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  • 2021-05-13 发布

高考数学一轮复习9293极限数列的极限数学归纳法

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第92-93课时:第十二章 极限——数列的极限、数学归纳法 课题:数列的极限、数学归纳法 一知识要点 (一) 数列的极限 ‎1.定义:对于无穷数列{an},若存在一个常数A,无论预选指定多么小的正数,都能在数列中找到一项aN,使得当n>N时,|an-A|<恒成立,则称常数A为数列{an}的极限,记作.‎ ‎2.运算法则:若、存在,则有 ‎;‎ ‎3.两种基本类型的极限:<1> S=‎ ‎<2>设、分别是关于n的一元多项式,次数分别是p、q,最高次项系数分别为、且,则 ‎4.无穷递缩等比数列的所有项和公式: (|q|<1)‎ 无穷数列{an}的所有项和: (当存在时) ‎ ‎(二)数学归纳法 数学归纳法是证明与自然数n有关命题的一种常用方法,其证题步骤为:‎ ‎①验证命题对于第一个自然数 成立。‎ ‎②假设命题对n=k(k≥)时成立,证明n=k+1时命题也成立.‎ 则由①②,对于一切n≥的自然数,命题都成立。‎ 二、例题(数学的极限)‎ 例1.(1)=;‎ ‎2).数列{an}和{bn}都是公差不为0的等差数列,且=3,则=‎ ‎(3.)(a>1)=;‎ ‎(4).=;‎ ‎(5).=;‎ ‎(6).等比数列{an}的公比为q=─1/3,则=;‎ 例2.将无限循环小数;1.32化为分数.‎ 例3.已知,求实数a,b的值;‎ 例4.数列{an},{bn}满足(2an+bn)=1, (an─2bn)=1,试判断数列{an},{bn}的极限是否存在,说明理由并求(anbn)的值.‎ 例5.设首项为a,公差为d的等差数列前n项的和为An ,又首项为a,公比为r的等比数列前n项和为Gn ,其中a≠0,|r|<1.令Sn=G1+G2+…+Gn,若有=a,求r的值.‎ 例6.设首项为1,公比为q(q>0)的等比数列的前n项之和为Sn,又设Tn=,求.‎ 例7.{an}的相邻两项an,an+1是方程x2─cnx+=0的两根,又a1=2,求无穷等比c1,c2,…cn,…的各项和.‎ 例8.在半径为R的圆内作内接正方形,在这个正方形内作内切圆,又在圆内作内接正方形,如此无限次地作下去,试分别求所有圆的面积总和与所有正方形的面积总和。‎ rn rn+1‎ an 例9.如图,B1,B2,…,Bn,…顺次为曲线y=1/x(x>0)上的点,A1,A2,…,An…顺次为ox轴上的点,且三角形OB‎1A1,三角形A1B‎2A2,三角形An─1BnAn为等腰三角形(其中Ð Bn为直角),如果An的坐标为(xn,0).‎ ‎(1)求出An的横坐标的表达式;‎ An─1‎ A1‎ A2‎ An Bn B3‎ B2‎ B1‎ y x O ‎(2)求.‎ 二.例题(数学归纳法)‎ 例1.用数学归纳法证明2n>n2(n∈N,n³5),则第一步应验证n=;‎ 例2.用数学归纳法证明,第一步验证不等式成立;‎ 例3.是否存在常数a,b,c,使得等式1·22+2·32+……+n(n+1)2=(an2+bn+c)对一切自然数n成立?并证明你的结论.(89年)‎ 例4.已知数列{an}=,记Sn=a1+a2+a3+…+an,用数学归纳法证明Sn=(n+1)an-n.‎ 例5.证明:> (n∈N,n³2)‎ 例6.证明:xn─nan─1x+(n─1)an能被(x─a)2整除(a≠0).‎ 例7.在1与2之间插入个正数,使这个数成等比数列;又在1与2之间插入个正数使这个数成等差数列.记.‎ ‎(Ⅰ)求数列和的通项;(Ⅱ)当时,比较与的大小,并证明你的结论.‎ 例8.若数列{an}满足对任意的n有:Sn=,试问该数列是怎样的数列?并证明你的结论.‎ 例9.已知数列是等差数列,。‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项;(Ⅱ)设数列的通项(其中,且),记是数列的前n项和。试比较与的大小,并证明你的结论。‎ 练习(数列的极限)‎ 1. 