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  • 2021-05-13 发布

2015高考数学人教A版本(8-4椭圆)一轮复习学案

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‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 8-4椭圆课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1.(文)设P是椭圆+=1上的点,若F1、F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于(  )‎ A.4     B.5    ‎ C.8     D.10‎ ‎[答案] D ‎[解析] ∵a2=25,∴a=5,∴|PF1|+|PF2|=‎2a=10.‎ ‎(理)椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2,一直线过F1交椭圆于A、B两点,则△ABF2的周长为(  )‎ A.32     B.16    ‎ C.8     D.4‎ ‎[答案] B ‎[解析] 由题设条件知△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=‎4a=16.‎ ‎2.(文)(2012·丽水模拟)若P是以F1、F2为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上的一点,且·=0,tan∠PF‎1F2=,则此椭圆的离心率为(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案] A ‎[解析] 在Rt△PF‎1F2中,不妨设|PF2|=1,则|PF1|=2.|F‎1F2|=,∴e==.‎ ‎(理)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1、F2,若曲线Γ上存在点P满足|PF1|:|F‎1F2|:|PF2|=4:3:2,则曲线Γ的离心率等于(  )‎ A.或 B.或2‎ C.或2 D.或 ‎[答案] A ‎[解析] 设|PF1|=4t,|F‎1F2|=3t,|PF2|=2t(t>0),‎ 若Γ为椭圆,则离心率为e==,‎ 若Γ为双曲线,则离心率为=.‎ ‎3.(2013·浙江绍兴一模)椭圆+=1上一点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于(  )‎ A.2 B.4 ‎ C.8 D. ‎[答案] B ‎[解析] 连接MF2.已知|MF1|=2,又|MF1|+|MF2|=10,∴|MF2|=10-|MF1|=8.‎ 如图,|ON|=|MF2|=4.故选B.‎ ‎4.(2013·新课标Ⅰ理,10)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为(  )‎ A.+=1 B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ ‎[答案] D ‎[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ ‎∵A、B在椭圆上,‎ ‎∴两式相减得,=,‎ 即=,‎ ‎∵AB的中点为(1,-1),∴x1+x2=2,y1+y2=-2,‎ ‎∴k==,‎ 又∵k==,∴=,‎ 又∵c2=a2-b2=2b2-b2=b2,c2=9,∴b2=9,a2=18,‎ ‎∴椭圆E的标准方程为+=1,故选D.‎ ‎5.(文)若椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是(  )‎ A.+=1 B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ ‎[答案] A ‎[解析] 依题意知:‎2a=18,∴a=9,‎2c=×‎2a,∴c=3,∴b2=a2-c2=81-9=72,∴椭圆方程为+=1.‎ ‎(理)(2013·烟台质检)一个椭圆中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F‎1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为(  )‎ A.+=1 B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ ‎[答案] A ‎[解析] 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).由点(2,)在椭圆上知+=1.又|PF1|,|F‎1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F‎1F2|,即‎2a=2·‎2c,=,又c2=a2-b2,联立得a2=8,b2=6.‎ ‎6.