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- 2021-05-13 发布
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2014年七校普通高中毕业班模拟测试数学(文科)
本试卷共4页,21小题, 满分150分. 考试用时120分钟.
参考公式: 锥体的体积公式是, 其中是锥体的底面积, 是锥体的高.
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数是纯虚数,则的值为( )
A.0 B. C. D.
2. 已知全集,,,则( )
A. B. C. D.
3. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出名学生
参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分分)的
茎叶图如右图,其中甲班学生成绩的平均分是, 乙班学生成绩的中位数是,则的值为( )
A. B. C. D.
4.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点,使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率是( )
A. B. C. D.
5.“”是“函数存在零点”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
6. 已知变量x、y,满足条件,则目标函数z=x+y的最大值是( )
A. 2 B. 5 C. 6 D. 7
7. 设l,m是两条不同直线,, 是两个不同平面,则下列命题中正确的是( )
A. 若,∩=m,则lm B. 若l⊥,l,则⊥
C. 若l,m,则l m D. 若l,m⊥l,则m⊥
8.在中,, ,则=( )
A. B.
C. D.
9. 己知双曲线离心率为2,有一个焦点与抛物线的焦点重合,则的值为( )
A. B. C. D.
10.已知函数是定义在R上的可导函数,其导函数记为,若对于任意实数x,有,且为奇函数,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.
(一)必做题(11~13题)
11 . 设正项等比数列已前n项积为, 若,则的值为__________.
开始
a =3 =1
i >5
i=i+1
结束
输出a
是
否
12.执行如图所示的程序框图,输出的a值为___________.
13.在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且角A=60°,若,且5sinB=3sinC,则ABC的周长等于 .
(二)选做题(14~15题,考生从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选做题)以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线的极坐标方程为,它与曲线
为参数)相交于A和B两点,则= .
15.(几何证明选讲选做题)如图,已知P是圆O外一点,PA为 圆O的切线, A为切点.割线PBC经过圆心O,若PA=3,PC = 9,则∠ACP = .
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
设函数 其中向量,.
(Ⅰ)求的最小值,并求使取得最小值的的集合;
(Ⅱ)将函数的图象沿轴向右平移, 则至少平移多少个单位长度,才能使得到的函数的图象关于轴对称?
17.(本小题满分12分)
小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋. 游戏规则为以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两个不同的点分别为终点得到两个向量,记住这两个向量的数量积为X,若X>0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋.
(Ⅰ)写出数量积X的所有可能取值;
(Ⅱ)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.
18.(本小题满分14分) 已知数列中,a1=3,a2=5,其前n项和Sn满足.(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ) 若,设数列的前的和为,当为何值时,有最大值,并求最大值.
19.(本小题满分14分)如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是菱形,PA= PD,,E是AD的中点,点Q在侧棱PC上.
(Ⅰ)求证:AD平面PBE;
(Ⅱ)若Q是PC的中点,求证:PA∥平面BDQ;
(Ⅲ)若,试求的值.
20.(本小题满分14分)如图,已知点为椭圆的右焦点,圆与椭圆的一个公共点为,且直线与圆相切于点.
(Ⅰ)求的值及椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设动点满足,
其中M、N是椭圆上的点,为原点,直线OM
与ON的斜率之积为,求证:为定值.
21.(本小题满分14分)已知函数的图象在点处的切线斜率为.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)判断方程根的个数,证明你的结论;
(Ⅲ)探究:是否存在这样的点,使得曲线在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧?若存在,求出点A的坐标;若不存在,说明理由.
2014年中山市普通高中毕业班模拟测试
数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数.
2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
D
B
A
C
B
A
D
B
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,满分20分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.
11. 3 12. 13. 8+ 14. 15.
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. 解:(Ⅰ) ……3分
. …………..4分
故函数的最小值为,此时,于是,
故使取得最小值的的集合为. ……………..7分
(Ⅱ)由条件可得, ………………8分
因为其图象关于轴对称,所以,,………10分
又,故当时,取得最小值, ………………11分
于是至少向右平移个单位长度,才能使得到的函数的图象关于轴对称. ………………12分
17.解: (Ⅰ) X的所有可能取值为, , 0, 1 ………………2分
(Ⅱ) 数量积为的只有一种, ………………3分
数量积为的有, , , , ,六种 ………………5分
数量积为0的有, , , 四种 ………7分
数量积为1的有, , , 四种
故所有可能的情况共有15种. ………………8分
因此满足X<0的是数量积分别为和的7种, ………………9分
所以小波去下棋的概率为 ………………10分
因为去唱歌的概率为, 所以小波不去唱歌的概率.
………………12分
18. 解:(Ⅰ)由题意知, 即
……………3分
………………5分
………7分
检验知n=1, 2时,结论也成立,故an=2n+1. …………………………8分
(Ⅱ) 由 …………10分
法一: 当时,;当时,;当时, ………………12分
故时,达最大值,. ……………………14分
(法二:可利用等差数列的求和公式求解)
19. (Ⅰ) 证明:由E是AD的中点, PA=PD,所以AD⊥PE; ………2分
又底面ABCD是菱形,∠BAD=60
所以AB=BD,又因为E是AD的中点 ,
所以AD⊥BE, ………4分
又PE∩BE=E 所以AD⊥平面PBE. ……………… 5分
(Ⅱ)证明:连接AC交BD于点O,连OQ;因为O是AC的中点,
Q是PC的中点,所以OQ//PA, ………………8分
又PA平面BDQ,OQ平面BDQ,所以PA//平面BDQ. ……………… 9分
(Ⅲ)解:设四棱锥P-BCDE,Q-ABCD的高分别为.
所以, , ………………10分
又因为,且底面积, ………………12分
所以. ……… 14分
20. 解:(Ⅰ)由题意可知,又. 又. ……..2分
在中,,
故椭圆的标准方程为: ………..6分
(Ⅱ)设, ,
………………8分
∵M、N在椭圆上, ∴ ………………9分
又直线OM与ON的斜率之积为, ∴, ………………10分
于是 ………………12分
. 故为定值. ……..14分
21.解:(Ⅰ)因为,所以, ………………………1分
函数的图象在点处的切线斜率. ………………2分
由得:. ………………………………3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,令.
因为,,所以在定义域上至少有一个根. ………………………5分
又因为,所以在上递增,
所以函数在上有且只有一个零点,即方程有且只有一个实根. …………………7分
(Ⅲ)证明如下:
由,,可求得曲线在点处的切线方程为,
即. ………………… 8分
记
, ………………………9分
则. ………………… 10分
(1)当,即时,对一切成立,
所以在上递增.又,所以当时,当 时,即存在点,使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧. ………………… 11分
(2)当,即时,时,;时,;
时,.故在上单调递减,在上单调递增.
又,所以当时,;当时,,
即曲线在点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧. ……12分
(3) 当,即时,时,;时,;
时,.故在上单调递增,在上单调递减.
又,所以当时,;当时,,
即曲线在点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧.……13分
综上所述, 存在点,使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧. ………………………………14分