安徽大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习检测数系的扩充与复数的引入 4页

安徽大学附中2019三维设计高考数学一轮单元复习检测：数系的扩充与复数的引入 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．设为复数的共轭复数，且，则等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎2．已知复数满足，为虚数单位，则z的虚部是( )‎ A．-2i B．2i C．-2 D．2 ‎ ‎【答案】C ‎3．计算：等于( )‎ A．1+i B．1—i C．—1+i D．—1—i ‎【答案】A ‎4．已知为纯虚数，则的值为( )‎ A．1 B．－1 C． D．[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ ‎【答案】A ‎5．若复数为虚数单位是纯虚数，则实数的值为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎6．已知复数，，则等于( )‎ A． 8 B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎7．在复平面内，复数对应的点位于( )‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎8．在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )‎ A．4+8i B．8+2i C．2+4i D．4+i ‎【答案】C ‎9．实部为5，模与复数的模相等的复数有( )‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】A ‎10．已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，则 ‎“”是“点在第四象限”的( )‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎11．若复数为纯虚数，则x的值为( )‎ A．2． B． -1. C．． D．．‎ ‎【答案】D ‎12．若，则复数z在平面内所对应的点在( )‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)‎ 二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．复数(为虚数单位)的虚部是____________‎ ‎【答案】1‎ ‎14．复数的虚部为____________‎ ‎【答案】-1‎ ‎15．设，，则虚数的实部为　　　　．‎ ‎【答案】0‎ ‎16．复数的共轭复数为 .‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)[来源:学*科*网]‎ ‎17．实数m为何值时，复数z=(m2+‎5m+6)+（m2‎-2m-15）i 对应的点在：‎ ‎(1）x轴上方；‎ ‎(2）直线x+y+5=0上.‎ ‎【答案】(1)若复数Z对应的点在x轴上方，则m2‎-2m-15>0,解得m<－3或m>5‎ ‎(2)复数z对应的点为（m2+‎5m+6，m2‎-2m-15），∵z对应的点在直线x+y+5=0上，∴（m2+‎5m+6）+（m2‎-2m-15）+5=0，整理得‎2m2‎+‎3m-4=0，解得m=（-3±）× ‎18．设A、B、C分别是复数Z0=ai，Z1=+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线 ‎ Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t (t∈R)‎ 与△ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．‎ ‎【答案】‎ 曲线方程为：Z=aicos4t+(1+2bi)cos2tsin2t+(1+ci)sin4t=(cos2tsin2t+sin4t)+i(acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t)‎ ‎∴ x=cos2tsin2t+sin4t=sin2t(cos2t+sin2t)=sin2t．(0≤x≤1)‎ ‎ y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t=a(1－x)2+2b(1－x)x+cx2‎ ‎ 即 y=(a－2b+c)x2+2(b－a)x+a (0≤x≤1)． ①‎ ‎ 若a－2b+c=0，则Z0、Z1、Z2三点共线，与已知矛盾，故a－2b+c¹0．于是此曲线为轴与x轴垂直的抛物线．[来源:1]‎ AB中点M：+(a+b)i，BC中点N：+(b+c)i．‎ 与AC平行的中位线经过M(，(a+b))及N(，(b+c))两点，其方程为 ‎4(a－c)x+4y－3a－2b+c=0．(≤x≤)． ②‎ 令 4(a－2b+c)x2+8(b－a)x+4a=4(c－a)x+3a+2b－c．[来源:Z*xx*k.Com]‎ 即4(a－2b+c)x2+4(2b－a－c)x+a－2b+c=0．由a－2b+c¹0，得 ‎4x2+4x+1=0，‎ 此方程在[，]内有惟一解： x=．‎ 以x=代入②得， y=(a+2b+c)．‎ ‎∴ 所求公共点坐标为(，(a+2b+c))．‎ ‎19．设复数满足，且(是虚数单位)在复平面上对应的点在直线上，求.‎ ‎【答案】设（）‎ ‎ 而 又∵在复平面上对应的点在直线上，[来源:Zxxk.Com]‎ 即，∴或 即 ‎20．设复数，若，求实数的值．‎ ‎【答案】‎ ‎21．设 ‎(1）求 | z1| 的值以及z1的实部的取值范围；‎ ‎(2）若，求证：为纯虚数。‎ ‎【答案】 (1)设，则 因为 z2是实数，b≠0，于是有a2+b2=1，即|z1|=1，还可得 由-1≤z2≤1，得-1≤2a≤1，解得，即z1的实部的取值范围是.‎ ‎(2） ‎ 因为aÎ，b≠0，所以为纯虚数.‎ ‎22．已知复数（）满足：，且在复平面上的对应点的轨迹经过点 ‎(1） 求的轨迹；‎ ‎(2） 若过点，倾斜角为的直线交轨迹于两点，求的面积。‎ ‎【答案】（Ⅰ）根据题目条件，设轨迹的方程为：，将代入方程，得：‎ ‎ ，（舍去）‎ 所以的轨迹方程是： （）‎ ‎(Ⅱ）直线的方程为：‎ ‎ 联立方程：‎ ‎∴△OMN的面积 ‎