全国卷高考文科数学模拟试题2 14页

‎2017年全国卷高考文科数学模拟试题(2)‎ 本试卷共4页，23小题， 满分150分． 考试用时120分钟．‎ 参考公式：锥体的体积公式，其中为锥体的底面积，为高．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1． ，则集合=( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2．下列函数中，在其定义域内是减函数的是( )‎ ‎ A . B． ‎ C． D. ‎ ‎3．已知函数，则函数的零点个数为（ ）‎ ‎ A、1 B、‎2 C、3 D、4‎ ‎4.等差数列中，若，则等于( ) ‎ ‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6 ‎ ‎5．已知,则为( ) ‎ A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．奇偶性与有关 ‎6．已知向量，，若向量，则( )‎ A．2 B． C． 8 D．‎ ‎7.设数列是等差数列,且,是数列的前项和，则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8．已知直线、,平面，则下列命题中：‎ ‎ ①．若，,则 ②．若，,则 ‎ ③．若，,则 ④．若，, ,则. 其中，真命题有（ ）‎ ‎10题 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎9．已知离心率为的曲线，其右焦点 与抛物线的焦点重合，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．给出计算 的值的一个 程序框图如右图，其中判断框内应填入的条件是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎11．成等差数列是成立的（ ）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎12．规定记号“”表示一种运算，即，若，则=（ ）‎ A． B．‎1 C． 或1 D．2‎ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。‎ ‎（一）必做题（1315题）‎ ‎13．在约束条件下，函数=的最大值为 ．‎ ‎14．如右图，一个空间几何体的主视图和左视图 都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，‎ 那么这个几何体的体积为 ．‎ ‎15．一个容量为的样本，数据的分组及各组的频数如下表：(其中x，y∈N*)‎ 分/组 ‎[10，20)‎ ‎[20，30)‎ ‎[30，40)‎ ‎[40，50)‎ ‎[50，60)‎ ‎[60，70)‎ 频 数 ‎2‎ x ‎3‎ y ‎2‎ ‎4‎ ‎ 则样本在区间 [10，50 ) 上的频率为 ．‎ ‎（二）选做题（16、17题，考生只能从中选做一题）‎ A B D C O M N ‎16．（几何证明选讲选做题）四边形内接于⊙，是直径，‎ 切⊙于，，则 ．‎ ‎17．（坐标系与参数方程选做题）以极坐标系中的点为 圆心，为半径的圆的方程是 ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文 字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎18. （本小题满分10分）已知，（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值．‎ ‎19.（本小题满分12分）从某学校高三年级 名学生中随机抽取名测量身高，据 测量被抽取的学生的身高全部介于 和之间，将测量结果按如下方式分成 八组：第一组．第二组；…第八组，右图是按上述分组方法得到的条形图. (1)根据已知条件填写下面表格：‎ 组 别 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 样本数 ‎(2)估计这所学校高三年级名学生中身高在以上（含）的人数；‎ ‎(3)在样本中，若第二组有人为男生，其余为女生，第七组有人为女生，其余为男生，在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组，问：实验小组中恰为一男一女的概率是多少？‎ ‎20．（本小题满分12分）如图，在正方体 中，E、F分别是的中点.‎ ‎（1）证明:；（2）证明:面；‎ ‎（3）设 ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知三次函数在和时取极值，且．（Ⅰ） 求函数的表达式；（Ⅱ）求函数的单调区间和极值；（Ⅲ）若函数在区间上的值域为，试求、应满足的条件。‎ ‎22.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，点满足在线段的中垂线上．(1)求椭圆的方程; (2)如果圆E：被椭圆所覆盖，求圆的半径r的最大值 ‎23．（本小题满分12分）‎ 设数列的前项和为，，且对任意正整数,点在直线上. ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由.‎ ‎（Ⅲ）求证：.‎ ‎2016年全国卷高考文科数学模拟试题(1)答案 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共12小题，每小题5分，满分60分 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C C C B A B C C A A B 选择题参考答案:‎ ‎1. ，则集合,化简,选D ‎2.A选项中二次函数增减区间均存在，B选项中该函数不是在整个定义域上单调递减，D选项中恒为单调递增函数，故选C ‎3. 当；‎ 当，共3个零点，选C ‎4. 由，根据等差数列的下脚标公式，则，选 C ‎5.根据奇偶性的判定：显然，偶函数且与参数取值无关，故选B ‎6 ，，且向量，则 选A ‎7. ,故，则,‎ 选B ‎8. ①②正确， ③④错误 故选C ‎9.由题意：，则离心率为，选C ‎10.