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山东省高考文科数学模拟试题（一） 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.[来源:学_科_网 Z_X_X_K] 1.已知集合  2| log ( 2)A x y x   ，  | 3 3,B x x x R     ，则 A B  （ ） A．(2,3) B．[2,3) C．(3, ) D．(2, ) 2.若复数 z 满足 (1 ) 2z i i  ，其中i 为虚数单位，则共轭复数 z  （ ） A．1 i B．1 i C． 1 i  D． 1 i  3.已知命题 p ：1 3x  ， q ：3 1x  ，则 p 是 q 的（ ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.函数 2 sin( ) 1 xf x x   的部分图像可能是（ ） 5.已知双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a  ， 0b  ）与椭圆 2 2 112 4 x y  有共同焦点，且双曲线的一 条渐近线方程为 3y x ，则该双曲线的方程为（ ） A． 2 2 14 12 x y  B． 2 2 112 4 x y  C． 2 2 16 2 x y  D． 2 2 12 6 x y  6.三国时期吴国的数学家创造了一副“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股 定理的详细证明，如图所示“勾股圆方图”中由四个全等的正三角形（直角边长之 比为1: 3 ）围成的一个大正方形，中间部分是一个小正方形，如果在大正方形内随 机取一点，则此点取自中间的小正方形部分的概率是（ ） A． 3 2 B． 3 4 C． 31 2  D． 31 4  7.执行如图所示的程序框图，则输出的 S 值为（ ） A． 48 49 B． 50 51 C． 49 51 D． 49 50 8.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四 面体的体积为（ ）A． 8 3 B． 2 3 C． 4 3 D．2 9.将函数 ( ) 2sinf x x 图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵坐标不变，然后向左平 移 6  个单位长度，得到 ( )y g x 图象，若关于 x 的方程 ( )g x a 在 ,4 4      上有两个不相 等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A． 2,2 B．[ 2,2) C．[1,2) D．[ 1,2) 10.若函数 ( )f x ， ( )g x 分别是定义在 R 上的偶函数，奇函数，且满足 ( ) 2 ( ) xf x g x e  ， 则（ ） A． ( 2) ( 3) ( 1)f f g     B． ( 1) ( 3) ( 2)g f f     C． ( 2) ( 1) ( 3)f g f     D． ( 1) ( 2) ( 3)g f f     11.已知 1F ， 2F 分别为椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左、右焦点，点 P 是椭圆上位于第一 象限内的点，延长 2PF 交椭圆于点Q ，若 1PF PQ ，且 1| | | |PF PQ ，则椭圆的离心率为 （ ） A． 2 2 B． 3 2 C． 2 1 D． 6 3 12.定义在(0, ) 上的函数 ( )f x 满足 '( )ln ( ) 0xf x x f x  （其中 '( )f x 为 ( )f x 的导函数）， 若 1 0a b   ，则下列各式成立的是（ ） A． ( ) ( ) 1f a f ba b  B． ( ) ( ) 1f a f ba b  C． ( ) ( )1f a f ba b  D． ( ) ( )1f a f ba b  第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量a  与b  的夹角是 3  ，| | 1a  ， 1| | 2b  ，则向量 2a b  与 a  的夹角为 ． 14.设等差数列 na 的前n 项和为 nS ，若 6 6a  ， 15 15S  ，则公差 d  ． 15.设变量 x ， y 满足约束条件 4, 3 2 6, 1, x y x y y         则 2 2( 1)x y  的取值范围是 ． 16.三棱锥 P ABC 中， PA ， PB ， PC 两两成60，且 1PA  ， 2PB PC  ，则该三棱锥 外接球的表面积为 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题共 70 分） 17.