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- 2021-05-13 发布
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第 1 节 常见不等式及其解法
1．一元一次不等式的解法
不等式 ax＞b(a≠0)的解集为：当 a＞0 时，解集为{x|x＞b
a}．当 a＜0 时，解集为{x|x＜b
a}．
2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)
的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两相异实根
x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根 x1＝
x2＝－ b
2a
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)
的解集 {x|x>x2 或 x1
1．已知集合 P＝{x|x2－x－2≤0}，Q＝{x|log2(x－1)≤1}，则(∁RP)∩Q＝( )
A．[2,3] B．(－∞，1]∪[3，＋∞)
C．(2,3] D．(－∞，－1]∪(3，＋∞)
2．设 a>0，不等式－c0 且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x＝logaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫
做真数（真数必为正数）．当 a＝10 时叫常用对数，记作 x＝lg N ；当 a＝e 时叫自然对数，记作 x＝ln
N．
(2)对数的常用关系式(a，b，c，d 均大于 0 且不等于 1)：
①loga1＝0． ②logaa＝1， ③对数恒等式：alogaN＝N．
④换底公式：logab＝logcb
logca， 推广 logab＝ 1
logba logab·logbc·logcd＝logad．
(3)对数的运算法则：如果 a>0，且 a≠1，M >0，N>0，那么：
①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga
M
N＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④log amMn＝n
mlogaM=
1．化简下列各式：
(1) (2)
(3) (4)
2（15．浙江）计算： ________， ________．若 ，则
________．
3．方程 log2 (1－2x)＝1 的解 x＝_________． 计算 log6[log4(log381)]＝_________．
4．有下列五个等式，其中 a>0 且 a≠1，x>0 , y>0，其中正确的是 ．
① ， ②
4log 3a = 2 2a a−+ =
mam
a =log
14lg 2 3lg5 lg 5
+ − 3lg lg70 lg37
+ −
2lg 2 lg5 lg 20 1+ ⋅ − 2594
1loglog 27log 12 32 3 5− +
2
2log 2
= 2 4log 3 log 32 + =
log ( ) log loga a ax y x y+ = ⋅ 2 2log ( ) 2(log log )a a ax y x y− = −
③ ， ④
第 3 节 高考数学中的运算——三角计算
一．任意角
1．角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
2．角的表示
顶点：用 O 表示；始边：用 OA 表示，用语言可表示为起始位置；
终边：用 OB 表示，用语言可表示为终止位置．
3．角的分类
（1）正角：按 方向旋转形成的角；加一个角按 方向旋转．
（2）负角：按 方向旋转形成的角；减一个角按 方向旋转．
（3）零角：射线没有作任何旋转，称为形成一个零角．
任意角大小比较： ，因此小于 90°的角不一定是锐角…………
4．象限角
在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合时，角的终
边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象
限．
5．终边相同的角
所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈ Z}，即任一与
角 α 终边相同的角，都可以表示成角 α 与整数个周角的和．
二．弧度制
1．角度制和弧度制
角度制 用度作为度量单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等于周角的 1
360
弧度制 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度
以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制
备注：在同一个式子中，角度制不可与弧度制混用！
2．任意角的弧度数与实数的对应关系
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0．
3．角的弧度数的计算
如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l，那么，角 α 的弧度数的绝对值是|α|＝l
r．
扇形的面积公式：
4．角度制与弧度制的换算
(1)角度制与弧度制的互化：
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝π rad π rad＝180°
1°＝ π
180rad≈0．01745 rad 1 rad＝(180
π )°≈57．30°
(2)一些特殊角与弧度数的对应关系：
度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π
180
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6 π 3π
2 2π
1log log log2a a a
x x yy
= − log log log ( )a a ax y x y⋅ = ⋅
三．任意角的三角函数
1．任意角三角函数的定义