椭圆+=1的焦点为F1、F2,椭圆上的点P满足∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积是(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案] A ‎[解析] 由余弦定理:|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos60°=|F‎1F2|2.‎ 又|PF1|+|PF2|=20,代入化简得|PF1|·|PF2|=,‎ ‎∴S△F1PF2=|PF1|·|PF2|·sin60°=.‎ 二、填空题 ‎7.(文)设F1、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则P点到椭圆左焦点距离为________.‎ ‎[答案] 4‎ ‎[解析] |OM|=3,|PF2|=6,‎ 又|PF1|+|PF2|=10,∴|PF1|=4.‎ ‎(理)(2013·池州二模)已知点M(,0),椭圆+y2=1与直线y=k(x+)交于点A、B,则△ABM的周长为________.‎ ‎[答案] 8‎ ‎[解析] M(,0)与F(-,0)是椭圆的焦点,则直线AB过椭圆左焦点F(-,0),且|AB|=|AF|+|BF|,△ABM的周长等于|AB|+|AM|+|BM|=(|AF|+|AM|)+(|BF|+|BM|)=‎4a=8.‎ ‎8.若方程x2sin2α-y2cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆,那么α的取值范围是________.‎ ‎[答案] ,k∈Z ‎[解析] 根据题意知, 化简得, 解得α∈(k∈Z).‎ ‎9.已知椭圆M:+=1(a>0,b>0)的面积为πab,M包含于平面区域Ω:内,向Ω内随机投一点Q,点Q落在椭圆M内的概率为,则椭圆M的方程为________.‎ ‎[答案] +=1‎ ‎[解析] ‎ 平面区域Ω:‎ 是一个矩形区域,如图所示,‎ 依题意及几何概型,可得=,即ab=2.‎ 因为0b>0),由题意c=,且椭圆过点M(1,-),‎ ‎∴⇒∴椭圆方程为+y2=1.‎ ‎(2)设直线PQ:x=ty-,‎ 由消去x得,(t2+4)y2-ty-=0,‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ ‎∴y1y2=-,y1+y2=,‎ 又A(-2,0),‎ ‎∴·=(x1+2,y1)·(x2+2,y2)‎ ‎=(x1+2)(x2+2)+y1y2=(ty1+)(ty2+)+y1y2‎ ‎=(t2+1)y1y2+t(y1+y2)+=0,‎ ‎∴∠PAQ=(定值).‎ 能力拓展提升 一、选择题 ‎11.(2013·荆州市质检)若椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点为F(c,0),方程ax2+2bx+c=0的两个实数根分别是x1和x2,则点P(x1,x2)到原点的距离为(  )‎ A. B. ‎ C.2 D. ‎[答案] A ‎[解析] 因为e==,所以a=‎2c,由a2=b2+c2,得=,x1+x2=-=-,x1x2==,点P(x1,x2)到原点(0,0)的距离d===.‎ ‎12.(文)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案] B ‎[分析] 要求离心率e=,先由条件建立a、b、c的方程,利用a2=b2+c2消去b,两边同除以a2即可化为e的方程.‎ ‎[解析] 由题意得:4b=2(a+c)⇒4b2=(a+c)2⇒‎3a2-‎2ac-‎5c2=0⇒5e2+2e-3=0⇒e=或e=-1(舍),故选B.‎ ‎(理)(2013·全国大纲理,8)椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A1、A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是(  )‎ A.[,] B.[,]‎ C.[,1] D.[,1]‎ ‎[答案] B ‎[解析] ‎ 如图:A1(-2,0),A2(2,0)‎ 直线A‎2M的方程为y=-(x-2),即y=2-x,‎ 代入椭圆方程+=1中消去y得,7x2-16x+4=0,‎ ‎∴2+x=,∴x=,∴M点坐标为(,).‎ 同理可得N点坐标为(,)‎ ‎∵kA‎1M==,kA1N==,‎ ‎∴直线PA1斜率的取值范围是[,].‎ ‎[解法探究] 点P在椭圆C上运动,PA2的斜率取值已知,求PA1的斜率的取值范围,若能找到kPA1与kPA2的关系,则解答更简便.‎ 由条件知,A1(-2,0),A2(2,0),‎ 设P点坐标为(x0,y0),则+=1,‎ kPA2=,kPA1=,‎ 于是kPA1·kPA2===-.‎ ‎∴kPA1=,‎ ‎∵-2≤kPA2≤-1,∴4≤-4kPA2≤8,∴≤kPA1≤.‎ ‎13.(文)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点,若C1恰好将线段AB三等分,则(  )‎ A.a2= B.a2=13‎ C.b2= D.b2=2‎ ‎[答案] C ‎[解析] ‎ 由已知双曲线渐近线为y=±2x.