在 ABC 中，内角 A 、 B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 cos sina B b A c  ．[来源: （1）求角 A 的大小；（2）若 2a  ， ABC 的面积为 2 1 2  ，求b c 的值． 18.2022 年北京冬奥会的申办成功与“3 亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项 目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运 动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了 100 人进行调查，其中女生中对冰球运 动有兴趣的占 2 3 ，而男生有 10 人表示对冰球运动没有兴趣额． （1）完成 2 2 列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有 关”？ 有兴趣 没兴趣 合计 男 55 女 合计 [ （2）已知在被调查的女生中有 5 名数学系的学生，其中 3 名对冰球有兴趣，现在从 这 5 名学生中随机抽取 3 人，求至少有 2 人对冰球有兴趣的概率． 附表： 2 0( )P K k 0.150# 网] 0.100 0.050 0.025 0.010 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      19.如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PBC  平面 ABCD ，PB PD ． （1）证明：平面 PAB  平面 PCD ； （2）若 PB PC ， E 为棱CD 的中点， 90PEA   ， 2BC  ，求四面体 A PED 的体积． 20.已知点 1(0, )2F ，直线l ： 1 2y   ，P 为平面上的动点，过点 P 作直线l 的垂线，垂足 为 H ，且满足 ( ) 0HF PH PF     ． （1）求动点 P 的轨迹C 的方程； （2）过点 F 作直线 'l 与轨迹C 交于 A ，B 两点，M 为直线l 上一点，且满足 MA MB ， 若 MAB 的面积为 2 2 ，求直线 'l 的方程． 21.已知函数 ( ) x xf x e  . （1）求函数 ( )f x 的单调区间； （2）记函数 ( )y f x 的极值点为 0x x ，若 1 2( ) ( )f x f x ，且 1 2x x ，求证： 0 1 22 xx x e  22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的方程为 2 2 4x y  ，直线l 的参数方程 2 , 3 3 3 x t y t      （t 为参数），若将曲线 1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 3 2 倍，得曲线 2C ． （1）写出曲线 2C 的参数方程； （2）设点 ( 2,3 3)P  ，直线l 与曲线 2C 的两个交点分别为 A ， B ，求 1 1 | | | |PA PB  的值. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) | 3 1| | 3 1|f x x x    ， M 为不等式 ( ) 6f x  的解集. （1）求集合 M ；（2）若a ，b M ，求证：| 1| | |ab a b   . 参考答案 一、选择题 1-5: ACAAD 6-10:CBBCD 11、12： DD 二、填空题 13. 3  4. 5 2  15. 9 ,1713      16.11 2  三、解答题 17.解：(1)由已知及正弦定理得：sin cos sin sin sinA B B A C  ， sin sin( ) sin cos cos sinC A B A B A B    sin in cos sinBs A A B  ， sin 0 sin cosB A A   (0, ) 4A A    (2) 1 2 2 1sin 2 22 4 2ABCS bc A bc bc      又 2 2 2 22 cos 2 ( ) (2 2)a b c bc A b c bc        所以， 2( ) 4, 2.b c b c    ． 18.解：（1）根据已知数据得到如下列联表 有兴趣 没有兴 趣 合计 男 45 10 55 女 30 15 45 合计 75 25 100 根据列联表中的数据，得到 所以有 90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”． (2)记 5 人中对冰球有兴趣的 3 人为 A、B、C，对冰球没有兴趣的 2 人为 m、n，则 从这 5 人中随机抽取 3 人，共有（A，m，n）（B，m，n）（C，m，n）（A、B、m） （A、B、n）（B、C、m）（B、C、n）（A、C、m）（A、C、n）（A、B、C）10 种情 况， 其中 3 人都对冰球有兴趣的情况有（A、B、C）1 种，2 人对冰球有兴趣的情况有（A、 B、m）（A、B、n）（B、C、m）（B、C、n）（A、C、m）（A、C、n）6 种， 所以至少 2 人对冰球有兴趣的情况有 7 种， 因此，所求事件的概率 7 10p  . 