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- 2021-05-13 发布
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2011 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ卷第 3
页至第 4 页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。
考生注意事项:
1. 答题前,务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘
贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方
填写姓名和座位号后两位。
2. 答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
3. 答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹
清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字
笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出书写的答案无效,在试题卷、草稿纸
上答题无效。
4. 考试结束后,务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式:
如果事件 A 与 B 互斥, 椎体体积 ,其中 S 为椎体的底面积,
那么 h 为椎体的高.
如果事件 A 与 B 相互独立,那么
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的。
(1) 设 是虚数单位,复数 为纯虚数,则实数 a 为
(A) 2 (B) -2 (C) - (D)
(2) 双曲线 的实轴长是
(A)2 (B) (C)4 (D)
(3)设 是定义在 R 上的奇函数,当 时, ,
(A)-3 (B) -1 (C)1 (D)3
(4)设变量 , 满足 ,则 的最大值和最小值分别为
1
3V Sh=
( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = +
( ) ( ) ( )P AB P A P B=
i 1
2
ai
i
+
−
1
2
1
2
2 22 8x y− =
2 2 4 2
( )f x 0x ≤ 2( ) 2f x x x= − (1)f =
x y | | | | 1x y+ ≤ 2x y+
(A)1,-1 (B)2,-2 (C)1,-2 (D)2,-1
(5) 在极坐标系中,点 到圆 的圆心的距离为
(A)2 (B) (C) (D)
(6)一个空间几何体得三视图如图所示,则该几何体的表面积为
(A) 48 (B) (C) (D) 80
(7)命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定是
(A)所有不能被 2 整除的数都是偶数
(B)所有能被 2 整除的数都不是偶数
(C)存在一个不能被 2 整除的数都是偶数
(D)存在一个不能被 2 整除的数都不是偶数
(8)设集合 ,则满足 且 的集合 为
(A)57 (B)56 (C)49 (D)8
( 9 ) 已 知 函 数 , 其 中 为 实 数 , 若 对 恒 成 立 , 且
,则 的单调递增区间是
(A) (B)
(C) (D)
(10)函数 在区间上的图像如图所示,则 m,n 的值可能是
(A)m=1, n=1 (B)m=1, n=2
(C)m=2, n=1 (D)m=3, n=1
第 II 卷(非选择题 共 100 分)
考生注意事项:
请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.
二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置.
(11)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 .
(12)设 ,则 =_________ .
(13)已知向量 , 满足 , , ,则 与 的夹
(2, )3
π
2cosρ θ=
2
4 9
π+
2
1 9
π+ 3
32 8 17+ 48 8 17+
{1,2,3,4,5,6}, {4,5,6,7}A B= = S A⊆ S B ≠ ∅ S
( ) sin(2 )f x x ϕ= + ϕ ( ) ( )6f x f
π≤ x R∈
( ) ( )2f f
π π> ( )f x
, ( )3 6k k k z
π ππ π − + ∈ , ( )2k k k z
ππ π + ∈
2, ( )6 3k k k z
π ππ π + + ∈ , ( )2k k k z
ππ π − ∈
( ) (1 )m nf x nx x= −
21 2 21
0 1 2 21( 1)x a a x a x a x− = + + + + 10 11a a+
a b ( 2 ) ( ) 6+ − =−a b a b 1| a |= 2| b |= a b
角为________.
(14)已知 的一个内角为 120o,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则 的面积为
_______________
(15)在平面直角坐标系中,如果 与 都是整数,就称点 为整点,下列命题中正确的是
_____________(写出所有正确命题的编号).
①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果 与 都是无理数,则直线 不经过任何整点
③直线 经过无穷多个整点,当且仅当 经过两个不同的整点
④直线 经过无穷多个整点的充分必要条件是: 与 都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线
三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写
在答题卡的制定区域内.
(16)(本小题满分 12 分)
设 ,其中 为正实数
(Ⅰ)当 时,求 的极值点;
(Ⅱ)若 为 上的单调函数,求 的取值范围。
(17)(本小题满分 12 分)
如图, 为多面体,平面 与平面 垂直,点 在线段 上, ,
, 、 、 、 都是正三角形.
(Ⅰ)证明直线 ;
(Ⅱ)求棱锥 的体积.
(18)(本小题满分 13 分)
在数 1 和 100 之间插入 个实数,使得这 个实数构成递增的等比数列,将这 个数
的乘积记作 ,再令
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)设 ,求数列 的前 项和 .
(19)(本小题满分 12 分)
l
a 4
3
=
ABC∆ ABC∆
x y ( , )x y
k b y kx b= +
l
y kx b= + k b
2( ) 1
xef x ax
= + a
4
3a = ( )f x
( )f x R a
ABEDFC ABED ACFD O AD 1OA =
2OD = OAB∆ OAC∆ ODE∆ ODF∆
/ /BC EF
F OBED−
n 2n + 2n +
nT lg ( 1)n na T n= ≥
{ }na
1tan tann n nb a a += { }nb n nS
(Ⅰ)设 ,证明
(Ⅱ) ,证明
.
(20)(本小题满分 13 分)
工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务,每次只派一个人进去,且每个人只派一
次,工作时间不超过 10 分钟,如果有一个人 10 分钟内不能完成任务则撤出,再派下一个人。现在
一共只有甲、乙、丙三个人可派,他们各自能完成任务的概率分别 ,假设 互不
相等,且假定各人能否完成任务的事件相互独立.
(Ⅰ)如果按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,求任务能被完成的概率。若改变三个人被派
出的先后顺序,任务能被完成的概率是否发生变化?
(Ⅱ)若按某指定顺序派人,这三个人各自能完成任务的概率依次为 ,其中 是
的一个排列,求所需派出人员数目 的分布列和均值(数字期望) ;
(Ⅲ)假定 ,试分析以怎样的先后顺序派出人员,可使所需派出的人员数目的均
值(数字期望)达到最小。
(21)(本小题满分 13 分)
设 ,点 的坐标为(1,1),点 在抛物线 上运动,点 满足 ,经过 点
与 轴垂直的直线交抛物线于点 ,点 满足 , 求点 的轨迹方程。
X
1, 1x y≥ ≥
1 1 1x y xyxy x y
+ + ≤ + +
1 a b c≤ ≤ ≤
log log log log log loga b c b c ab c a a b c+ + ≤ + +
1 2 3, ,p p p 1 2 3, ,p p p
1 2 3, ,q q q 1 2 3, ,q q q
1 2 3, ,p p p EX
1 2 31 p p p> > >
0λ > A B 2y x= Q BQ QAλ= Q
x M P QM MPλ= P
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