• 960.00 KB
  • 2021-05-13 发布

全国高考文科数学试题及答案新课标1

  • 13页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
绝密★启封并使用完毕前 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 4 至 6 页。 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条 形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮 擦干净后,在选涂其他答案标号。第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作 答,答案无效。 3. 考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 (1)已知集合 A={x|x=3n+2,n N},B={6,8,12,14},则集合 A B 中元素的个数为 (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 (2)已知点 A(0,1),B(3,2),向量 =(-4,-3),则向量 = (A)(-7,-4) (B)(7,4) (C)(-1,4) (D)(1,4) (3)已知复数 z 满足(z-1)i=i+1,则 z= (A)-2-I (B)-2+I (C)2-I (D)2+i (4)如果 3 个整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数,从 1,2, 3,4,5 中任取 3 个不同的数,则 3 个数构成一组勾股数的概率为 (A) (B) (C) (D) (5)已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点与抛物线 C:y²=8x 的焦点重合,A, B 是 C 的准线与 E 的两个焦点,则|AB|= (A)3 (B)6 (C)9 (D)12 ∈ ∩ AC BC 10 3 1 5 1 10 1 20 1 2 (6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角, 下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥 的四分之一),米堆底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已 知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有 A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 (7)已知 是公差为 1 的等差数列, 则 =4 , = (A) (B) (C)10 (D)12 (8)函数 f(x)= 的部分图像如图所示,则 f(x)的单调递减区间为 (A)(k - , k - ),k (A)(2k - , 2k - ),k (A)(k - , k - ),k (A)(2k - , 2k - ),k (9)执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n= (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 (10)已知函数 ,且 f(a)=-3,则 f(6-a)= (A)- (B)- (C)- (D)- (11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正 视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为 16+20π,则 r= 7 4 5 4 3 4 1 4 (A)1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 (12)设函数 y=f(x)的图像关于直线 y=-x 对称,且 f(-2)+f(-4)=1,则 a= (A)-1 (B)1 (C)2 (D)4 第Ⅱ卷 注意事项: 第Ⅱ卷共 3 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试卷上作答,答案无效。 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 (13)在数列{an}中, a1=2,an+1=2an, Sn 为{an}的前 n 项和。若-Sn=126,则 n=. (14)已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图像在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则 a= . (15)x,y 满足约束条件 ,则 z=3x+y 的最大值为. (16)已知 F 是双曲线 C:x2- =1 的右焦点,P 是 C 的左支上一点,A(0,6 ).当△APF 周长 最小是,该三角形的面积为 8 2y 6 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 (17)(本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边,sin2B=2sinAsinC (Ⅰ)若 a=b,求 cosB; (Ⅱ)设 B=90°,且 a= ,求△ABC 的面积 (18)(本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 的交点,BE⊥平面 ABCD. (Ⅰ)证明:平面 AEC⊥平面 BED; (Ⅱ)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥—ACD 的体积为 ,求该三棱锥的侧面积 (19)(本小题满分 12 分) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年销售量 y ( 单 位 : t ) 和 年 利 润 z ( 单 位 : 千 元 ) 的 影 响 , 对 近 8 年 的 年 宣 传 费 和 年 销 售 量 (i=1,2,···,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值。 