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- 2021-05-13 发布
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我的高考数学错题本
第2章 命题与简易逻辑易错题
易错点1 四种命题的结构不明致误
【例1】 命题甲:或;命题乙:,则( )
A.甲是乙的充分非必要条件 B.甲是乙的必要非充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件
【错解】盲目的无法判断选D
【错因】不知道四个命题之间的转换关系
【正解】为了进行判断,首先需要构造两个命题:甲乙、乙甲. 但是,这两个命题都是否定性的命题,正面入手较为困难.考虑到原命题与逆否命题的等价性,可以转化为判断其逆否命题是否正确.
“甲乙”,即“或”“”,其逆否命题为:“”“且”
显然不正确. 同理,可判断命题“乙甲”为真命题.选B.
【纠错训练】【2015高考山东,文5】设,命题“若,则方程有实根”的逆否命题是( )
A.若方程有实根,则 B.若方程有实根,则
C.若方程没有实根,则 D.若方程没有实根,则
【解析】一个命题的逆否命题,要将原命题的条件、结论加以否定,并且加以互换,故选.
易错点2充分必要条件颠倒致误
对于两个条件A,B,如果A=>B成立,则A是B的充分条件,B是A的必要条件;如果B=>A成立,则A是B的必要条件,B是A的充分条件;如果A<=>B,则A,B互为充分必要条件。解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性,所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。
【例2】命题“对任意实数,关于的不等式恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
【错解】A
【错因】充分条件和必要条件颠倒致错,设“对任意实数,关于的不等式恒成立”为真命题对应的的取值为集合A,选项中的取值范围为集合B,则B是A的必要不充分条件,因此,但
【解析】即由“对任意实数,关于的不等式恒成立”可推出选项,但由选项推不出
“对任意实数,关于的不等式恒成立”.因为,所以,恒成立,即, 因此;反之亦然.故选.
【纠错训练】【2015高考安徽,理3】设,则是成立的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】由,解得,易知,能推出,但不能推出,故是成立的充分不必要条件,选A.
易错点3 命题的否定和否命题弄混淆
【例3】【2015高考湖北,文3】命题“,”的否定是( )
A., B.,
C., D.,
【错解】B
【错因】误认为命题的否定就是否命题
【正解】由特称命题的否定为全称命题可知,所求命题的否定为,,故应选.
【纠错训练】【2015高考浙江,理4】命题“且的否定形式是( )
A.且 B.或
C.且 D.或
【解析】根据全称命题的否定是特称命题,可知选D.
易错点4 逻辑联结词理解不准致误
【例4】已知命题,,命题,,则( )
A.命题是假命题 B.命题是真命题
C.命题是真命题 D.命题是假命题
【错解】B
【错因】认为中,只要有一个为真,则为真.
【正解】取,则,,故命题为真,命题为假,由复合命题的真值表可知命题是真命题,选C.
【纠错训练】【2015北京西城区二模】设命题:函数在上为增函数;命题:函数为奇函数.则下列命题中真命题是( )
A. B. C. D.
【解析】由题意可知,命题是真命题,为偶函数,∴是假命题,从而可
知是真命题,故选D.
易错点5 错把“命题否定”等同于“取补集”
【例5】写出命题“对任意一个实数x,都有”的否定是 .
【错解】对任意一个实数x,都有
【错因】原命题的反面是:存在一个实数,使得或没有意义,而不是简单地把“”的范围取补集变成“”.
【解析】原命题的否定是:“存在一个实数x,使得或”,或“存在一个实数x,使得”.
【纠错训练】命题实数满足不等式,且命题是假命题,求实数取值范围
【解析】等价于且,即或,则或;.
命题是假命题,命题是真命题,实数取值范围.
【错题巩固训练】
1.条件“”是“或”的 条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)
【解析】说明同号,(i)当 且时,;(ii)当且时,.故条件“”可以推出“或”.
当时,满足或,但不满足,故条件 “或”不可以推出“”.
因此条件“”是“或”的充分不必要条件.
2.条件“”是“成等比数列”的 条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
【解析】成立,有可能是 ,不是等比数列,故答案是必要不充分
3.“”是“直线和直线平行”的 条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
【解析】直线的法向量满足,,即,解得或,其中时,直线重合,故答案:既不充分也不必要条件
4.若,写出命题“若,则有两个不相等的实数根”的逆否命题是
【解析】若没有两个不相等的实数根,则
5.已知命题,命题指数函数是增函数.若命题为真,命题为假,则实数的取值范围是
【解析】命题为真时,即,解得.命题为真时,即,解得.
命题为假时,即,解得.命题为真,命题为假,则真假或假真,即或,解得.
6.已知命题函数的值域是R,命题指数函数是增函数.若命题为真,命题为假,则实数的取值范围是
【解析】真:函数的值域是,即中的能取到的每一个数,则只要保证,解得.真:,解得.假:,解得.由题意,“真假”或“假真”,即或.解得实数的取值范围是.