圆方程为x2+y2=a2,则|AB|=‎2a.不妨取y=2x与椭圆交于P、Q两点,且P在x轴上方,则由已知|PQ|=|AB|=,∴|OP|=.则点P坐标为(,),‎ 又∵点P在椭圆上,∴+=1.①‎ 又∵a2-b2=5,∴b2=a2-5.②,解①②得 故选C.‎ ‎(理)‎ 设F是椭圆+=1的左焦点,且椭圆上有2011个不同的点Pi(xi,yi)(i=1,2,3,…,2011),且线段|FP1|,|FP2|,|FP3|,…,|FP2011|的长度成等差数列,若|FP1|=2,|FP2011|=8,则点P2010的横坐标为(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案] C ‎[解析] ∵椭圆+=1,∴F(-3,0),由|FP1|=2=a-c,|FP2011|=8=a+c,可知点P1为椭圆的左顶点,P2011为椭圆的右顶点,即x1=-5,x2011=5=-5+2010d,∴d=,则数列{xi}是以-5为首项,为公差的等差数列,∴x2010=-5+2009×=.‎ 二、填空题 ‎14.(文)如果AB是椭圆+=1的任意一条与x轴不垂直的弦,O为椭圆的中心,e为椭圆的离心率,M为AB的中点,则kAB·kOM的值为________.‎ ‎[答案] e2-1‎ ‎[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),‎ 由点差法,+=1,+=1,‎ 作差得=,‎ ‎∴kAB·kOM=·===e2-1.‎ ‎(理)以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心,交椭圆于点M、N,椭圆的左焦点为F1,且直线MF1与此圆相切,则椭圆的离心率e等于________.‎ ‎[答案] -1‎ ‎[解析] 由题意知,MF1⊥MF2,|MF2|=|OF2|=c,‎ 又|F‎1F2|=‎2c,∴|MF1|=c,‎ 由椭圆的定义,|MF1|+|MF2|=‎2a,‎ ‎∴c+c=‎2a,∴e==-1.‎ ‎15.(2013·苏北四市联考)已知两定点M(-1,0),N(1,0),若直线上存在点P,使|PM|+|PN|=4,则该直线为“A型直线”.给出下列直线,其中是“A型直线”的是________(填序号).‎ ‎①y=x+1;②y=2;③y=-x+3;④y=-2x+3.‎ ‎[答案] ①④‎ ‎[解析] 由题意可知,点P的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,其方程是+=1,‎ ‎①把y=x+1代入+=1并整理得,7x2+8x-8=0,‎ ‎∵Δ=82-4×7×(-8)>0,直线与椭圆有两个交点,‎ ‎∴y=x+1是“A型直线”.‎ ‎②把y=2代入+=1,得=-不成立,直线与椭圆无交点,∴y=2不是“A型直线”.‎ ‎③把y=-x+3代入+=1并整理得,7x2-24x+24=0,Δ=(-24)2-4×7×24<0,∴y=-x+3不是“A型直线”.‎ ‎④把y=-2x+3代入+=1并整理得,19x2-48x+24=0,∵Δ=(-48)2-4×19×24>0,∴y=-2x+3是“A型直线”.‎ 三、解答题 ‎16.(文)(2012·广东文,20)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.‎ ‎(1)求椭圆C1的方程;‎ ‎(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.‎ ‎[解析] (1)因为椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),‎ 所以c=1,‎ 将点P(0,1)代入椭圆方程+=1,得=1,‎ 即b2=1,所以a2=b2+c2=2,‎ 所以椭圆C1的方程为+y2=1.‎ ‎(2)直线l的斜率显然存在,设直线l的方程为y=kx+m,‎ 由消去y并整理得,(1+2k2)x2+4kmx+‎2m2‎-2=0,‎ 因为直线l与椭圆C1相切,‎ 所以Δ1=16k‎2m2‎-4(1+2k2)(‎2m2‎-2)=0‎ 整理得2k2-m2+1=0,①‎ 由消去y并整理得,‎ k2x2+(‎2km-4)x+m2=0,‎ 因为直线l与抛物线C2相切,‎ 所以Δ2=(‎2km-4)2-4k‎2m2‎=0,‎ 整理得km=1,②‎ 综合①②,解得或 所以直线l的方程为y=x+或y=-x-.‎ ‎(理)已知椭圆C的中心在原点,一个焦点F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点.当||最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.‎ ‎[解析] (1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),‎ 由题意解得a2=16,b2=12.‎ 所以椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)设P(x,y)为椭圆上的动点,由于椭圆方程为+=1,故-4≤x≤4.