2015高考数学人教A版本（8-4椭圆）一轮复习学案 14页

‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 8-4椭圆课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1．(文)设P是椭圆＋＝1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　)‎ A．4　　　　 B．5　　　　‎ C．8　　　　 D．10‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵a2＝25，∴a＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝‎2a＝10.‎ ‎(理)椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为(　　)‎ A．32　　 　 B．16　　 　‎ C．8　　　　 D．4‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由题设条件知△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝‎4a＝16.‎ ‎2．(文)(2012·丽水模拟)若P是以F1、F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，且·＝0，tan∠PF‎1F2＝，则此椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　在Rt△PF‎1F2中，不妨设|PF2|＝1，则|PF1|＝2.|F‎1F2|＝，∴e＝＝.‎ ‎(理)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1、F2，若曲线Γ上存在点P满足|PF1|:|F‎1F2|:|PF2|＝4:3:2，则曲线Γ的离心率等于(　　)‎ A.或 B.或2‎ C.或2 D.或 ‎[答案]　A ‎[解析]　设|PF1|＝4t，|F‎1F2|＝3t，|PF2|＝2t(t>0)，‎ 若Γ为椭圆，则离心率为e＝＝，‎ 若Γ为双曲线，则离心率为＝.‎ ‎3．(2013·浙江绍兴一模)椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于(　　)‎ A．2 B．4 ‎ C．8 D. ‎[答案]　B ‎[解析]　连接MF2.已知|MF1|＝2，又|MF1|＋|MF2|＝10，∴|MF2|＝10－|MF1|＝8.‎ 如图，|ON|＝|MF2|＝4.故选B.‎ ‎4．(2013·新课标Ⅰ理，10)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ ‎∵A、B在椭圆上，‎ ‎∴两式相减得，＝，‎ 即＝，‎ ‎∵AB的中点为(1，－1)，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，‎ ‎∴k＝＝，‎ 又∵k＝＝，∴＝，‎ 又∵c2＝a2－b2＝2b2－b2＝b2，c2＝9，∴b2＝9，a2＝18，‎ ‎∴椭圆E的标准方程为＋＝1，故选D.‎ ‎5．(文)若椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　依题意知：‎2a＝18，∴a＝9,‎2c＝×‎2a，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，∴椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(理)(2013·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F‎1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由点(2，)在椭圆上知＋＝1.又|PF1|，|F‎1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F‎1F2|，即‎2a＝2·‎2c，＝，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6.‎ ‎6．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　由余弦定理：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F‎1F2|2.‎ 又|PF1|＋|PF2|＝20，代入化简得|PF1|·|PF2|＝，‎ ‎∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝.‎ 二、填空题 ‎7．(文)设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点距离为________．‎ ‎[答案]　4‎ ‎[解析]　|OM|＝3，|PF2|＝6，‎ 又|PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF1|＝4.‎ ‎(理)(2013·池州二模)已知点M(，0)，椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A、B，则△ABM的周长为________．‎ ‎[答案]　8‎ ‎[解析]　M(，0)与F(－，0)是椭圆的焦点，则直线AB过椭圆左焦点F(－，0)，且|AB|＝|AF|＋|BF|，△ABM的周长等于|AB|＋|AM|＋|BM|＝(|AF|＋|AM|)＋(|BF|＋|BM|)＝‎4a＝8.‎ ‎8．若方程x2sin2α－y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，那么α的取值范围是________．‎ ‎[答案]　，k∈Z ‎[解析]　根据题意知， 化简得， 解得α∈(k∈Z)．‎ ‎9．已知椭圆M：＋＝1(a>0，b>0)的面积为πab，M包含于平面区域Ω：内，向Ω内随机投一点Q，点Q落在椭圆M内的概率为，则椭圆M的方程为________．‎ ‎[答案]　＋＝1‎ ‎[解析]　‎ 平面区域Ω：‎ 是一个矩形区域，如图所示，‎ 依题意及几何概型，可得＝，即ab＝2.