将角的顶点与原点 O 重合，始边与直角坐标系 x 轴非负半轴重合，角的终边上任意取一点 P(x，y)，则对应
角的正弦值 sin α＝ ，余弦值 cos α＝ ，正切值 tan α＝ ，常记 ．
由此定义，求任意角的三角函数值可按以下步骤完成：
常见特殊角三角函数值（利用两特殊直角三角形计算并记忆！）
0 π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
正弦
余弦
正切
2．三角函数值的符号
例 1．根据下列条件求 sin α，cos α，tan α．
(1)α＝－π
3； (2)已知角 α 的终边经过点 P(－3,4)．
(3)角 α 的终边经过点 P(－4a,3a)(a≠0)，则 sinα＝________；
(4)已知角 α 的终边过点 P(5，a)，且 tan α＝－12
5 ，求 sin α＋cos α 的值．
1．已知角 α 的终边经过点 P(－1,2)，则 cos α 的值为( )
A．－ 5
5 B．－ 5 C．2 5
5 D． 5
2
2．α 是第二象限角，P(x， 5)是其终边上一点，且 cos α＝ 2
4 x，则 x 的值为( )
A． 3 B．± 3 C．－ 3 D．－ 2
3．如果点 P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角 θ 所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
22 yx
y
+ 22 yx
x
+ x
y 22 yxr +=
α
4．若角 α 是第二象限角，则点 P(sin α，cos α)在第________象限．
5．(2011·江西高考)已知角 θ 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴，若 P(4，y)是角 θ 终边上一点，且
sin θ＝－2 5
5 ，则 y＝________．
四．同角三角函数的基本关系
由三角函数定义易得同角三角函数的基本关系式：
平方关系 商数关系
sin2α＋cos2α＝1 tan α＝sin α
cos α (α≠kπ＋π
2，k∈Z)
同一个角的正弦．余弦的平方和等于 1，商等于该角的正切值．
1．以上公式揭示了“同角”的三角函数的运算规律．公式中 α 是任意的，只要是同一个角就有上述式
子成立，如 sin22α＋cos22α＝1，tan 3α＝sin 3α
cos 3α都是成立的．
2．两个公式常见变形（解题时可“知一求二”： ）
sin2α＋cos2α＝1⇔sin2α＝1－cos2α⇔cos2α＝1－sin2α； tan α＝sin α
cos α⇔sin α＝tan α·cos α．
例 1．已知 tan α＝4
3，且 α 是第三象限角(1)求 sin α，cos α 的值；(2)求6sin α－2cos α
3sin α＋5cos α的值．
例 2．(1)已知 sin α－cos α＝1
2，求 sin αcos α 的值．
(2)已知 0＜α＜π，sin α＋cos α＝1
5，求 tan α 的值．
(3)已知 α∈R，sin α＋2cos α＝ 10
2 求 tan 2α．
(4)已知 ，求 的值．3tansin2 =⋅ αα αα 44 cossin +
五．三角函数的诱导公式
诱导公式填空
(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝ ， cos(α＋2kπ)＝ ， tan(α＋2kπ)＝ [k∈Z]．
(2)公式二：sin(π＋α)＝ ， cos(π＋α)＝ ， tan(π＋α)＝ ．
(3)公式三：sin(－α)＝ ， cos(－α)＝ ， tan(－α)＝ ．
(4)公式四：sin(π－α)＝ ， cos(π－α)＝ ， tan(π－α)＝ ．
(5)公式五：sin(π
2－α)＝ ， cos(π
2－α)＝ ， tan(π
2－α)＝ ．
(6)公式六：sin(π
2＋α)＝ ， cos(π
2＋α)＝ ， tan(π
2－α)＝ ．
口诀记法：“奇变偶不变，符号看象限”
例．已知 f(α)＝
cos(π
2＋α)·cos(2π－α)·sin(－α＋3π
2
)
sin(－π－α)·sin(3π
2 ＋α)
．
(1)化简 f(α)；(2)若 α 是第三象限角，且 cos(α－3π
2 )＝1
5，求 f(α)的值．
1．已知 sin(α－π
4)＝1
3，则 cos(π
4＋α)的值等于( )
A．2 2
3 B．－2 3
3 C．1
3 D．－1
3
2．填正负号： ， ，
第 4 节 正余弦定理
解三角形：一般地，三角形的三个角 A,B,C 和它们的三条对边 a，b，c 叫做三角形的元素．已知三角
形的几个元素求其它元素的过程叫作解三角形．
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容
a
sin A＝ b
sin B＝ c
sin C＝2R(R 为△ABC 外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccosA；
b2＝c2＋a2－2cacosB；
c2＝a2＋b2－2abcosC
)32sin(__)23sin(
ππ −=− xx )32cos(__)23cos(
ππ −=− xx
)3tan(__)3tan(
ππ −=− xx
变形形式
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
sin A＝ a
2R，sin B＝ b
2R，sin C＝ c
2R；
a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；
a＋b＋c
sin A＋sin B＋sin C＝ a
sin A
cos A＝b2＋c2－a2
2bc ；
cos B＝c2＋a2－b2
2ca ；
cos C＝a2＋b2－c2
2ab
能解的
三角形
1．已知两角及任一边
2．已知两边和其中一边对角（也可用余弦定理）
1．已知三边
2．已知两边和其夹角
2．三角形面积公式
设△ABC 的三边分别为 a、b、c，所对的三个角分别为 A、B、C，其面积为 S．
(1)S＝1
2ah(h 为 BC 边上的高)；(2)S＝1
2absin C＝1
2bcsinA＝1
2acsinB（一般根据角选公式）
