或 x2=my,代入点 P(-2,3),解得 k=-
9
2
,
m=4
3
,所以 y2=-
9
2
x或 x2=4
3
y.
3.(2019·龙岩质检)若直线 AB与抛物线 y2=4x交于 A,B两点,且 AB⊥x轴,|AB|=4 2,
则抛物线的焦点到直线 AB的距离为( )
A.1 B.2
C.3 D.5
解析:选 A 由|AB|=4 2及 AB⊥x轴,不妨设点 A的纵坐标为 2 2,代入 y2=4x得点
A的横坐标为 2,从而直线 AB的方程为 x=2.又 y2=4x的焦点为(1,0),所以抛物线的焦点到
直线 AB的距离为 2-1=1,故选 A.
4.(2018·齐齐哈尔八中三模)已知抛物线 C:y=x2
8
的焦点为 F,A(x0,y0)是 C上一点,
且|AF|=2y0,则 x0=( )
A.2 B.±2
C.4 D.±4
解析:选 D 由 y=x2
8
,得抛物线的准线为 y=-2,由抛物线的几何意义可知,|AF|=
2y0=2+y0,得 y0=2,所以 x0=±4,故选 D.
5.(2019·湖北五校联考)直线 l过抛物线 y2=-2px(p>0)的焦点,且与该抛物线交于 A,
B两点,若线段 AB的长是 8,AB的中点到 y轴的距离是 2,则此抛物线的方程是( )
A.y2=-12x B.y2=-8x
C.y2=-6x D.y2=-4x
解析:选 B 设 A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的定义可知|AB|=-(x1+x2)+p=8.
又 AB的中点到 y轴的距离为 2,∴-
x1+x2
2
=2,∴x1+x2=-4,∴p=4,∴所求抛物线的
方程为 y2=-8x.故选 B.
6.已知点 A(0,2),抛物线 C1:y2=ax(a>0)的焦点为 F,射线 FA与抛物线 C相交于点
M,与其准线相交于点 N.若|FM|∶|MN|=1∶5,则 a的值为( )
A.1
4
B.1
2
C.1 D.4
解析:选 D 依题意,点 F的坐标为
a
4
,0
,设点 M在准线上的
射影为 K,由抛物线的定义知|MF|=|MK|,|KM|∶|MN|=1∶5,则|KN|∶
|KM|=2∶1.∵kFN=
0-2
a
4
-0
=-
8
a
,kFN=-
|KN|
|KM|
=-2,∴
8
a
=2,解得 a
=4.
7.抛物线 x2=-10y的焦点在直线 2mx+my+1=0上,则 m=________.
解析:抛物线的焦点为
0,-
5
2 ,代入直线方程 2mx+my+1=0,可得 m=2
5
.
答案:
2
5
8.(2019·沈阳质检)已知正三角形 AOB(O为坐标原点)的顶点 A,B在抛物线 y2=3x上,
则△AOB的边长是________.
解析:如图,设△AOB的边长为 a,则 A
3
2
a,1
2
a
,∵点 A在抛
物线 y2=3x上,∴
1
4
a2=3× 3
2
a,∴a=6 3.
答案:6 3
9.(2018·广州一模)已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线
x2
3
-y2=1的右焦点重合,
若 A为抛物线在第一象限上的一点,且|AF|=3,则直线 AF的斜率为________.
解析:∵双曲线
x2
3
-y2=1的右焦点为(2,0),∴抛物线方程为 y2=8x,∵|AF|=3,∴xA
+2=3,得 xA=1,代入抛物线方程可得 yA=±2 2.∵点 A在第一象限,∴A(1,2 2),
∴直线 AF的斜率为
2 2
1-2
=-2 2.
答案:-2 2
10.已知抛物线 y2=4x,过焦点 F的直线与抛物线交于 A,B两点,过 A,B分别作 y
轴的垂线,垂足分别为 C,D,则|AC|+|BD|的最小值为________.
解析:由题意知 F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值
时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时为最小值,所
以|AC|+|BD|的最小值为 2.
答案:2
11.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,A是抛物线上横坐标为 4,且位于 x轴上方
的点,A到抛物线准线的距离等于 5,过 A作 AB垂直于 y轴,垂足为 B,OB的中点为 M.
(1)求抛物线的方程;
(2)若过 M作 MN⊥FA,垂足为 N,求点 N的坐标.
解:(1)抛物线 y2=2px(p>0)的准线为 x=-
p
2
,
于是 4+p
2
=5,∴p=2.
∴抛物线方程为 y2=4x.
(2)∵点 A的坐标是(4,4),
由题意得 B(0,4),M(0,2).
又∵F(1,0),∴kFA=4
3
,
∵MN⊥FA,∴kMN=-
3
4
.
∴FA的方程为 y=4
3
(x-1),①
MN的方程为 y-2=-
3
4
x,②
联立①②,解得 x=8
5
,y=4
5
,
∴点 N的坐标为
8
5
,
4
5 .