‎ 因为0b>0)，由题意c＝，且椭圆过点M(1，－)，‎ ‎∴⇒∴椭圆方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设直线PQ：x＝ty－，‎ 由消去x得，(t2＋4)y2－ty－＝0，‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ ‎∴y1y2＝－，y1＋y2＝，‎ 又A(－2,0)，‎ ‎∴·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)‎ ‎＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2＝(ty1＋)(ty2＋)＋y1y2‎ ‎＝(t2＋1)y1y2＋t(y1＋y2)＋＝0，‎ ‎∴∠PAQ＝(定值).‎ 能力拓展提升 一、选择题 ‎11．(2013·荆州市质检)若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋2bx＋c＝0的两个实数根分别是x1和x2，则点P(x1，x2)到原点的距离为(　　)‎ A. B. ‎ C．2 D. ‎[答案]　A ‎[解析]　因为e＝＝，所以a＝‎2c，由a2＝b2＋c2，得＝，x1＋x2＝－＝－，x1x2＝＝，点P(x1，x2)到原点(0,0)的距离d＝＝＝.‎ ‎12．(文)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案]　B ‎[分析]　要求离心率e＝，先由条件建立a、b、c的方程，利用a2＝b2＋c2消去b，两边同除以a2即可化为e的方程．‎ ‎[解析]　由题意得：4b＝2(a＋c)⇒4b2＝(a＋c)2⇒‎3a2－‎2ac－‎5c2＝0⇒5e2＋2e－3＝0⇒e＝或e＝－1(舍)，故选B.‎ ‎(理)(2013·全国大纲理，8)椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是(　　)‎ A．[，] B．[，]‎ C．[，1] D．[，1]‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　‎ 如图：A1(－2,0)，A2(2,0)‎ 直线A‎2M的方程为y＝－(x－2)，即y＝2－x，‎ 代入椭圆方程＋＝1中消去y得，7x2－16x＋4＝0，‎ ‎∴2＋x＝，∴x＝，∴M点坐标为(，)．‎ 同理可得N点坐标为(，)‎ ‎∵kA‎1M＝＝，kA1N＝＝，‎ ‎∴直线PA1斜率的取值范围是[，]．‎ ‎[解法探究]　点P在椭圆C上运动，PA2的斜率取值已知，求PA1的斜率的取值范围，若能找到kPA1与kPA2的关系，则解答更简便．‎ 由条件知，A1(－2,0)，A2(2,0)，‎ 设P点坐标为(x0，y0)，则＋＝1，‎ kPA2＝，kPA1＝，‎ 于是kPA1·kPA2＝＝＝－.‎ ‎∴kPA1＝，‎ ‎∵－2≤kPA2≤－1，∴4≤－4kPA2≤8，∴≤kPA1≤.‎ ‎13．(文)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则(　　)‎ A．a2＝ B．a2＝13‎ C．b2＝ D．b2＝2‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　‎ 由已知双曲线渐近线为y＝±2x.圆方程为x2＋y2＝a2，则|AB|＝‎2a.不妨取y＝2x与椭圆交于P、Q两点，且P在x轴上方，则由已知|PQ|＝|AB|＝，∴|OP|＝.则点P坐标为(，)，‎ 又∵点P在椭圆上，∴＋＝1.①‎ 又∵a2－b2＝5，∴b2＝a2－5.②，解①②得 故选C.‎ ‎(理)‎ 设F是椭圆＋＝1的左焦点，且椭圆上有2011个不同的点Pi(xi，yi)(i＝1,2,3，…，2011)，且线段|FP1|，|FP2|，|FP3|，…，|FP2011|的长度成等差数列，若|FP1|＝2，|FP2011|＝8，则点P2010的横坐标为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　∵椭圆＋＝1，∴F(－3,0)，由|FP1|＝2＝a－c，|FP2011|＝8＝a＋c，可知点P1为椭圆的左顶点，P2011为椭圆的右顶点，即x1＝－5，x2011＝5＝－5＋2010d，∴d＝，则数列{xi}是以－5为首项，为公差的等差数列，∴x2010＝－5＋2009×＝.‎ 二、填空题 ‎14．(文)如果AB是椭圆＋＝1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为________．‎ ‎[答案]　e2－1‎ ‎[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，‎ 由点差法，＋＝1，＋＝1，‎ 作差得＝，‎ ‎∴kAB·kOM＝·＝＝＝e2－1.‎ ‎(理)以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆的离心率e等于________．‎ ‎[答案]　－1‎ ‎[解析]　由题意知，MF1⊥MF2，|MF2|＝|OF2|＝c，‎ 又|F‎1F2|＝‎2c，∴|MF1|＝c，‎ 由椭圆的定义，|MF1|＋|MF2|＝‎2a，‎ ‎∴c＋c＝‎2a，∴e＝＝－1.‎ ‎15．(2013·苏北四市联考)已知两定点M(－1,0)，N(1,0)，若直线上存在点P，使|PM|＋|PN|＝4，则该直线为“A型直线”．给出下列直线，其中是“A型直线”的是________(填序号)．‎ ‎①y＝x＋1；②y＝2；③y＝－x＋3；④y＝－2x＋3.‎ ‎[答案]　①④‎ ‎[解析]　由题意可知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程是＋＝1，‎ ‎①把y＝x＋1代入＋＝1并整理得，7x2＋8x－8＝0，‎ ‎∵Δ＝82－4×7×(－8)>0，直线与椭圆有两个交点，‎ ‎∴y＝x＋1是“A型直线”．‎ ‎②把y＝2代入＋＝1，得＝－不成立，直线与椭圆无交点，∴y＝2不是“A型直线”．‎ ‎③把y＝－x＋3代入＋＝1并整理得，7x2－24x＋24＝0，Δ＝(－24)2－4×7×24<0，∴y＝－x＋3不是“A型直线”．‎ ‎④把y＝－2x＋3代入＋＝1并整理得，19x2－48x＋24＝0，∵Δ＝(－48)2－4×19×24>0，∴y＝－2x＋3是“A型直线”．‎ 三、解答题 ‎16．(文)(2012·广东文，20)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上．