重点考法：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式．若转
化为边边关系，一般通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；若转化为内角的
三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状。此时要注意应
用 A＋B＋C＝π 这个结论，因此 sin(A+B)= ，cos(A+B)= .
重要结论 1：在△ABC 中，若 ，则三角形的形状为：
结论 2：在△ABC 中求证： ； ； ．
结论 3：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即
在△ABC 中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B．
【基础练习】
1．在△ABC 中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则 c 等于( )．
A．5 2 B．10 2 C．10 6
3 D．5 6
2．在△ABC 中，若sin A
a ＝cos B
b ，则 B 的值为( )．
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．(2011·郑州联考)在△ABC 中，a＝ 3，b＝1，c＝2，则 A 等于( )．
A．30° B．45° C．60° D．75°
4．在△ABC 中，a＝3 2，b＝2 3，cos C＝1
3，则△ABC 的面积为( )．
A．3 3 B．2 3 C．4 3 D． 3
5．已知△ABC 三边满足 a2＋b2＝c2－ 3ab，则此三角形的最大内角为________．
6．在△ABC 中，a．b．c 分别是角 A．B．C 的对边，且cos B
cos C＝－ b
2a＋c；
(1)求角 B 的大小； (2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求△ABC 的面积．
cos cosa A b B=
cos cosa B b A c+ = cos cosc B b C a+ = cos cosa C c A b+ =
7．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设 S 为△ABC 的面积，满足 S＝ 3
4 (a2＋b2－c2)．(1)
求角 C 的大小；(2)求 sinA＋sinB 的最大值．
第 5 节 数列
数列的概念
定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项．a1 称为数列{an}
的第 1 项(或称为首项)，a2 称为第 2 项，…，an 称为第 n 项．
数列的表示：数列的一般形式可以写成 a1，a2，a3，…，an…简记为{an}．
[化解疑难]
1．数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，
并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置．
2．项 an 与序号 n 是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位
次．
3．{an}与 an 是不同概念：{an}表示数列 a1，a2，a3，…，an，…；而 an 表示数列{an}中的第 n 项．
分类标准 名称 含义
有穷数列 项数有限的数列
按项的个数
无穷数列 项数无限的数列
递增数列 从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项相等的数列
按项的变化
趋势
摆动数列 从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
数列的通项公式
如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么就把这个公式叫做这个数列
的通项公式。求通项公式即求第 n 项的表达式。
数列的前 n 项和及与通项公式的关系
(1)Sn＝a1＋a2＋…＋an； (2)an＝Error!（该式对任意数列都成立）
等差数列的定义
如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示．递推公式表示： 即为等差数
列．
等差中项
如果三个数 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．这三个数满足的关系式
+
+ ∈=− Nndaa nn ,1
是 ．反之，当 时，A 是 a 与 b 的等差中项．
等差数列的有关公式
1．通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d． 【累加法可得】
2．前 n 项和公式（解题时要注意把项数 n 数清楚！）
已知
条件 首项 a1，公差 d 首项 a1，末项 an
选用
公式 Sn＝na1＋n(n－1)
2 d Sn＝n(a1＋an)
2
提示：在 d≠0 时，an 是关于 n 的一次函数，一次项系数为 d；Sn 是关于 n 的二次函数，二次项系数为d
2，
且常数项为 0．
等差数列的性质
1．若 m，n，p，q∈N*，且 m＋n＝p＋q，{an}为等差数列，则 am＋an＝ap＋aq．
2．等差数列{an}的前 n 项之和可以写成 Sn＝d
2n2＋ n＝An2＋Bn，当 d≠0 时它表示二次函数
且没有常数项．
等比数列的有关概念
如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做
等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示，定义的表达式为an＋1
an ＝q (n∈N*，q 为非
零常数)．
等比中项：如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，
即 G2＝a·b，由等比中项的定义可知，等比中项一定可以求出两个．
等比数列的有关公式及性质
(1)通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m (2)前 n 项和公式：Sn＝ （ ）
