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  • 2021-05-13 发布

高考数学试题全国文及答案

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‎2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)‎ 数学(文史类)‎ 注意事项:‎ ‎1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.‎ ‎2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.‎ ‎3. 考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.‎ 参考公式:‎ 三角函数的积化和差公式: 正棱台、圆台的侧面积公式 ‎ 其中、分别表示 上、下底面周长,表示斜高或母线长.‎ 球体的体积公式: ,其中R ‎ 表示球的半径.‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至10页考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 第Ⅰ卷(选择题共60分)‎ 一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的 ‎1.直线对称的直线方程为 ( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎2.已知,,则 ( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎3.抛物线的准线方程是的值为 ( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎4.等差数列中,已知为( )‎ ‎ (A)48 (B)49 (C)50 (D)51 ‎ ‎5.双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为,则双曲线的离心率为( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎6.设函数 ,若,则的取值范围是 ( )‎ ‎ (A)(,1) (B)(,) ‎ ‎(C)(,)(0,) (D)(,)(1,)‎ ‎7.已知( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎8.函数( )‎ ‎ (A)0 (B) (C) (D) ‎ ‎9.已知( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎10.已知圆锥的底面半径为R,高为3R,它的内接圆柱的底面半径为,该圆柱的全面积为( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎11.已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1),一质点从AB的中点沿与AB夹角为的方向射到BC上的点后,依次反射到CD、DA和AB上的点、和(入射角等于反射角)若重合,则tg= ( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)1‎ ‎12.一个四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎2003年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(文史类)‎ 第Ⅱ卷(非选择题共90分)‎ 二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分把答案填在题中横线上 ‎13.不等式的解集是____________________.‎ ‎14.的展开式中系数是 ________ .‎ ‎15.在平面几何里,有勾股定理:“设”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:“‎ 设三棱锥的三个侧面两两互相垂直,则______________________________________________.”‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎16.如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种_______________________(以数字作答) ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或或演算步骤 ‎17.(本小题满分12分)‎ 已知正四棱柱点中点 E D1‎ B1‎ A1‎ C1‎ B D C A F M ‎(Ⅰ)证明的公垂线 ‎(Ⅱ)求点的距离 ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知复数的辐角为,且是和的等比中项,求.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知数列满足 ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)证明 y O O O x ‎20.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知函数 ‎(Ⅰ)求函数的最小正周期和最大值;‎ ‎(Ⅱ)在给出的直角坐标系中,画出函数在区间上的图象 ‎21.(本小题满分12分)‎ O 北 东O y 线 岸 O x O r(t)‎ P 海 ‎ 在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向‎300km的海面P处,并以‎20km/h的速度向西偏北方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为 ‎60km‎,并以‎10km/h的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?‎ ‎22.(本小题满分14分)‎ ‎ 已知常数,在矩形ABCD中,,,O为AB的中点,点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动,且,P为GE与OF的交点(如图),问是否存在两个定点,使P到这两点的距离的和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由 O P A G D F E C B x y ‎2003年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(文)参考解答及评分标准 说明:‎ 一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生物解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.‎ 二. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定部分的给分,但不得超过该部分正确解答得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.‎ 三. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.‎ 四. 只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.‎ 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分,满分60分.‎ ‎1.C 2.D 3.B 4.C 5.B 6.D 7.D 8.C 9.C 10.B 11.C 12.A 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.‎ ‎13. 14. 15. 16.72‎ 三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(I)证明:取BD中点M,连结MC,FM,‎ ‎ ∵F为BD1中点, ∴FM∥D1D且FM=D1D 又EC=CC1,且EC⊥MC,‎ ‎∴四边形EFMC是矩形 ∴EF⊥CC1 ‎ 又CM⊥面DBD1 ∴EF⊥面DBD1‎ ‎∵BD1面DBD1,‎ ‎∴EF⊥BD1 故EF为BD1与CC1的公垂线 ‎(II)解:连结ED1,有V 由(I)知EF⊥面DBD1,设点D1到面BDE的距离为d,‎ 则S△DBC·d=S△DCD·EF.‎ ‎∵AA1=2·AB=1.‎ 故点D1到平面BDE的距离为.‎ ‎18.解:设z= ‎ 由题设 ‎ 即 ‎ (舍去) 即|z|= ‎19.(I)解∵ ‎(II)证明:由已知 ‎ ‎ = ‎ 所以 ‎20.解(I) ‎ ‎ 所以函数的最小正周期为π,最大值为.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ 故函数在区 间上的图象是 ‎21.解:如图建立坐标系:以O为原点,正东方向为x轴正向.‎ ‎ 在时刻:t(h)台风中心的坐标为 ‎ 此时台风侵袭的区域是,其中t+60,‎ ‎ 若在t时,该城市O受到台风的侵袭,则有 即 即, 解得.‎ 答:12小时后该城市开始受到台风气侵袭 ‎22.解:根据题设条件,首先求出点P坐标满足的方程,据此再判断是否存在两定点,使得点P到定点距离的和为定值.‎ 按题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,‎4a),D(-2,‎4a)‎ 设,‎ 由此有E(2,4ak),F(2-4k,‎4a),G(-2,‎4a-4ak).‎ 直线OF的方程为:, ①‎ 直线GE的方程为:.  ②‎ 从①,②消去参数k,得点P(x,y)坐标满足方程,‎ 整理得.‎ 当时,点P的轨迹为圆弧,所以不存在符合题意的两点.‎ 当时,点P轨迹为椭圆的一部分,点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.‎ 当时,点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值.‎ 当时,点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值.‎