高考数学2009年高考试题——数学(天津卷)(理) 11页

高考数学2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学（理工农医类）‎ 参考公式：‎ ‎。如果事件A，B互相排斥，那么P（AUB）=P（A）+P(B)。‎ ‎。棱柱的体积公式V=sh。其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高 一、 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ （1） i是虚数单位，=‎ ‎（A）1+2i （B）-1-2i （C）1-2i （D）-1+2i ‎（2）设变量x，y满足约束条件：.则目标函数z=2x+3y的最小值为 ‎（A）6 （B）7 （C）8 （D）23‎ ‎（3）命题“存在R，‎0”‎的否定是 ‎（A）不存在R, >0 （B）存在R, 0 ‎ ‎（C）对任意的R,0 （D）对任意的R, >0‎ ‎（4）设函数则 A在区间内均有零点。‎ B在区间内均无零点。‎ C在区间内有零点，在区间内无零点。‎ D在区间内无零点，在区间内有零点。‎ ‎（5）阅读右图的程序框图，则输出的S= ‎ A 26 B ‎35 C 40 D 57‎ ‎(6）设若的最小值为 ‎ A 8 B ‎4 C 1 D ‎ ‎（7）已知函数的最小正周期为，为了得到函数 的图象，只要将的图象 ‎ A 向左平移个单位长度 B 向右平移个单位长度 ‎ C 向左平移个单位长度 D 向右平移个单位长度 ‎（8）已知函数若则实数的取值范围是 ‎ A B C D ‎ ‎（9）．设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则BCF与ACF的成面积之比=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（10）.0＜b＜1+a,若关于x 的不等式＞的解集中的整数恰有3个，则 ‎（A）-1＜a＜0 （B）0＜a＜1 （C）1＜a＜3 （D）3＜a＜6‎ 二．填空题：（6小题，每题4分，共24分）‎ ‎（11）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调 ‎ 查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取 ‎ 一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生，‎ B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取____名学生。‎ ‎（12）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则 a=_______‎ ‎(13) 设直线的参数方程为（t为参数），直线的方程为y=3x+4则与的距离为_______‎ ‎(14)若圆与圆（a>0）的公共弦的长为，‎ 则a=___________‎ ‎(15)在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是 ‎（16）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个（用数字作答）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 在⊿ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA ‎(I) 求AB的值：‎ ‎(II) 求sin的值 ‎（18）（本小题满分12分）‎ 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，求：‎ ‎（I） 取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；‎ ‎（II） 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD ‎(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；‎ ‎(II) 证明平面AMD平面CDE；‎ ‎（III）求二面角A-CD-E的余弦值。‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数其中 （1） 当时，求曲线处的切线的斜率；‎ （2） 当时，求函数的单调区间与极值。‎ ‎（21）（本小题满分14分）‎ ‎ 以知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。‎ （1） 求椭圆的离心率；‎ （2） 求直线AB的斜率；‎ （3） 设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值 ‎（22）（本小题满分14分）‎ 已知等差数列{}的公差为d（d0），等比数列{}的公比为q（q>1）。设=+…..+,=-+…..+(-1,n (I) 若== 1，d=2，q=3，求 的值；‎ (II) 若=1，证明（1-q）-（1+q）=，n；‎ ‎(Ⅲ) 若正数n满足2nq，设的两个不同的排列， ， 证明。‎ ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学（理工类）参考解答 一． 选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。‎ ‎（1）D （2）B （3）D （4）D （5） C ‎（6）B （7）A （8）C （9）A （10）C 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分24分。‎ ‎（11） 40 （12） （13）‎ ‎（14） 1 （15） （16）324‎ 三．解答题 ‎（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。‎ ‎（Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理，‎ 于是AB=‎ ‎（Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA=‎ 于是 sinA=‎ ‎ 从而sin‎2A=2sinAcosA=,cos‎2A=cos‎2A-sin‎2A=‎ ‎ 所以 sin(‎2A-)=sin2Acos-cos2Asin=‎ ‎(18)本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。‎ ‎（Ⅰ）解：由于从10件产品中任取3件的结果为，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)=,k=0,1,2,3.‎ 所以随机变量X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X的数学期望EX=‎ ‎（Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2，”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1∪A2∪A3而 P(A2)=P(X=2)=,P(A3)=P(X=3)=,‎ 所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=‎ ‎(19)本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分12分.‎ 方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°‎ ‎（II）证明：因为 ‎（III）‎ 由（I）可得，‎ 方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，‎ 点为坐标原点。设依题意得 ‎（I）‎ 所以异面直线与所成的角的大小为.‎ ‎（II）证明：，‎ ‎（III）‎ 又由题设，平面的一个法向量为 ‎（20）本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。‎ ‎（I）解：‎ ‎（II）‎ 以下分两种情况讨论。‎ ‎（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎（21）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分14分 （I） 解：由//且，得，从而 ‎ 整理，得，故离心率 （II） 解：由（I）得，所以椭圆的方程可写为 ‎ 设直线AB的方程为，即.‎ ‎ 由已知设，则它们的坐标满足方程组 消去y整理，得.‎ 依题意，‎ 而 ①‎ ‎②‎ 由题设知，点B为线段AE的中点，所以 ‎③‎ 联立①③解得，‎ 将代入②中，解得.‎ ‎(III)解法一：由（II）可知 当时，得，由已知得.‎ 线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴 的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.‎ 直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组 ‎ ， 由解得故 当时，同理可得.‎ 解法二：由（II）可知 当时，得,由已知得 由椭圆的对称性可知B，，C三点共线，因为点H（m，n）在的外接圆上，‎ 且，所以四边形为等腰梯形.‎ ‎ 由直线的方程为,知点H的坐标为.‎ 因为，所以，解得m=c（舍），或.‎ 则，所以.‎ 当时同理可得 ‎（22）本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。‎ ‎（Ⅰ）解：由题设，可得 所以，‎ ‎（Ⅱ）证明：由题设可得则 ‎①‎ ‎②‎ ① 式减去②式，得 ① 式加上②式，得 ‎③‎ ② 式两边同乘q，得 所以，‎ ‎(Ⅲ)证明：‎ 因为所以 （1） 若，取i=n ‎ （2） 若，取i满足且 由（1）,(2)及题设知，且 ① 当时，得 即，…，‎ 又所以 因此 ① 当同理可得，因此 综上，‎