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- 2021-05-13 发布
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2008年普通高等学校招生全国统一考试 (湖南卷)
文科数学能力测试
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知,,,则( )
A.
C. D.
【答案】B
【解析】由,,,易知B正确.
2.“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由得,所以易知选A.
3.已条变量满足则的最小值是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】C
【解析】如图得可行域为一个三角形,其三个顶点
分别为代入验证知在点
时,最小值是故选C.
4.函数的反函数是( )
【答案】B
【解析】用特殊点法,取原函数过点则其反函数过点验证知只有答案B满足.也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。
5.已知直线m,n和平面满足,则( )
或 或
【答案】D
【解析】易知D正确.
6.下面不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由 , 故选A.
7.在中,AB=3,AC=2,BC=,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由余弦定理得所以选D.
8.某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目,
则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是( )
A.15 B.45 C.60 D.75
【答案】C
【解析】用直接法:
或用间接法:故选C.
9.长方体的8个顶点在同一个球面上,且AB=2,AD=,
,则顶点A、B间的球面距离是( )
A. B. C. D.2
【答案】B
【解析】设
则
故选B.
10.若双曲线的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等,则双曲线离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
而双曲线的离心率故选C.
二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在横线上。
11.已知向量,,则||=_____________________.
【答案】2
【解析】由
12.从某地区15000位老人中随机抽取500人,其生活能否自理的情况如下表所示:
性别
人数
生活能
否自理
男
女
能
178
278
不能
23
21
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人。
【答案】60
【解析】由上表得
13.记的展开式中第m项的系数为,若,则=__________.
【答案】5
【解析】由得
所以解得
14.将圆沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C,则圆C的方程是________,若过点(3,0)的直线和圆C相切,则直线的斜率为_____________.
【答案】,
【解析】易得圆C的方程是,
直线的倾斜角为,
所以直线的斜率为
15.设表示不超过x的最大整数,(如)。对于给定的,
定义则________;
当时,函数的值域是_________________________。
【答案】
【解析】当时,当时,
所以故函数的值域是.
三.解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分12分)
甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格就签约,乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是,且面试是否合格互不影响。求:
(I)至少一人面试合格的概率;
(II)没有人签约的概率。
解:用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A,B,C相互独立,
且
(I)至少有一人面试合格的概率是
(II)没有人签约的概率为
17.(本小题满分12分)
已知函数.
(I)求函数的最小正周期;
(II)当且时,求的值。
解:由题设有.
(I)函数的最小正周期是
(II)由得即
因为,所以
从而
于是
18.(本小题满分12分)
如图所示,四棱锥的底面是边长为1的菱形,,E是CD的中点,PA底面ABCD,。
(I)证明:平面PBE平面PAB;
(II)求二面角A—BE—P的大小。
解:解法一(I)如图所示, 连结由是菱形且知,
是等边三角形. 因为E是CD的中点,所以
又所以
又因为PA平面ABCD,平面ABCD,
所以而因此 平面PAB.
又平面PBE,所以平面PBE平面PAB.
(II)由(I)知,平面PAB, 平面PAB,
所以
又所以是二面角的平面角.
在中, .
故二面角的大小为
解法二:如图所示,以A为原点,建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是
(I)因为平面PAB的一个法向量是所以和共线.从而平面PAB.
又因为平面PBE,所以平面PBE平面PAB.
(II)易知设是平面PBE的一个法向量,
则由得 所以
故可取而平面ABE的一个法向量是
于是,.
故二面角的大小为
19(本小题满分13分)
已知椭圆的中心在原点,一个焦点是,且两条准线间的距离为。
(I)求椭圆的方程;
(II)若存在过点A(1,0)的直线,使点F关于直线的对称点在椭圆上,求的取值范围。
解:(I)设椭圆的方程为
由条件知且所以
故椭圆的方程是
(II)依题意, 直线的斜率存在且不为0,记为,则直线的方程是
设点关于直线的对称点为则
解得
因为点在椭圆上,所以即
设则
因为所以于是,
当且仅当
上述方程存在正实根,即直线存在.
解得所以
即的取值范围是
20.(本小题满分13分)
数列满足
(I)求,并求数列的通项公式;
(II)设,,,
求使的所有k的值,并说明理由。
解:(I)因为所以
一般地, 当时,
即所以数列是首项为0、公差为4的等差数列,
因此
当时,
所以数列是首项为2、公比为2的等比数列,因此
故数列的通项公式为
(II)由(I)知,
于是.
下面证明: 当时,事实上, 当时,
即
又所以当时,
故满足的所有k的值为3,4,5.
21.(本小题满分13分)
已知函数有三个极值点。
(I)证明:;
(II)若存在实数c,使函数在区间上单调递减,求的取值范围。
解:(I)因为函数有三个极值点,
所以有三个互异的实根.
设则
当时, 在上为增函数;
当时, 在上为减函数;
当时, 在上为增函数;
所以函数在时取极大值,在时取极小值.
当或时,最多只有两个不同实根.
因为有三个不同实根, 所以且.
即,且,
解得且故.
(II)由(I)的证明可知,当时, 有三个极值点.
不妨设为(),则
所以的单调递减区间是,
若在区间上单调递减,
则, 或,
若,则.由(I)知,,于是
若,则且.由(I)知,
又当时,;
当时,.
因此, 当时,所以且
即故或反之, 当或时,
总可找到使函数在区间上单调递减.
综上所述, 的取值范围是.
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