12.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,抛物线 C与直线 l1:y=-x的一个交点
的横坐标为 8.
(1)求抛物线 C的方程;
(2)不过原点的直线 l2与 l1垂直,且与抛物线交于不同的两点 A,B,若线段 AB的中点
为 P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面积.
解:(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8,-8),
∴(-8)2=2p×8,∴2p=8,
∴抛物线 C的方程为 y2=8x.
(2)直线 l2与 l1垂直,故可设直线 l2:x=y+m,A(x1,y1),B(x2,y2),且直线 l2与 x轴
的交点为 M.
由
y2=8x,
x=y+m,
得 y2-8y-8m=0,
Δ=64+32m>0,∴m>-2.
y1+y2=8,y1y2=-8m,
∴x1x2=y21y22
64
=m2.
由题意可知 OA⊥OB,即 x1x2+y1y2=m2-8m=0,
∴m=8或 m=0(舍去),∴直线 l2:x=y+8,M(8,0).
故 S△FAB=S△FMB+S△FMA=
1
2
·|FM|·|y1-y2|=3 y1+y22-4y1y2=24 5.
B级
1.设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,M∈C,以 M为圆心的圆 M与准
线 l相切于点 Q,Q 点的纵坐标为 3p,E(5,0)是圆 M与 x轴不同于 F的另一个交点,则 p
=( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选 B 如图,抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点 F
p
2
,0
,由 Q
点的纵坐标为 3p知 M点的纵坐标为 3p,则 M点的横坐标 x=3p
2
,
即M
3p
2
, 3p
.由题意知点M是线段EF的垂直平分线上的点,
3p
2
=
5-p
2
2
+
p
2
,解得 p=2.故选 B.
2.(2018·全国卷Ⅲ)已知点 M(-1,1)和抛物线 C:y2=4x,过 C的焦点且斜率为 k的直
线与 C交于 A,B两点.若∠AMB=90°,则 k=________.
解析:法一:设点 A(x1,y1),B(x2,y2),
则
y21=4x1,
y22=4x2,
∴y21-y22=4(x1-x2),
∴k=y1-y2
x1-x2
=
4
y1+y2
.
设 AB中点 M′(x0,y0),抛物线的焦点为 F,分别过点 A,B作准线 x=-1的垂线,垂
足为 A′,B′,
则|MM′|=1
2
|AB|=1
2
(|AF|+|BF|)
=
1
2
(|AA′|+|BB′|).
∵M′(x0,y0)为 AB的中点,
∴M为 A′B′的中点,∴MM′平行于 x轴,
∴y1+y2=2,∴k=2.
法二:由题意知,抛物线的焦点坐标为 F(1,0),
设直线方程为 y=k(x-1),
直线方程与 y2=4x联立,消去 y,
得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
设 A(x1,y1),B(x2,y2),
则 x1x2=1,x1+x2=
2k2+4
k2
.
由 M(-1,1),得 AM
―→
=(-1-x1,1-y1),
BM
―→
=(-1-x2,1-y2).
由∠AMB=90°,得 AM
―→
· BM
―→
=0,
∴(x1+1)(x2+1)+(y1-1)(y2-1)=0,
∴x1x2+(x1+x2)+1+y1y2-(y1+y2)+1=0.
又 y1y2=k(x1-1)·k(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1],y1+y2=k(x1+x2-2),
∴1+2k2+4
k2
+1+k2
1-2k2+4
k2
+1
-k
2k2+4
k2
-2
+1=0,
整理得
4
k2
-
4
k
+1=0,解得 k=2.
答案:2
3.(2019·洛阳模拟)已知抛物线 C:x2=2py(p>0),过焦点 F的直线交 C于 A,B两点,
D是抛物线的准线 l与 y轴的交点.
(1)若 AB∥l,且△ABD的面积为 1,求抛物线的方程;
(2)设 M为 AB的中点,过 M作 l的垂线,垂足为 N.证明:直线 AN与抛物线相切.
解:(1)∵AB∥l,∴|FD|=p,|AB|=2p.
∴S△ABD=p2,∴p=1,
故抛物线 C的方程为 x2=2y.
(2)设直线 AB的方程为 y=kx+p
2
,
由
y=kx+p
2
,
x2=2py
得 x2-2kpx-p2=0.
∴x1+x2=2kp,x1x2=-p2.
其中 A
x1,x21
2p ,B
x2,x22
2p .
∴M
kp,k2p+p
2 ,N
kp,-
p
2 .
∴kAN=
x21
2p
+
p
2
x1-kp
=
x21
2p
+
p
2
x1-
x1+x2
2
=
x21+p2
2p
x1-x2
2
=
x21-x1x2
2p
x1-x2
2
=
x1
p
.
又 x2=2py,∴y′=
x
p
.
∴抛物线 x2=2py在点 A处的切线斜率 k=x1
p
.
∴直线 AN与抛物线相切.