人民教育出版版高考数学选修4111平行线等分线段定理基础训练 4页

2013-2014 学年高中数学人教 A 版选修 4-1 知能达标演练：1-1 平行 线等分线段定理 一、选择题 1．如图所示，已知 a∥b∥c，直线 AB 与 a、b、c 交于点 A、E、B， 直线 CD 与 a、b、c 交于点 C、E、D，若 AE＝EB，则有 ( )． A．AE＝CE B．BE＝DE C．CE＝DE D．CE>DE 解析 由平行线等分线段定理可直接得到答案． 答案 C 2．若顺次连接等腰梯形各边中点，则得到的四边形是 ( )． A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 解析 如图，由等腰梯形的性质可得 AC＝BD，∵EH 綉 1 2 AC，FG 綉 1 2 AC，∴EH 綉 FG，同理 EF 綉 GH. 又∵AC＝BD，EF＝1 2 BD，EH＝1 2 AC，∴EF＝EH，∴四边形 EFGH 为菱形． 答案 B 3．如图所示，AB∥CD∥EF，且 AO＝OD＝DF，BC＝6，则 BE 等于( )． A．9 B．10 C．11 D．12 解析 过点 O 作一条与 CD 平行的直线，然后结合平行线等 分线段定理即可解得 BE＝9. 答案 A 4．如图，已知 AB∥CD∥EF，AF，BE 相交于点 O，若 AO＝OD＝ DF，BE＝10 cm，则 BO 的长为 ( )． A.10 3 cm B．5 cm C.5 2 cm D．3 cm 解析 ∵CD∥EF，OD＝DF， ∴C 为 OE 中点，∴OC＝CE. ∵AB∥CD，AO＝OD， ∴O 为 BC 中点， ∴BO＝OC，∴OB＝1 3 BE＝10 3 cm. 答案 A 二、填空题 5.如图所示，已知 a∥b∥c，直线 m、n 分别与 a、b、c 交于点 A、 B、C 和 A′、B′、C′，如果 AB＝BC＝1，A′B′＝3 2 ，则 B′C′ ＝________. 解析 由平行线等分线段定理可直接得到 B′C′＝3 2 . 答案 3 2 6．在梯形 ABCD 中，M、N 分别是腰 AB 和腰 CD 的中点，且 AD＝2，BC＝4，则 MN＝________. 解析 由梯形的中位线定理直接可得 MN＝2＋4 2 ＝3. 答案 3 7．已知梯形的中位线长 10 cm，一条对角线将中位线分成的两部分之差是 3 cm，则该梯形 中的较大的底是________ cm. 解析 设梯形较大，较小的底分别为 a，b， 则有 a＋b 2 ＝10 a 2 －b 2 ＝3 可得：a＝13. 答案 13 8．如图，在△ABC 中，点 E 是 AB 的中点，EF∥BD，EG∥AC 交 BD 于点 G，CD＝1 2 AD，若 EG＝5 cm，则 AC＝________cm； 若 BD＝20 cm，则 EF＝________cm. 解析 ∵E 为 AB 的中点，EF∥BD，∴F 为 AD 的中点．∵E 为 AB 的中点，EG∥AC，∴G 为 BD 的中点，当 EG＝5 cm 时，则 AD＝10 cm.又 CD＝1 2 AD＝5 cm，∴AC＝15 cm.当 BD＝20 cm 时，则 EF＝1 2 BD＝10 cm. 答案 15 10 三、解答题 9．如图所示，在梯形 ABCD 中，已知 AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°， BC＝AB，E 为 AB 的中点． 求证：△ECD 为等边三角形． 证明 过 E 作 EF∥BC 交 DC 于 F，连接 AC，如图所示． ∵AD∥BC，E 为 AB 中点，∴F 是 DC 中点．① 又∵DC⊥BC，EF∥BC，∴EF⊥DC.② ∴由①②知，EF 是 DC 的垂直平分线， ∴△ECD 为等腰三角形．③ ∵BC＝AB，∠B＝60°，∴△ABC 是等边三角形． 又∵E 是 AB 中点， ∴CE 是∠ACB 的平分线， ∴∠BCE＝30°.∴∠ECD＝60°.④ 由③④知，△ECD 为等边三角形． 10．如图，在▱ ABCD 中，设 E 和 F 分别是边 BC 和 AD 的中点，BF 和 DE 分别交 AC 于 P、Q 两点． 求证：AP＝PQ＝QC. 证明 ∵四边形 ABCD 是平行四边形，E、F 分别是 BC、AD 边上的中点， ∴DF 綉 BE，∴四边形 BEDF 是平行四边形． ∵在△ADQ 中，F 是 AD 的中点，FP∥DQ. ∴P 是 AQ 的中点，∴AP＝PQ. ∵在△CPB 中，E 是 BC 的中点，EQ∥BP， ∴Q 是 CP 的中点，∴CQ＝PQ，∴AP＝PQ＝QC. 11．(拓展深化)如图，以梯形 ABCD 的对角线 AC 及腰 AD 为邻 边作平行四边形 ACED，DC 的延长线交 BE 于点 F，求证： EF＝BF. 证明 如图所示，连接 AE 交 DC 于 O. ∵四边形 ACED 是平行四边形． ∴O 是 AE 的中点． ∵在梯形 ABCD 中， DC∥AB，在△EAB 中， OF∥AB， 又∵O 是 AE 的中点， ∴F 是 EB 的中点， ∴EF＝BF.