19.（Ⅰ）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴CD⊥BC. ∵平面 PBC⊥平面 ABCD，平面 PBC∩平面 ABCD=BC，CD 平面 ABCD， ∴CD⊥平面 PBC，∴CD⊥PB. ∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD 平面 PCD，∴PB⊥平面 PCD. ∵PB 平面 PAB，∴平面 PAB⊥平面 PCD. （Ⅱ）取 BC 的中点 O，连接 OP、OE. ∵ PB  平面 PCD ，∴ PB PC ，∴ 1 12OP BC  ， ∵ PB PC ，∴ PO BC ． ∵平面 PBC⊥平面 ABCD，平面 PBC∩平面 ABCD=BC，PO 平面 PBC， ∴PO⊥平面 ABCD，∵AE 平面 ABCD,∴PO⊥AE.∵∠PEA=90O, ∴PE⊥AE. ∵PO∩PE=P，∴AE⊥平面 POE，∴AE⊥OE. ∵∠C=∠D=90O, ∴∠OEC=∠EAD, ∴ Rt OCE Rt EDA  ，∴ OC CE ED AD  ． ∵ 1OC  ， 2AD  ，CE ED ，∴ 2CE ED  ， 1 1 1 3 3 2A PED P AED AEDV V S OP AD ED OP        1 1 22 2 13 2 3       P C B A E D O 20.解：（1）设 ( , )P x y ，则 1( , )2H x  ， 1( ,1), (0, ),2HF x PH y       1( , )2PF x y   ， ( , 2 )PH PF x y     ( ) 0HF PH PF      ， 2 2 0x y   ，即轨迹C 的方程为 2 2x y . （II）法一：显然直线l的斜率存在，设l的方程为 1 2y kx  ， 由 2 1 2 2 y kx x y      ，消去 y 可得： 2 2 1 0x kx   设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， 1( , )2M t  ， 1 2 1 2 2 1 x x k x x      ， 1 1 2 2 1 1( , ), ( , )2 2MA x t y MB x t y       MA MB ， 0MA MB    ， 即 1 2 1 2 1 1( )( ) ( )( ) 02 2x t x t y y      2 1 2 1 2 1 2( ) ( 1)( 1) 0x x x x t t kx kx        ， 2 2 21 2 2 1 0kt t k k       ，即 2 22 0t kt k    2( ) 0t k  ， t k  ，即 1( , )2M k  ，  2 2 2 2 1 2 1 2 1 2| | 1 | | 1 ( ) 4 2(1 )AB k x x k x x x x k         ，  1( , )2M k  到直线l 的距离 2 2 2 | 1| 1 1 kd k k     ， 3 2 21 | | (1 ) 2 22MABS AB d k     ，解得 1k   ， 直线l的方程为 1 02x y   或 1 02x y   ． 法 2：（Ⅱ）设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,AB 的中点为  00,yxE 则 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 02 1 22 2 2 ( )( ) 2( ) 2 AB x y y yx x x x y y x kx xx y             直线 'l 的方程为 0 1 2y x x  ， 过点 A,B 分别作 1111 B于，于 lBBAlAA  ，因为 ,MA MB E 为 AB 的中点， 所以在 Rt AMB 中， 1 1 1 1 1| | | | (| | | |) (| | | |)2 2 2     EM AB AF BF AA BB 故 EM 是直角梯形 1 1A B BA 的中位线，可得 EM l ，从而 0 1( , )2M x  点 M 到直线 'l 的距离为： 2 20 02 0 | 1| 1 1 xd x x     因为 E 点在直线 'l 上，所以有 2 0 0 1 2y x  ，从而 2 1 2 0 0| | 1 2 1 2( 1)AB y y y x       由 2 2 0 0 1 1| | 2( 1) 1 2 22 2MABS AB d x x      解得 0 1x   所以直线 'l 的方程为 1 2y x  或 1 2y x   ． 