2 3 6 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 w1 = 1, , = 1 (Ⅰ)根据散点图判断, 与 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的 回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x。根据(Ⅱ)的结果回答下列问题: (i) 年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii) 年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)…….. (un vn),其回归线 v= u 的斜率和截距 的最小二乘估计分别为: x y w 8 2 1 ( )i i x x = −∑ 8 2 1 ( )i i w w = −∑ 8 1 ( )( )i i i x x y y = − −∑ 8 1 ( )( )i i i w w y y = − −∑ x w 1 8 8 1i w = ∑ y a bx= + y c d x= + α β+ (20)(本小题满分 12 分) 已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点. (1) 求 K 的取值范围; (2) 若 · =12,其中 0 为坐标原点,求︱MN︱. (21).(本小题满分 12 分) 设函数 。 (Ⅰ)讨论 的导函数 零点的个数; (Ⅱ)证明:当 时, 。 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则安所做的第一题计分。作答时请写 清题号。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙ 的直径,AC 是⊙ 的切线,BC 交⊙ 于点 E。 (Ⅰ)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是⊙ 的切线; (Ⅱ)若 CA= CE,求∠ACB 的大小。 OM ON x ( )f x '( )f x 0a > 2( ) 2 lnf x a a a ≥ + O O O O 3 (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程 在直角坐标系 中。直线 : ,圆 : ,以坐标原点为 极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 (I) 求 , 的极坐标方程; (II) 若直线 的极坐标方程为 ,设 与 的交点为 , ,求 的 面积 (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 . (Ⅰ)当 时,求不等式 的解集; (Ⅱ)若 的图像与 轴围成的三角形面积大于 6,求 的取值范围 xOy 1C 2x = − 2C ( ) ( )2 21 2 1x y− + − = x 1C 2C 3C ( ) 4 R πθ ρ= ∈ 2C 3C M N 2C MN ( ) | 1| 2 | |, 0f x x x a a= + − − > 1a = ( ) 1f x > ( )f x x a 2015 年文科数学参考答案 一.选择题 (1)D (2)A (3)C (4)C (5)B (6)B (7)B (8)D (9)C (10)A (11)B (12)C 二.填空题 (13)6 (14)1 (15)4 (16) 三.解答题 (17)解: (Ⅰ)由题设及正弦定理可得 又 ,可得 由余弦定理可得 …………………………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 因为 ,由勾股定理得 故 ,得 所以 的面积为 1…………………………………………………………12 分 (18)解: (Ⅰ)因为四边形 ABCD 为菱形,所以 因为 平面 ,所以 ,故 平面 又 平面 ,所以平面 平面 …………………………5 分 (Ⅱ)设 ,在菱形 中,由 ,可得 因为 ,所以在 中,可得 12 6 2 2b ac= a b= 2 , 2b c a c= = 2 2 2 1cos 2 4 a c bB ac + −= = 2 2b ac= 90B =  2 2 2a c b+ = 2 2 2a c ac+ = 2c a= = ABC AC BD⊥ BE ⊥ ABCD AC BE⊥ AC ⊥ BED AC ⊂ AEC AEC ⊥ BED AB x= ABCD 120ABC∠ =  3 ,2 2 xAG GC x GB GD= = = = AE EC⊥ Rt AEC 3 2EG x= 由 平面 ,知 为直角三角形,可得 由已知得,三棱锥 的体积 故 …………………………………………………………………………9 分 从而可得 所以 的面积为 3, 的面积与 的面积均为 故三棱锥 的侧面积为 ……………………………………12 分 (19)解: (Ⅰ)由散点图可以判断, 适宜作为年销售量 关于年宣传费 的回归方程类 型………………2 分 (Ⅱ)令 ,先建立 关于 的线性回归方程,由于 所以 关于 的线性回归方程为 ,因此 关于 的线性回归方程 …………………………………………6 分 (Ⅲ)(ⅰ)由(Ⅱ)知,当 时,年销售量 的预报值 年利润 的预报值 …………………………………9 分 (ⅱ)根据(Ⅱ)的结果知,年利润 的预报值 BE ⊥ ABCD EBG 2 2BE x= E ACD− 31 1 6 6 3 2 24 3E ACDV AC GD BE x− = × = =  2x = 6AE EC ED= = = EAC EAD ECD 5 E ACD− 3 2 5+ y c d x= + y x w x= y w 8 ^ 1 8 2 1 ( )( ) 108.8 681.6( ) i i i i i w w y y d w w = = − − = = = − ∑ ∑ ^ ^ 563 68 6.8 