高考数学全国Ⅰ卷文解析版 18页

‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 ‎ 文科数学 ‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设，则（ ）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：‎ 则下面结论中不正确的是（ ）‎ A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 ‎4．已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．已知函数，则（ ）‎ A．的最小正周期为，最大值为3 ‎ B．的最小正周期为，最大值为4 ‎ C．的最小正周期为，最大值为3 ‎ D．的最小正周期为，最大值为4 ‎ ‎9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到 的路径中，最短路径的长度为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎10．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设函数，则满足的的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知函数，若，则________．‎ ‎14．若满足约束条件，则的最大值为________．‎ ‎15．直线与圆交于两点，则 ________．‎ ‎16．的内角的对边分别为，已知，，则的面积为________．‎ 三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）‎ 已知数列满足，，设．‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)判断数列是否为等比数列，并说明理由；‎ ‎(3)求的通项公式．‎ ‎18．（12分）‎ 在平行四边形中，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且． ‎ ‎(1)证明：平面平面；‎ ‎(2)为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．‎ ‎19．（12分）‎ 某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3‎ ‎）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：‎ 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用 水量 频数 ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎26‎ ‎5‎ 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用 水量 频数 ‎1‎ ‎5‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎16‎ ‎5‎ ‎(1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：‎ ‎(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；‎ ‎(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）‎ ‎20．（12分）‎ 设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．‎ ‎(1)当与轴垂直时，求直线的方程；‎ ‎(2)证明：．‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数．‎ ‎(1)设是的极值点．求，并求的单调区间；‎ ‎(2)证明：当，．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎(1)求的直角坐标方程；‎ ‎(2)若与有且仅有三个公共点，求的方程．‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知．‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)若时不等式成立，求的取值范围．‎ ‎【参考答案】‎ 一、选择题 ‎1.【答案】A ‎【解析】，故选A.‎ ‎2.【答案】C ‎【解析】∵，∴，∴选C ‎3.【答案】A ‎【解析】由图可得，A选项，设建设前经济收入为，种植收入为.建设后经济收入则为2，种植收入则为，种植收入较之前增加．‎ ‎4.【答案】C ‎【解析】知，∴，，∴离心率.‎ ‎5.【答案】B ‎【解析】截面面积为，所以高，底面半径，所以表面积为.‎ ‎6.【答案】D ‎【解析】∵为奇函数，∴，即，∴，∴，∴切线方程为：，∴选D.‎ ‎7.【答案】A ‎【解析】由题可知.‎ ‎8.【答案】B ‎【解析】，‎ ‎∴最小正周期为，最大值为.‎ ‎9.【答案】B ‎【解析】三视图还原几何体为一圆柱，如图，将侧面展开，最短路径为连线的距离，所以，所以选B.‎ ‎10.【答案】C ‎【解析】连接和，∵与平面所成角为，∴，‎ ‎∴，∴，∴，∴选C.‎ ‎11.【答案】B ‎【解析】由可得，化简可得；当时，可得，，即，，此时；当时，仍有此结果.‎ ‎12.【答案】D ‎【解析】取，则化为，满足，排除A，B；‎ 取，则化为，满足，排除C，故选D.‎ 二、填空题 ‎13.【答案】‎ ‎【解析】可得，∴，.‎ ‎14.【答案】‎ ‎【解析】画出可行域如图所示，可知目标函数过点时取得最大值，.‎ ‎15.【答案】‎ ‎【解析】由，得圆心为，半径为，∴圆心到直线距离为.∴.‎ ‎16.【答案】‎ ‎【解析】根据正弦定理有：，‎ ‎∴，∴.∵，‎ ‎∴，∴，∴.‎ 三、解答题 ‎17.解： (1)依题意，，，∴，，.‎ ‎(2)∵，∴，即，所以为等比数列.‎ ‎(3)∵，∴.‎ ‎18. (1)证明：∵为平行四边形且,∴,‎ 又∵,∴平面,∵平面,‎ ‎∴平面平面.‎ ‎(2)解：过点作,交于点，∵平面，∴,‎ 又∵,∴平面,∴,∴,‎ ‎∵,∴,又∵为等腰直角三角形，‎ ‎∴，∴.‎ ‎19.解：(1)‎ ‎(2)由题可知用水量在的频数为，所以可估计在的频数为，‎ 故用水量小于的频数为，其概率为.‎ ‎(3)未使用节水龙头时，天中平均每日用水量为：‎ ‎，‎ 一年的平均用水量则为.‎ 使用节水龙头后，天中平均每日用水量为：‎ ‎，‎ 一年的平均用水量则为，‎ ‎∴一年能节省.‎ ‎20.解：(1)当与轴垂直时，的方程为，代入，∴或，∴的方程为：或.‎ ‎(2)设的方程为，设，联立方程，‎ 得，∴，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴，∴.‎ ‎21.解：(1)定义域为，.‎ ‎∵是极值点，∴，∴.‎ ‎∵在上增，，∴在上增.‎ 又在上减，∴在上增.又，‎ ‎∴当时，，减；当时，，增.‎ 综上，，单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎(2)∵，∴当时有，‎ ‎∴.‎ 令，.‎ ‎，同（1）可证在上增，又，‎ ‎∴当时，，减；当时，，增.‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，.‎ ‎22.解：(1)由可得：，化为.‎ ‎(2)与有且仅有三个公共点，说明直线与圆相切，圆圆心为，半径为，则，解得，故的方程为.‎ ‎23.解：(1)当时，，‎ ‎∴的解集为.‎ ‎(2)当时，，当时，不成立.‎ 当时，，∴，不符合题意.‎ 当时，，成立.‎ 当时，，∴，即.‎ 综上所述，的取值范围为.‎