根据框图，当加到时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，故选A ‎11.因为 ，但是可能同时为负数，所以必要性不成立，选A ‎12.由 ，若，则，解得 ‎，但根据定义域舍去，选B 二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中16~17题是选做题，考生只能选做一题．‎ ‎13． ‎ ‎14. ‎ ‎15. ‎ ‎16． ‎ ‎17．‎ 填空题参考答案：‎ ‎13.根据线性规划知识作出平面区域，代入点计算可得 ‎14.圆锥体积为 ‎15.频率为 ‎ ‎16.连接，根据弦切角定理 ‎ 故所求角度为 ‎17.略 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎18、（本小题满分10分）已知，（Ⅰ）求的值； ‎ 解：（Ⅰ）由, ，----------3分 ‎ ．-----------------------6分 ‎（Ⅱ）求的值．‎ 解： 原式＝ ‎ ‎ ----------9分 ‎ ．-----------------------12分 ‎19. （本小题满分12分）‎ 从某学校高三年级名学生中随机抽取 名测量身高，据测量被抽取的学生的身高 全部介于和之间，将测量结果 按如下方式分成八组：第一组．第二 组；…第八组，右图是按上述分组方法得到的条形图. (1)根据已知条件填写下面表格：‎ ‎ 解：(1)由条形图得第七组频率为.‎ ‎∴第七组的人数为3人. --------1分 组别 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 样本中人数 ‎2‎ ‎4‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎ ---------4分 ‎(2)估计这所学校高三年级名学生中身高在以上（含）的人数；‎ ‎ 解：由条形图得前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82,后三组频率为1-0.82=0.18.估计这所学校高三年级身高在‎180cm以上(含‎180cm)的人数800×0.18=144(人). ---------8分 ‎(3)在样本中，若第二组有人为男生，其余为女生，第七组有人为女生，其余为男生，在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组，问：实验小组中恰为一男一女的概率是多少？‎ ‎ 解： 第二组四人记为、、、，其中a为男生，b、c、d为女生，第七组三人记为1、2、3，其中1、2为男生，3为女生，基本事件列表如下：‎ a b c d ‎1‎ ‎1a ‎1b ‎1c ‎1d ‎2‎ ‎2a ‎2b ‎2c ‎2d ‎3‎ ‎3a ‎3b ‎3c ‎3d 所以基本事件有12个,恰为一男一女的事件有1b，‎1c，1d，2b，‎2c，2d，‎3a共7个,因此实验小组中，恰为一男一女的概率是. ---------12分 ‎ ‎ ‎20、（本小题满分12分）‎ 如图，在正方体 中，E、F分别是的中点.‎ ‎（1）证明:；（ ‎ 证明: ∵是正方体 ∴‎ ‎　　　　又 ‎∴　　………………4分 ‎（2）求证:面；‎ 证明：由（1）知 ‎ ∴‎ ‎∴面 ……………9分 ‎（3）设 ‎ 解：连结 ‎　　　　　　　∵体积　　　……………10分 ‎　　　　　　 又 FG⊥面 ，三棱锥F-的高FG=‎ ‎　　　　　　∴面积□ 　……………12分 ‎∴……………14分 ‎21. （本小题满分12分）‎ ‎ 已知三次函数在和时取极值，且．（Ⅰ） 求函数的表达式；‎ 解：（Ⅰ）， ‎ 由题意得：是的两个根，‎ 解得，． ‎ 再由可得． -----------------2分 ‎∴． ------------------4分 ‎（Ⅱ）求函数的单调区间和极值；‎ ‎ 解：，‎ 当时，；当时，；------------------5分 当时，；当时，；------------------6分 当时，．∴函数在区间上是增函数； ------------------7分 在区间上是减函数；在区间上是增函数． 函数的极大值是，极小值是． ------------------9分 ‎（Ⅲ）若函数在区间上的值域为，试求、应满足的条件。‎ ‎ 解：函数的图象是由的图象向右平移个单位，向上平移4个单位得到，‎ 所以，函数在区间上的值域为 ‎（）． -------------10分 而，∴，‎ ‎ 即． ‎ 则函数在区间上的值域为．------------------12分 令得或．‎ 由的单调性知，，即． ‎ 综上所述，、应满足的条件是：，且------------------14分 ‎22. （本小题满分12分）‎ ‎ 已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、‎ ‎，点满足在线段的中垂线上．(1)求椭圆的方程; ‎ 解（1）：椭圆的离心率，得：‎ ‎，……1分 其中,椭圆的左、右焦点分别为,‎ 又点在线段的中垂线上,‎ ‎,,……3分 ‎ 解得,‎ 椭圆的方程为． ……6分 ‎(2)如果圆E：被椭圆所覆盖，求圆的半径r的最大值 解：设P是椭圆上任意一点,‎ 则,,‎ ‎ , …………8分 ‎() . …12分 当时,‎ ‎,半径r的最大值为.…14分 ‎23. （本小题满分12分）‎ 设数列的前项和为，，且对任意正整数,点在直线上.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎ 解：(Ⅰ)由题意可得： ‎ ‎ ①‎ 时, ② ……………… 1分 ‎ ①─②得， …………………… 3分 是首项为，公比为的等比数列， ……………… 4分 ‎（Ⅱ）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由.‎ ‎（Ⅱ）解法一: ……………… 5分 若为等差数列，‎ 则成等差数列, ……… 6分 ‎ 得 ……………… 8分 又时，，显然成等差数列，‎ 故存在实数，使得数列成等差数列.…… 9分 解法二: ………… 5分 ‎ … ………… 7分 欲使成等差数列,‎ 只须即便可.…8分 故存在实数，使得数列成等差数列.……… 9分 ‎（Ⅲ）求证：.‎ 解：‎ ‎ = ‎ ‎ ……… 10分 ‎ …… 11分 ‎ ………… 12分 又函数在上为增函数， ‎ ‎， ………… 13分 ‎，． ……… 14分