100.6c y d w= − = − × = y w ^ 100.6 68y w= + y x ^ 100.6 68y x= + 49x = y ^ 100.6 68 49 576.6y = + = z ^ 576.6 0.2 49 66.32z = × − = z ^ 0.2(100.6 68 ) 13.6 20.12z x x x x= + − = − + + 所以,当 ,即 时, 取得最大值, 故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大……………12 分 (20)解: (Ⅰ)由题设,可知直线 的方程为 因为 与 交于两点,所以 解得 所以 的取值范围为 ……………………………………5 分 (Ⅱ)设 将 代入方程 ,整理得 所以 …………………………………………7 分 由题设可得 ,解得 ,所以 的方程为 故圆心 在 上,所以 …………………………………………………12 分 (21)解: (Ⅰ) 的定义域为 , 当 时, , 没有零点; 当 时 , 因 为 单 调 递 增 , 单 调 递 增 , 所 以 在 单 调 递 增 , 又 13.6 6.82x = = 46.24x = ^ z l 1y kx= + l C 2 | 2 3 1| 1 1 k k − + < + 4 7 4 7 3 3k − +< < k 4 7 4 7( , )3 3 − + 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y 1y kx= + 2 2( 2) ( 3) 1x y− + − = 2 2(1 ) 4(1 ) 7 0k x k x+ − + + = 1 2 1 22 2 4(1 ) 7,1 1 kx x x xk k ++ = =+ + 1 2 1 2OM ON x x y y= +   2 1 2 1 2(1 ) ( ) 1k x x k x x= + + + + 2 4 (1 ) 81 k k k += ++ 2 4 (1 ) 8 121 k k k + + =+ 1k = l 1y x= + C l | | 2MN = ( )f x (0, )+∞ 2( ) 2 ( 0)x af x e xx ′ = − > 0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x′ 0a > 2xe a x − ( )f x′ (0, )+∞ , 当 满 足 且 时 , , 故 当 时 , 存 在 唯 一 零 点………6 分 ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ),可 设 在 的 唯 一 零 点 为 , 当 时 , ; 当 时, 故 在 单调递减,在 单调递增,所以当 时, 取得最小值, 最小值为 由于 ,所以 故当 时, ……………………………………………12 分 (22)解: (Ⅰ)连结 ,由已知得, 在 中,由已知得, ,故 连结 ,则 又 ,所以 , 故 , 是 的切线……………………………………5 分 (Ⅱ)设 ,由已知得 由射影定理可得, ,所以 ,即 可得 ,所以 ……………………………10 分 (23)解: (Ⅰ)因为 ,所以 的极坐标方程为 , 的极坐标方 程为 ……………………………5 分 ( Ⅱ ) 将 代 入 , 得 , 解 得 ,故 ,即 ( ) 0f a′ > b 0 4 ab< < 1 4b < ( ) 0f b′ < 0a > ( )f x′ ( )f x′ (0, )+∞ 0x 0(0, )x x∈ ( ) 0f x′ < 0( , )x x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x 0(0, )x 0( , )x +∞ 0x x= ( )f x 0( )f x 02 0 2 0x ae x − = 0 0 0 2 2( ) 2 ln 2 ln2 af x ax a a ax a a = + + ≥ + 0a > 2( ) 2 lnf x a a a ≥ + AE ,AE BC AC AB⊥ ⊥ Rt AEC DE DC= DEC DCE∠ = ∠ OE OBE OEB∠ = ∠ 90ACB ABC∠ + ∠ =  90DEC OEB∠ + ∠ =  90OED∠ =  DE O 1,CE AE x= = 22 3, 12AB BE x= = − 2AE CE BE=  2 212x x= − 4 2 12 0x x+ − = 3x = 60ACB∠ =  cos , sinx yρ θ ρ θ= = 1C cos 2ρ θ = − 2C 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 4 πθ = 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 2 3 2 4 0ρ ρ− + = 1 22 2, 2ρ ρ= = 1 2 2ρ ρ− = | | 2MN = 由于 的半径为 1,所以 的面积为 ………………………10 分 (24)解: (Ⅰ)当 时, 化为 当 时,不等式化为 ,无解; 当 时,不等式化为 ,解得 ; 当 时,不等式化为 ,解得 所以 的解集为 …………………5 分 (Ⅱ)由题设可得, 所 以 函 数 的 图 像 与 轴 围 成 的 三 角 形 的 三 个 顶 点 分 别 为 , , , 的面积为 由题设得 ,故 所以 的取值范围为 ………………………………10 分 2C 2C MN 1 2 1a = ( ) 1f x > | 1| 2 | 1| 1 0x x+ − − − > 1x ≤ − 4 0x − > 1 1x− < < 3 2 0x − > 2 13 x< < 1x ≥ 2 0x− + > 1 2x≤ < ( ) 1f x > 2{ | 2}3x x< < 1 2 , 1, ( ) 3 1 2 , 1 , 1 2 , . x a x f x x a x a x a x a − − < − = + − − ≤ ≤ − + + > ( )f x x 2 1( ,0)3 aA − (2 1,0)B a + ( , 1)C a a + ABC 22 ( 1)3 a + 22 ( 1) 63 a + > 2a > a (2, )+∞