特别说明：①等比数列的前 n 项和 Sn 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运
用．②在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q＝1 与 q≠1 分类讨论，防止因忽略 q＝1 这一特
殊情形导致解题失误，例如：若 a3＝3
2，S3＝9
2，求 a1 和公比 q．
重要性质：在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则 ，特别
地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…
考法示例
例 1．(1){an}为等差数列，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450．求 a2＋a8＝ ．
(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若 a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则 a5＋b5＝ ．
例 2．已知{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和，若 a1＝1
2，S2＝a3，则 a2＝__________；Sn＝________．
练习：已知数列{an}为等差数列，按要求完成下面两题；
(1)a1＝5
6，a15＝－3
2，Sn＝－5，求 n 和 d；
(2)a1＝4，S8＝172，求 a8 和 d．
）（ da 2
1
1 −
q
qa n
−
−
1
)1(1 1≠q
2· ·m n p q ra a a a a＝ ＝
例 3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2+n-1，求{an}的通项公式．
例 4．等比数列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求 an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9 求 Sn．
练习 1．设等差数列{an}的公差 d 不为 0，a1＝9d，若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项，求 k 的值．
例 5．等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝32
9 ，且公比 q∈(0,1)；
(1)求数列{an}的通项公式；(2)若该数列前 n 项和 Sn＝21，求 n 的值．
第 6 节 数列求和基本方法练习
数列求和方法总结
一．公式法：如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差．等比数列的前 n 项和公
式，注意等比数列公比 q 的取值情况要分 q＝1 或 q≠1，另外一定要数清楚有多少项！！！
二．非等差、等比数列求和的常用方法
1．分组转化求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则
求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．分组转化法求和的常见类型：
(1)若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前 n 项和．
(2)通项公式为 an＝Error!的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和．
2．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这
个数列的前 n 项和即可用此法来求，等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的．用错位相减法求和时，
应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应
特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若
等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解．
3．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和，一般以分式为主，
注意到以下两点：
(1)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，
后面也剩两项．将通项裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相
等．
(2)常见的拆项公式有：①若{an}为等差数列，公差为 d，则 1
an·an＋1＝1
d( 1
an－ 1
an＋1)；
② 1
n(n＋k)＝1
k ；
1
(2n－1)(2n＋1)＝1
2 ．③ 1
n＋1＋ n
＝ n＋1－ n
1．公式法与分组求和法
例 1．(1)数列{cn}：11
2，21
4，31
8，…，试求{cn}的前 n 项和；
2．错位相减法
例 2．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足 an＝4log2bn＋3，n∈N*．
(1)求 an，bn； (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn．
3．裂项相消法
例 3．等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前 n 项和为 Sn；
(1)求 an 及 Sn； (2)令 bn＝ 1
a2n－1 (n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．
)1( n
k
n
− )12
1
12
1( +−− nn
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