21.解：(1) ' 2 1( ) ( ) x x x x e xe xf x e e    ，令 '( ) 0f x  ，则 1x  ， 当 ( ,1)x  时， ' ( ) 0f x  ，当 (1, )x  时， ' ( ) 0f x  ， 则函数 ( )f x 的增区间为( ,1) ，减区间为(1, ) . （2）由可得    1 0xf x x    e ，所以  y f x 的极值点为 0 1x  . 于是， 01 22 xx x  e 等价于 1 22x x  e , 由    1 2f x f x 得 1 21 2 x xx x e e 且 1 20 1x x   . 由 1 21 2 x xx x e e 整理得， 1 1 2 2ln lnx x x x   ，即 1 2 1 2ln lnx x x x   . 等价于     1 2 1 2 1 22 ln lnx x x x x x   e ，① 令 1 2 x tx  ，则 0 1t  . 式①整理得    2 1 ln 1t t t  e ，其中 0 1t< < . 设      2 1 ln 1g t t t t   e , 0 1t< < . 只需证明当 0 1t  时，  max 0g t  . 又   12ln 2g t t t      e ，设  h t    12ln 2g t t t      e ， 则   2 2 2 1 2 1th t t t t     当 10, 2t ÷çÎ ÷ç ÷ç ÷时，   0h t  ，  h t 在 10, 2 ÷ç ÷ç ÷ç ÷上单调递减； 当 1,12t ÷çÎ ÷ç ÷ç ÷ 时，   0h t  ，  h t 在 1,1 2 ÷ç ÷ç ÷ç ÷ 上单调递增. 所以,  min 1 4 2ln 2 02g t g          e ； 注意到，  2 2 2 2 12ln 2 2 0g e e e e e           e ，  1 3 0g   e ， 所以，存在 1 2 1 10, , ,12 2t t           ，使得 ( ) ( )1 2 0g t g t= = ， 注意到， 1 0g     e ，而 1 10,e 2 ÷çÎ ÷ç ÷ç ÷，所以 1 1t e  . 于是，由 ( ) 0g t¢ > 可得 10 et< < 或 2 1t t< < ；由 ( ) 0g t¢ < 可得 2 1 e t t< < .  g t 在  2 10, , ,1t   e 上单调递增，在 2 1,t   e 上单调递减. 于是，     max 1max , 1g t g g    e ，注意到， ( )1 0g = ， 1 2 2 0g         ee e ， 所以，  max 0g t  ，也即    2 1 ln 1t t t  e ，其中 0 1t< < . 于是， 01 22 xx x  e . 22 解：（1）若将曲线 1C 上的点的纵坐标变为原来的 2 3 ，则曲线 2C 的直角坐标方程为 2 22( ) 43x y  ， 整理得 2 2 14 9 x y  ，曲线 2C 的参数方程 2cos , 3sin x y      （ 为参数）． （2）将直线l 的参数方程化为标准形式为 ' ' 12 2 33 3 2 x t y t        （t 为参数）， 将参数方程带入 2 2 14 9 x y  得 221 3( 2 ) (3 3 )2 2 14 9 t t      整理得 27 ( ) 18 36 04 t t    . 1 2 72 7PA PB t t     ， 1 2 144 7PA PB t t   ， 72 1 1 17 144 2 7 PA PB PA PB PA PB     ． 23.解:（1） ( ) 3 1 3 1 6f x x x     当 1 3x   时， ( ) 3 1 3 1 6f x x x x       ，由 6 6x  解得 1x   ， 11 3x    ； 当 1 1 3 3x   时， ( ) 3 1 3 1 2f x x x     ，2 6 恒成立， 1 1 3 3x   ；[来源:学。科。网 Z。 X。X。K] 当 1 3x  时， ( ) 3 1 3 1 6f x x x x     由6 6x  解得 1x  ， 1 13 x   综上， ( ) 6f x  的解集  1 1M x x    （2）   2 2 2 2 2 21 2 1 ( 2 )ab a b a b ab a b ab         2 2 2 2 1a b a b    2 2( 1)( 1)a b   由 ,a b M 得 1, 1a b  2 21 0, 1 0a b     2 2( 1)( 1) 0a b    1ab a b   