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- 2021-05-13 发布
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2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)
数学(文史类)
注意事项:
1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.
3. 考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.
参考公式:
三角函数的积化和差公式: 正棱台、圆台的侧面积公式
其中、分别表示
上、下底面周长,表示斜高或母线长.
球体的体积公式: ,其中R
表示球的半径.
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至10页考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的
1.直线对称的直线方程为 ( )
(A) (B) (C) (D)
2.已知,,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
3.抛物线的准线方程是的值为 ( )
(A) (B) (C) (D)
4.等差数列中,已知为( )
(A)48 (B)49 (C)50 (D)51
5.双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为,则双曲线的离心率为( )
(A) (B) (C) (D)
6.设函数 ,若,则的取值范围是 ( )
(A)(,1) (B)(,)
(C)(,)(0,) (D)(,)(1,)
7.已知( )
(A) (B) (C) (D)
8.函数( )
(A)0 (B) (C) (D)
9.已知( )
(A) (B) (C) (D)
10.已知圆锥的底面半径为R,高为3R,它的内接圆柱的底面半径为,该圆柱的全面积为( )
(A) (B) (C) (D)
11.已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1),一质点从AB的中点沿与AB夹角为的方向射到BC上的点后,依次反射到CD、DA和AB上的点、和(入射角等于反射角)若重合,则tg= ( )
(A) (B) (C) (D)1
12.一个四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( )
(A) (B) (C) (D)
2003年普通高等学校招生全国统一考试
数 学(文史类)
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分把答案填在题中横线上
13.不等式的解集是____________________.
14.的展开式中系数是 ________ .
15.在平面几何里,有勾股定理:“设”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:“
设三棱锥的三个侧面两两互相垂直,则______________________________________________.”
2
1
5
3
4
16.如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种_______________________(以数字作答)
三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或或演算步骤
17.(本小题满分12分)
已知正四棱柱点中点
E
D1
B1
A1
C1
B
D
C
A
F
M
(Ⅰ)证明的公垂线
(Ⅱ)求点的距离
18.(本小题满分12分)
已知复数的辐角为,且是和的等比中项,求.
19.(本小题满分12分)
已知数列满足
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)证明
y
O
O
O
x
20.(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)求函数的最小正周期和最大值;
(Ⅱ)在给出的直角坐标系中,画出函数在区间上的图象
21.(本小题满分12分)
O
北
东O
y
线
岸
O
x
O
r(t)
P
海
在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300km的海面P处,并以20km/h的速度向西偏北方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为
60km,并以10km/h的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?
22.(本小题满分14分)
已知常数,在矩形ABCD中,,,O为AB的中点,点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动,且,P为GE与OF的交点(如图),问是否存在两个定点,使P到这两点的距离的和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由
O
P
A
G
D
F
E
C
B
x
y
2003年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(文)参考解答及评分标准
说明:
一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生物解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定部分的给分,但不得超过该部分正确解答得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
三. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四. 只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分,满分60分.
1.C 2.D 3.B 4.C 5.B 6.D 7.D 8.C 9.C 10.B 11.C 12.A
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
13. 14. 15. 16.72
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(I)证明:取BD中点M,连结MC,FM,
∵F为BD1中点, ∴FM∥D1D且FM=D1D
又EC=CC1,且EC⊥MC,
∴四边形EFMC是矩形 ∴EF⊥CC1
又CM⊥面DBD1 ∴EF⊥面DBD1
∵BD1面DBD1,
∴EF⊥BD1 故EF为BD1与CC1的公垂线
(II)解:连结ED1,有V
由(I)知EF⊥面DBD1,设点D1到面BDE的距离为d,
则S△DBC·d=S△DCD·EF.
∵AA1=2·AB=1.
故点D1到平面BDE的距离为.
18.解:设z=
由题设
即
(舍去) 即|z|=
19.(I)解∵
(II)证明:由已知
=
所以
20.解(I)
所以函数的最小正周期为π,最大值为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
1
1
1
故函数在区
间上的图象是
21.解:如图建立坐标系:以O为原点,正东方向为x轴正向.
在时刻:t(h)台风中心的坐标为
此时台风侵袭的区域是,其中t+60,
若在t时,该城市O受到台风的侵袭,则有
即
即, 解得.
答:12小时后该城市开始受到台风气侵袭
22.解:根据题设条件,首先求出点P坐标满足的方程,据此再判断是否存在两定点,使得点P到定点距离的和为定值.
按题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a)
设,
由此有E(2,4ak),F(2-4k,4a),G(-2,4a-4ak).
直线OF的方程为:, ①
直线GE的方程为:. ②
从①,②消去参数k,得点P(x,y)坐标满足方程,
整理得.
当时,点P的轨迹为圆弧,所以不存在符合题意的两点.
当时,点P轨迹为椭圆的一部分,点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.
当时,点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值.
当时,点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值.