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  • 2021-05-13 发布

高考数学试题分类汇编专题直线与圆理

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‎2011年高考试题数学(理科)直线与圆 一、选择题:‎ ‎1.(2011年高考江西卷理科9)若曲线:与曲线:有四个不同的交点,则实数m的取值范围是 ‎ A.(,) B.(,0)∪(0,)‎ ‎ c.[,] D.(,)∪(,+)‎ 答案:B ‎ 解析:曲线表示以为圆心,以1为半径的圆,曲线表示过定点,与圆有两个交点,故也应该与圆有两个交点,由图可以知道,临界情况即是与圆相切的时候,经计算可得,两种相切分别对应,由图可知,m的取值范围应是 ‎2.(2011年高考重庆卷理科8)(8)在圆内,过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ 二、填空题:‎ ‎1.(2011年高考安徽卷理科15)在平面直角坐标系中,如果与都是整数,就称点为整点,下列命题中正确的是_____________(写出所有正确命题的编号).‎ ‎①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ‎②如果与都是无理数,则直线不经过任何整点 ‎③直线经过无穷多个整点,当且仅当经过两个不同的整点 ‎④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是:与都是有理数 ‎⑤存在恰经过一个整点的直线 ‎【命题意图】本题考查直线方程、直线过定点、充分必要条件、存在性问题、命题真假的判定,考查学生分析、判断、转化、解决问题能力,此类问题正确的命题要给出证明,错误的要给出反例,此题综合性较强,难度较大.‎ ‎【答案】①③⑤‎ ‎【解析】①正确,设,当是整数时,是无理数,(,)必不是整点.‎ ‎②不正确,设=,=-,则直线=过整点(1,0).‎ ‎③正确,直线经过无穷多个整点,则直线必然经过两个不同整点,显然成立;反之成立,设直线经过两个整点,,则的方程为,令=(),则∈Z,且=也是整数,故经过无穷多个整点.‎ ‎④不正确,由③知直线经过无穷多个整点的充要条件是直线经过两个不同的整点,设为,,则的方程为,‎ ‎∵直线方程为的形式,∴,∴=,‎ ‎∴,∈Q,反之不成立,如,则,若∈Z,则Z,即,∈Q,得不到经过无穷个整点.‎ ‎⑤正确,直线=只过整点(1,0).‎ ‎2.(2011年高考重庆卷理科15)设圆位于抛物线与直线所组成的封闭区域(包含边界)内,则圆的半径能取到的最大值为 ‎ 解析:。 为使圆的半径取到最大值,显然圆心应该在x轴上且与直线相切,设圆的半径为,则圆的方程为,将其与联立得:,令,并由,得:‎ 三、解答题:‎ ‎1. (2011年高考山东卷理科22)(本小题满分14分)‎ 已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点,且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点.‎ ‎(Ⅰ)证明和均为定值;‎ ‎(Ⅱ)设线段PQ的中点为M,求的最大值;‎ ‎(Ⅲ)椭圆C上是否存在点D,E,G,使得?若存在,判断△DEG的形状;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解析】(I)解:(1)当直线的斜率不存在时,P,Q两点关于x轴对称,‎ 所以因为在椭圆上,因此 ①‎ 又因为所以②;由①、②得 此时 ‎ (2)当直线的斜率存在时,设直线的方程为 由题意知m,将其代入,得,‎ 其中即 …………(*)‎ 又 所以 因为点O到直线的距离为所以 ‎,又 整理得且符合(*)式,‎ 此时 综上所述,结论成立。‎ ‎ (II)解法一:‎ ‎ (1)当直线的斜率存在时,由(I)知 因此 ‎ (2)当直线的斜率存在时,由(I)知 所以 ‎ ‎ 所以,当且仅当时,等号成立.‎ 综合(1)(2)得|OM|·|PQ|的最大值为 解法二:‎ 因为 ‎ ‎ 所以 即当且仅当时等号成立。‎ 因此 |OM|·|PQ|的最大值为 ‎ (III)椭圆C上不存在三点D,E,G,使得 证明:假设存在,‎ 由(I)得 因此D,E,G只能在这四点中选取三个不同点,‎ 而这三点的两两连线中必有一条过原点,与矛盾,‎ 所以椭圆C上不存在满足条件的三点D,E,G.‎ ‎2. (2011年高考广东卷理科19)设圆C与两圆中的一个内切,另一个外切.‎ ‎(1)求C的圆心轨迹L的方程.‎ ‎(2)已知点且P为L上动点,求的最大值及此时点P的坐标.‎ ‎【解析】(1)解:设C的圆心的坐标为,由题设条件知 ‎ ‎ ‎ 化简得L的方程为 ‎ (2)解:过M,F的直线方程为,将其代入L的方程得 ‎ ‎ ‎ 解得 ‎ 因T1在线段MF外,T2在线段MF内,故 ‎ ,若P不在直线MF上,在中有 ‎ ‎ ‎ 故只在T1点取得最大值2。‎ ‎3.(2011年高考福建卷理科17)(本小题满分13分)‎ 已知直线l:y=x+m,m∈R。‎ ‎(I)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切与点P,且点P在y轴上,求该圆的方程;‎ ‎(II)若直线l关于x轴对称的直线为,问直线与抛物线C:x2=4y是否相切?说明理由。‎ ‎【命题意图】本题考查圆的方程、直线与圆相切知识、两直线的位置关系、直线与抛物线位置关系等基础知识,考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想,是中档题.‎ ‎【解析】(I)由题意知(0, ),∵以点(2,0)为圆心的圆与直线相切与点,‎ ‎∴==,解得=2,∴圆的半径=,‎ ‎∴所求圆的方程为;‎ ‎(II)∵直线关于轴对称的直线为,:,∈,‎ ‎∴:,代入得,‎ ‎==,‎ 当<1时,>0,直线与抛物线C相交;‎ 当=1时,=0,直线与抛物线C相切;‎ 当>1时,<0,直线与抛物线C相离.‎ 综上所述,当=1时,直线与抛物线C相切,当≠1时,直线与抛物线C不相切.‎ ‎【点评】本题考查内容和方法很基础,考查面较宽,是很好的一个题.‎ ‎4.(2011年高考上海卷理科23)(18分)已知平面上的线段及点,在上任取一点,线段长度的最小值称为点到线段的距离,记作。‎ ‎(1)求点到线段的距离;‎ ‎(2)设是长为2的线段,求点集所表示图形的面积;‎ ‎(3)写出到两条线段距离相等的点的集合,其中 ‎,‎ 是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种,满分分别是①2分,②‎ ‎6分,③8分;若选择了多于一种的情形,则按照序号较小的解答计分。‎ ‎① 。‎ ‎② 。‎ ‎③ 。‎ 解:⑴ 设是线段上一点,则 ‎,当时,。‎ ‎⑵ 设线段的端点分别为,以直线为轴,的中点为原点建立直角坐标系,‎ 则,点集由如下曲线围成 ‎,‎ 其面积为。‎ ‎⑶ ① 选择,‎ ‎② 选择。‎ ‎③ 选择。‎