已知{an}是等比数列,如果a1+a2+a3=18,a2+a3+a4=-9,Sn=a1+a2+……+an,那么的值等于( )(89年)‎ ‎(A)8 (B)16 (C)32 (D)48‎ 2. 的值等于( )(91年)‎ ‎(A)0 (B)1 (C)2 (D)3‎ ‎3.在等比数列{an}中,a1>1,且前n项和Sn满足,那么a1的取值范围是( )(98年)‎ ‎(A)(1,+∞)(B)(1,4)(C)(1,2)(D)(1,)‎ ‎7.)等于 ( )‎ ‎ (A)0 (B)¥ (C) (D)5‎ ‎8.等于:(A)16(B)8(C)4 (D)2‎ ‎9. 已知各项均为正数的等比数列{an}的首项a1=1,公比为q,前n项和为Sn,=1,则公比q的取值范围是:‎ ‎(A).q≥1(B).01‎ ‎10.的值为 ( )‎ ‎(A)0 (B)1 (C)2 (D)不存在 ‎11.已知{an}是公差不为0的等差数列,Sn是{an}的前n项和,那么等于___.‎ ‎12.已知等差数列{an}的公差d>0,首项a1>0,S=______.(93年)‎ ‎13.如果存在,且,则=________‎ ‎14.=____________.(86年)‎ ‎15.=____________.(87年)‎ ‎16.已知等比数列{an}的公比q>1,a1=b(b≠0),则=___.‎ ‎17.求= (a>0);‎ ‎18.数列,,,…的前n项和及各项和S=.‎ ‎19..=.‎ ‎20.已知数列a1,a2,……an,……的前项和Sn与an的关系是Sn=-ban+1-,其中b是与n无关的常数,且b≠-1;‎ Ⅰ.求an和an+1的关系式;‎ Ⅱ.写出用n和b表示an的表达式;‎ Ⅲ.当0<b<1时,求极限Sn.(87年)‎ ‎21.在边长为a的正方形ABCD中内依次作内接正方形AiBiCiDi(i=1,2,3,…),使内接 正方形与相邻前一个正方形的一边夹角为a,求所有正方形的面积之和.‎ a ‎ ‎22.已知直线L:x─ny=0(n∈N),圆M:(x+1)2+(y+1)2=1,抛物线φ:y=(x─1)2,又L与M 交于点A、B,L与φ交于点C、D,求.‎ ‎23.设a (n=1,2,3……),b (n=1,2,3……),‎ 用极限定义证明.(85年)‎ 练习(数学归纳法)‎ ‎1.由归纳原理分别探求:‎ ‎(1)凸n边形的内角和f(n)=;‎ ‎(2)凸n边形的对角线条数f(n)=;‎ ‎(3)平面内n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且任意三个圆不相交于同一点,则该n个圆分平面区域数f(n)=.‎ ‎2.平面上有n条直线,且任何两条不平行,任何三条不过同一点,该n条直线把平面分成f(n) 个区域,则f(n+1)=f(n)+.‎ ‎3.当n为正奇数时,求证xn+yn被x+y整除,当第二步假设n=2k─1时命题为真,进而需验证n=,命题为真。‎ ‎4.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n´1´2´3´…(2n─1)(n∈N),从“k到k+‎1”‎左端应增乘的代数式为.‎ ‎5.用数学归纳法证明:an+1+(a+1)2n -1可以被a2+a+1整除(n∈N).‎ ‎6.若ai>0(i=1,2,3,…,n),且a1+a2+…+an=1,证明:a12+a22+…+an2³. (n³2,n∈N)‎ ‎7.已知An=(1+lgx)n,Bn=1+nlgx+lg2x,其中n∈N,n³3,,试比较 AN与Bn的大小.‎ ‎8.数列{an}中,.‎ ‎9.试证:不论正数a,b,c是等差数列还是等比数列,当n>1,n∈N且a,b,c互不相等时,‎ 都有an+cn>2bn.(n∈N).‎ ‎10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an (n∈N),‎ (1) 试求出S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式;‎ (2) 证明你的猜想,并求出an的表达式。‎ ‎11.已知{an}满足:(n─1)an+1=(n+1)(an─1),a2=6,bn=n+an(nÎN).(1)求出bn的通项公式,‎ ‎(2)是否存在非零常数p、q使数列{}成等差数列?若存在,试求出q、q的关系,若不存在,说明理由.‎