‎ 因为=(x-m,y),所以||2=(x-m)2+y2‎ ‎=(x-m)2+12×.‎ ‎=x2-2mx+m2+12=(x-‎4m)2+12-‎3m2‎.‎ 因为当||最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,‎ 即当x=4时,||2取得最小值.而x∈[-4,4],‎ 故有‎4m≥4,解得m≥1.‎ 又点M在椭圆的长轴上,即-4≤m≤4.‎ 故实数m的取值范围是m∈[1,4].‎ 考纲要求 ‎1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.‎ ‎2.了解圆锥曲线的简单应用.‎ ‎3.理解数形结合的思想.‎ 补充说明 ‎1.求椭圆的方程主要有定义法和待定系数法,运用待定系数法求方程时,当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时,设方程为+=1(m>0,n>0),可以避免讨论和繁琐的计算,也可以设为Ax2+By2=1(A>0,B>0),这种形式在求解过两定点的椭圆方程时更简便.‎ ‎2.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤:‎ ‎(1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能;‎ ‎(2)设方程:根据上述判断设方程+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0),当椭圆焦点位置不确定时,可设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n);‎ ‎(3)找关系:根据已知条件,建立方程组;‎ ‎(4)写出标准方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求.‎ ‎3.函数与方程的思想 ‎(1)在圆锥曲线的一些求取值范围及最值的问题中,常将所求量表达为其他量的函数,运用函数的方法解决.‎ ‎(2)求圆锥曲线方程时,往往是已知曲线形状特征或由已知条件可分析其几何特征,确定形状,设出其标准方程,然后设法列出关于待定系数的方程或方程组求待定系数.要注意解题过程中,设而不求、整体处理的策略和恰当运用一元二次方程根与系数的关系求解.‎ ‎4.焦点三角形问题 椭圆的一条焦点弦和另一焦点围成一个三角形.习惯上称为焦点三角形,在焦点三角形中命制题目是常见命题方式,解决焦点三角形问题经常从以下几个方面入手:‎ ‎①定义;②正、余弦定理;③三角形面积.‎ ‎5.求椭圆的离心率时,常常要列出a、b、c的一个齐次方程,结合b2=a2-c2,两边同除以a2化为e(e=)的二次方程求解.‎ ‎6.椭圆上点M到焦点距离的最大值为a+c,最小值为a-c.‎ 备选习题 ‎1.若椭圆+=1过抛物线y2=8x的焦点,且与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,则该椭圆的方程是(  )‎ A.+=1 B.+y2=1‎ C.+=1 D.x2+=1‎ ‎[答案] A ‎[解析] 抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0),又椭圆与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,∴a=2,c=,‎ ‎∵c2=a2-b2,∴b2=2,∴椭圆的方程为+=1.‎ ‎2.椭圆+=1(a>b>0)的左顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,D是它短轴上的一个顶点,若2=+,则该椭圆的离心率为(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案] B ‎[解析] 由2=+知F1是AF2的中点,‎ ‎∴a-c=‎2c,∴a=‎3c,e=.‎ ‎3.F1、F2是椭圆+=1(a>b>0)的两焦点,P是椭圆上任一点,过一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线,则垂足Q的轨迹为(  )‎ A.圆 B.椭圆 ‎ C.双曲线 D.抛物线 ‎[答案] A ‎[解析] ∵PQ平分∠F1PA,且PQ⊥AF1,‎ ‎∴Q为AF1的中点,且|PF1|=|PA|,‎ ‎∴|OQ|=|AF2|=(|PA|+|PF2|)=a,‎ ‎∴Q点轨迹是以O为圆心,a为半径的圆.‎ ‎4.(2013·乌鲁木齐一诊)如图,椭圆的中心在坐标原点O,顶点分别是A1,A2,B1,B2,焦点分别为F1,F2,直线B‎1F2与A2B2交于P点,若∠B1PA2为钝角,则此椭圆的离心率e的取值范围为________.‎ ‎[答案] (,1)‎ ‎[解析] 设椭圆的方程为+=1(a>b>0),∠B1PA2为钝角可转化为与所夹的角为钝角,则(a,-b)·(-c,-b)<0,得b20,即e2+e-1>0,e>或e<,又0