‎ ‎(1)求椭圆C1的方程；‎ ‎(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．‎ ‎[解析]　(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(－1,0)，‎ 所以c＝1，‎ 将点P(0,1)代入椭圆方程＋＝1，得＝1，‎ 即b2＝1，所以a2＝b2＋c2＝2，‎ 所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，‎ 由消去y并整理得，(1＋2k2)x2＋4kmx＋‎2m2‎－2＝0，‎ 因为直线l与椭圆C1相切，‎ 所以Δ1＝16k‎2m2‎－4(1＋2k2)(‎2m2‎－2)＝0‎ 整理得2k2－m2＋1＝0，①‎ 由消去y并整理得，‎ k2x2＋(‎2km－4)x＋m2＝0，‎ 因为直线l与抛物线C2相切，‎ 所以Δ2＝(‎2km－4)2－4k‎2m2‎＝0，‎ 整理得km＝1，②‎ 综合①②，解得或 所以直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－.‎ ‎(理)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，‎ 由题意解得a2＝16，b2＝12.‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设P(x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为＋＝1，故－4≤x≤4.‎ 因为＝(x－m，y)，所以||2＝(x－m)2＋y2‎ ‎＝(x－m)2＋12×.‎ ‎＝x2－2mx＋m2＋12＝(x－‎4m)2＋12－‎3m2‎.‎ 因为当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，‎ 即当x＝4时，||2取得最小值．而x∈[－4,4]，‎ 故有‎4m≥4，解得m≥1.‎ 又点M在椭圆的长轴上，即－4≤m≤4.‎ 故实数m的取值范围是m∈[1,4]．‎ 考纲要求 ‎1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．‎ ‎2．了解圆锥曲线的简单应用．‎ ‎3．理解数形结合的思想．‎ 补充说明 ‎1．求椭圆的方程主要有定义法和待定系数法，运用待定系数法求方程时，当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为＋＝1(m>0，n>0)，可以避免讨论和繁琐的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)，这种形式在求解过两定点的椭圆方程时更简便．‎ ‎2．用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：‎ ‎(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；‎ ‎(2)设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，当椭圆焦点位置不确定时，可设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；‎ ‎(3)找关系：根据已知条件，建立方程组；‎ ‎(4)写出标准方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．‎ ‎3．函数与方程的思想 ‎(1)在圆锥曲线的一些求取值范围及最值的问题中，常将所求量表达为其他量的函数，运用函数的方法解决．‎ ‎(2)求圆锥曲线方程时，往往是已知曲线形状特征或由已知条件可分析其几何特征，确定形状，设出其标准方程，然后设法列出关于待定系数的方程或方程组求待定系数．要注意解题过程中，设而不求、整体处理的策略和恰当运用一元二次方程根与系数的关系求解．‎ ‎4．焦点三角形问题 椭圆的一条焦点弦和另一焦点围成一个三角形．习惯上称为焦点三角形，在焦点三角形中命制题目是常见命题方式，解决焦点三角形问题经常从以下几个方面入手：‎ ‎①定义；②正、余弦定理；③三角形面积．‎ ‎5．求椭圆的离心率时，常常要列出a、b、c的一个齐次方程，结合b2＝a2－c2，两边同除以a2化为e(e＝)的二次方程求解．‎ ‎6．椭圆上点M到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.‎ 备选习题 ‎1．若椭圆＋＝1过抛物线y2＝8x的焦点，且与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是(　　)‎ A.＋＝1 B.＋y2＝1‎ C.＋＝1 D．x2＋＝1‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a＝2，c＝，‎ ‎∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎2．椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的一个顶点，若2＝＋，则该椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　由2＝＋知F1是AF2的中点，‎ ‎∴a－c＝‎2c，∴a＝‎3c，e＝.‎ ‎3．F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，则垂足Q的轨迹为(　　)‎ A．圆 B．椭圆 ‎ C．双曲线 D．抛物线 ‎[答案]　A ‎[解析]　∵PQ平分∠F1PA，且PQ⊥AF1，‎ ‎∴Q为AF1的中点，且|PF1|＝|PA|，‎ ‎∴|OQ|＝|AF2|＝(|PA|＋|PF2|)＝a，‎ ‎∴Q点轨迹是以O为圆心，a为半径的圆．‎ ‎4．(2013·乌鲁木齐一诊)如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，直线B‎1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率e的取值范围为________．‎ ‎[答案]　(，1)‎ ‎[解析]　设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，∠B1PA2为钝角可转化为与所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)<0，得b20，即e2＋e－1>0，e>或e<，又0