全国1卷高考真题含答案数学理 11页

绝密★启用前 ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修Ⅱ）‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 注意事项：‎ ‎ 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并帖好条形码．请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目．‎ ‎ 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．‎ ‎ 3．第I卷共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．‎ 参考公式：‎ 如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) ‎ 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 ‎ n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 ‎ ‎ 一、选择题 ‎（1）复数 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）记，那么 ‎ ‎ （A） （B）- （C） （D）-‎ ‎（3）若变量满足约束条件则的最大值为 ‎ （A）4 （B）3 （C）2 （D）1‎ ‎（4）已知各项均为正数的等比数列中，=‎ ‎ （A） （B）7 （C）6 （D）‎ ‎（5）的展开式中x的系数是 ‎ （A）-4 （B）-2 （C）2 （D）4‎ ‎（6）某校开设A类选修课3门，B类选择题4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 ‎ （A）30种 （B）35种 （C）42种 （D）48种 ‎（7）正方体ABCD—A1B‎1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）设，则 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（9）已知F1、F2为双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则P到x轴的距离为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（10）已知函数，则的取值范围是 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AC=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 绝密★启用前 ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修Ⅱ）‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。‎ ‎2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。‎ ‎3．第Ⅱ卷共10小题，共90分。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。‎ ‎（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎（13）不等式的解集是 。‎ ‎（14）已知为第三象限的角，，则 。‎ ‎（15）直线与曲线有四个交点，则的取值范围是 。‎ ‎（16）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为 。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎ 已知内角A，B及其对边，满足，求内角C。‎ ‎（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的主审，则予以录用，否则不予录用。高稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3。各专家独立评审。‎ ‎ （Ⅰ）求设到该杂志的1篇稿件被录用的概率；‎ ‎ （Ⅱ）记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望。‎ ‎（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎ 如图，四棱锥S—ABCD中，底面ABCD，AB//DC，，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC。‎ ‎ （Ⅰ）证明：SE=2EB；‎ ‎ （Ⅱ）求二面角A—DE—C的大小。‎ ‎（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎ 已知函数 ‎ （Ⅰ）若，求的取值范围；‎ ‎ （Ⅱ）证明：‎ ‎（21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎ 已知抛物线的焦点为F，过点K（-1，0）的直线与C相交于A、B两点，点A关于轴的对称点为D。‎ ‎ （Ⅰ）证明：点F在直线BD上；‎ ‎ （Ⅱ）设，求的内切圆M的方程。‎ ‎（22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎ 已知数列中，‎ ‎ （Ⅰ）设，求数列的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）求使不等式成立的的取值范围。‎ 参考答案 一、选择题 ‎（1）A （2）B （3）B （4）A （5）C （6）A ‎（7）D （8）C （9）B （10）C （11）D （12）B 二、填空题 ‎（13）]‎ ‎（14）‎ ‎（15）‎ ‎（16）‎ 三、解答题：‎ ‎（17）解：‎ ‎ 由及正弦定理得 ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 从而 ‎ ‎ ‎ 又 ‎ 故，‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎（18）解：（Ⅰ）记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；‎ ‎ B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；‎ ‎ C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；‎ ‎ D表示事件：稿件被录用。‎ ‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （Ⅱ），其分布列为：‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ 期望 ‎（19）解法一：‎ ‎ （Ⅰ）连结BD，取DC的中点G，连结BG，‎ ‎ 由此知DG=GC=BG=1，即为直角三角形， ‎ ‎ 故 ‎ 又平面ABCD，故BCSD，‎ ‎ 所以，BC平面BDS，BCDE。‎ ‎ 作BKEC，K为垂足，因平面EDC平面SBC，‎ ‎ 故BK平面EDC，BKDE。DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直。‎ ‎ DE平面SBC，DEEC，DESB…………4分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以SE=2EB。‎ ‎ （Ⅱ）由 ‎ 知，‎ ‎ 又AD=1。‎ ‎ 故为等腰三角形，‎ ‎ 取ED中点F，连接AF，则AFDE，‎ ‎ ‎ ‎ 所以，是二面角A—DE—C的平面角。‎ ‎ 连结AG，‎ ‎ ‎ ‎ 所以，二面角A—DE—C的大小为120°。‎ ‎ 解法二：以D为坐标原点 ，射线DA为轴正半轴，‎ ‎ 建立如图所示的直角坐标系 ‎ ‎ 设，则 ‎ （Ⅰ）‎ ‎ 设平面SBC的法向量为 ‎ 由得 ‎ 故 ‎ 令 ‎ 又设，则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设平面CDE的法向量 ‎ 则，得 ‎ ‎ ‎ 故 ‎ 令 ‎ 由平面DEC平面SBC得 ‎ 故SE=2EB。‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ ‎ 取DE中点E，则 ‎ 故，由此得 ‎ 又，故，‎ ‎ 由此得，‎ ‎ 向量与的夹角等于二面角A—DE—C的平面角。‎ ‎ 于是 ‎ 所以，二面角A—DE—C的大小为120°。‎ ‎（20）解：‎ ‎ （Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎ 题设等价于 ‎ 令 ‎ 当时，；‎ ‎ 当时，，‎ ‎ 的最大值点，‎ ‎ 综上，的取值范围是 ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，即 ‎ 当时，‎ ‎ 当时；‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎（21）解：‎ ‎ 设，的方程为 ‎ （Ⅰ）将并整理得 ‎ ‎ ‎ 从而 ‎ 直线BD的方程为 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 令，得 ‎ 所以点F（1，0）在直线BD上。‎ ‎ （Ⅱ）由①知，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因为 ‎ ‎ ‎ 故 ‎ 解得 ‎ 所以的方程为 ‎ ‎ ‎ 又由①知 ‎ 故直线BD的斜率 ‎ ‎ ‎ 因而直线BD的方程为 ‎ ‎ ‎ 因为KF为的平分线，故可设圆心，及BD的距离分别为 ‎ 由 ‎ （舍去），‎ ‎ 故圆M的半径 ‎ 所以圆M的方程为 ‎（22）解：‎ ‎ （Ⅰ），‎ ‎ ，‎ ‎ 即 ‎ ，‎ ‎ 又 ‎ 所以是首项为，公比为4的等比数列，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （Ⅱ）‎ ‎ 用数学归纳法证明：当时，‎ ‎ （i）当时，，命题成立；‎ ‎ （i i）设当时，，则当时，‎ ‎ ‎ ‎ 故由（i），（ii）知当时，‎ ‎ 当时，令，‎ ‎ 由得 ‎ 当时，‎ ‎ 当时，，于是 ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎ 因此不符合要求。‎ ‎ 所以的取值范围是