广东高考数学试题及答案 7页

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）‎ 数学（理科）　试卷类型：A　成本文 参考公式：柱体的体积公式V=Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高；‎ 线性回归方程中系数计算公式为，，其中表示样本均值；‎ 若n是正整数，则…）.‎ 一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设复数满足，其中为虚数单位，则=‎ A． B. C. Ｄ．‎ ‎２．已知集合∣为实数，且，∣为实数，且，则的元素个数为 Ａ．０　　　　 Ｂ．１　　　　 Ｃ．２　　　　　 Ｄ．３‎ ‎３．若向量a, b, c满足a∥b且a⊥c，则 Ａ．４　　　　 Ｂ．３　　　　 Ｃ．２　　　　　 Ｄ．０‎ ‎４．设函数和分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 Ａ．是偶函数　　　　　　Ｂ．是奇函数 Ｃ．是偶函数　　　　　　Ｄ．是奇函数 ‎5．在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定。若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为 A．　　　　 B．　　　　　　C．４　　　　 　 D．３‎ ‎６．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A．　　　　 　 B．　　　　　　　C．　　　　　　　 D．‎ ‎７．如下图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为 ‎3‎ ‎2‎ 正视图 ‎3‎ 侧视图 ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ 俯视图 Ａ． Ｂ． 　　Ｃ． 　　Ｄ．‎ ‎8．设S是整数集Z的非空子集，如果有，则称S关于数的乘法是封闭的，若T,V是Z的两个不相交的非空子集，且有有，则下列结论恒成立的是 A.中至少有一个关于乘法是封闭的 B. 中至多有一个关于乘法是封闭的C.中有且只有一个关于乘法是封闭的　 D. 中每一个关于乘法都是封闭的 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。‎ ‎9．不等式的解是 ；‎ ‎10.的展开式中，的系数是 （用数字作答）；‎ ‎11．等差数列前9项的和等于前4项的和。若，则k=____________；‎ ‎12．函数在x=____________处取得极小值．‎ ‎13．某数学老师身高‎176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是‎173cm、‎170cm和‎182cm。因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm.‎ 选做题（14、15，考生只能从中选一题）‎ ‎14．已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为___________.（坐标系与参数方程选做题）‎ A B C P O ‎15．如图，过圆外一点P分别作圆的切线和割线交圆于,且=7，是圆上一点使得=5，∠=∠, 则= 。（几何证明选讲选做题）‎ 三． 解答题:本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎16．（本小题满分12分）已知函数f(x)=2sin(x-),x∈R..‎ (1) 求f()的值；‎ (2) 设∈[0,]，+)=，=，求的值。‎ ‎17.（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）。下表是乙厂的5件产品的测量数据：‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ x ‎169‎ ‎178‎ ‎166‎ ‎175‎ ‎180‎ y ‎75‎ ‎80‎ ‎77‎ ‎70‎ ‎81‎ （1） 已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品总数。‎ （1） 当产品中的微量元素x,y满足x≥175，y≥75,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量。‎ P AＳ BＳ CＳ DＳ F （2） 从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中的优等品数的分布列及其均值。‎ ‎18．(本小题满分13分)在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且∠DAB=60，,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点.‎ ‎(1)证明：AD 平面DEF；‎ ‎(2) 求二面角P-AD-B的余弦值。‎ ‎19．(本小题满分14分)设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切.‎ ‎（1）求圆C的圆心轨迹L的方程 ‎（2）已知点M ，且P为L上动点，求的最大值及此时P的坐标.‎ ‎20．（本小题共14分）设b>0,数列满足a1=b，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明：对于一切正整数n，‎ ‎21.（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:.实数p,q满足，x1,x2是方程的两根，记。‎ ‎（1）过点(p0≠ 0)作L的切线交y轴于点B。证明：对线段AB上任一点Q(p，q)有；‎ ‎（2）设M(a，b)是定点，其中a，b满足a2-4b>0,a≠0。过M (a，b)作L的两条切线，切点分别为，与y轴分别交与，线段EF上异于两端点的点集记为X ．证明：M(a,b) X ；‎ ‎（3）设D={ (x,y)|y≤x-1,y≥(x+1)2-}，当点(p,q)取遍D时，求的最小值 （记为）和最大值（记为）.‎ ‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）答案 数学（理科）试卷类型：A cbw 一、选择题 题号 ‎１‎ ‎２‎ ‎３‎ ‎４‎ ‎５‎ ‎６‎ ‎７‎ ‎８‎ 答案 B C D A C D B A 二、填空题 ‎９.　； 10.　84； 11.　10； 12.　2； 13.　185；‎ ‎14.　； 15.　；‎ 三、解答题 ‎16．解：(1);‎ ‎(2)，，又，，‎ ‎，，‎ 又，，‎ ‎.‎ ‎17．解：（1）乙厂生产的产品总数为；‎ ‎（2）样品中优等品的频率为，乙厂生产的优等品的数量为；‎ ‎（3）， ，的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P P AＳ BＳ CＳ DＳ F G P AＳ BＳ CＳ DＳ F E 均值.‎ ‎18.解：(1) 取AD的中点G，又PA=PD，，‎ 由题意知ΔABC是等边三角形，，‎ 又PG, BG是平面PGB的两条相交直线，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎(2) 由（1）知为二面角的平面角，‎ 在中，；在中，；‎ 在中，.‎ ‎19．解：（1）两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为、，‎ 由题意得或，‎ ‎，‎ 可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线，设方程为，则 ‎，所以轨迹L的方程为．‎ ‎（２），，‎ ‎，仅当点P是直线MF与双曲线L的交点时，取＂＝＂，‎ 由知直线MF与渐近线平行，‎ 所以直线MF与双曲线L只有一个交点M，又，‎ 所以当点P与M重合时，最大，等于2，此时．‎ ‎20．解（１）法一：，得，‎ 设，则，‎ 设，则，‎ 令，得，，‎ 知是等比数列，，又，‎ ‎，．‎ 法二：，，，‎ 猜想，下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，猜想显然成立；‎ ‎②假设当时，，则 ‎，‎ 所以当时，猜想成立，‎ 由①②知，，．‎ ‎（２），‎ ‎，‎ ‎，以上n个式子相加得 ‎，‎ ‎．‎ ‎21．解：（１），‎ 直线AB的方程为，即，‎ ‎，方程的判别式，‎ 两根或，‎ ‎，，又，‎ ‎，得，‎ ‎．‎ ‎（２）由知点在抛物线L的下方，‎ ‎①当时，作图可知，若，则，得；‎ 若，显然有点； ．‎ ‎②当时，点在第二象限，‎ 作图可知，若，则，且；‎ 若，显然有点； ‎ ‎．‎ 根据曲线的对称性可知，当时，，‎ 综上所述，（*）；‎ 由（１）知点M在直线EF上，方程的两根或，‎ 同理点M在直线上，方程的两根或，‎ 若，则不比、、小，‎ ‎，又， ‎ ‎；又由（１）知，；‎ ‎，综合（*）式，得证．‎ ‎（３）联立，得交点，可知，‎ 过点作抛物线L的切线，设切点为，则，‎ 得，解得，‎ 又，即，‎ ‎，设，，‎ ‎，又，；‎ ‎，，‎ ‎．‎